Theorem gausslemma2dlem1cl 15175

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 15177. Closure of the body of the definition of R. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2dlem1cl.a	|- ( ph -> A e. ( 1 ... H ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1cl	|- ( ph -> if ( ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( A x. 2 ) , ( P - ( A x. 2 ) ) ) e. ZZ )

Proof of Theorem gausslemma2dlem1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem1cl.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( 1 ... H ) )
2	1	elfzelzd 10092	. . 3 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		2z 9345	. . . 4 |- 2 e. ZZ
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
5	2, 4	zmulcld 9445	. 2 |- ( ph -> ( A x. 2 ) e. ZZ )
6		gausslemma2d.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
7		eldifi 3281	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
8		prmz 12249	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> P e. ZZ )
10	9, 5	zsubcld 9444	. 2 |- ( ph -> ( P - ( A x. 2 ) ) e. ZZ )
11		zq 9691	. . . 4 |- ( ( A x. 2 ) e. ZZ -> ( A x. 2 ) e. QQ )
12	5, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A x. 2 ) e. QQ )
13		2nn 9143	. . . . 5 |- 2 e. NN
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN )
15		znq 9689	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( P / 2 ) e. QQ )
17		qdclt 10315	. . 3 |- ( ( ( A x. 2 ) e. QQ /\ ( P / 2 ) e. QQ ) -> DECID ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) )
18	12, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> DECID ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) )
19	5, 10, 18	ifcldcd 3593	1 |- ( ph -> if ( ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( A x. 2 ) , ( P - ( A x. 2 ) ) ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   \ cdif 3150   ifcif 3557   {csn 3618   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090  (class class class)co 5918   1c1 7873   x. cmul 7877   < clt 8054   - cmin 8190   / cdiv 8691   NNcn 8982   2c2 9033   ZZcz 9317   QQcq 9684   ...cfz 10074   Primecprime 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-prm 12246

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1f1o  15176