Theorem gausslemma2dlem1cl 15930

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 15932. Closure of the body of the definition of R. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2dlem1cl.a	|- ( ph -> A e. ( 1 ... H ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1cl	|- ( ph -> if ( ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( A x. 2 ) , ( P - ( A x. 2 ) ) ) e. ZZ )

Proof of Theorem gausslemma2dlem1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem1cl.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( 1 ... H ) )
2	1	elfzelzd 10360	. . 3 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		2z 9605	. . . 4 |- 2 e. ZZ
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
5	2, 4	zmulcld 9706	. 2 |- ( ph -> ( A x. 2 ) e. ZZ )
6		gausslemma2d.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
7		eldifi 3341	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
8		prmz 12806	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> P e. ZZ )
10	9, 5	zsubcld 9705	. 2 |- ( ph -> ( P - ( A x. 2 ) ) e. ZZ )
11		zq 9958	. . . 4 |- ( ( A x. 2 ) e. ZZ -> ( A x. 2 ) e. QQ )
12	5, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A x. 2 ) e. QQ )
13		2nn 9399	. . . . 5 |- 2 e. NN
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN )
15		znq 9956	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( P / 2 ) e. QQ )
17		qdclt 10605	. . 3 |- ( ( ( A x. 2 ) e. QQ /\ ( P / 2 ) e. QQ ) -> DECID ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) )
18	12, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> DECID ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) )
19	5, 10, 18	ifcldcd 3660	1 |- ( ph -> if ( ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( A x. 2 ) , ( P - ( A x. 2 ) ) ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   \ cdif 3208   ifcif 3620   {csn 3689   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171  (class class class)co 6050   1c1 8128   x. cmul 8132   < clt 8308   - cmin 8444   / cdiv 8946   NNcn 9237   2c2 9288   ZZcz 9577   QQcq 9951   ...cfz 10342   Primecprime 12802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-prm 12803

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1f1o  15931