Theorem gausslemma2dlem1cl 15858

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 15860. Closure of the body of the definition of R. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2dlem1cl.a	|- ( ph -> A e. ( 1 ... H ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1cl	|- ( ph -> if ( ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( A x. 2 ) , ( P - ( A x. 2 ) ) ) e. ZZ )

Proof of Theorem gausslemma2dlem1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem1cl.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( 1 ... H ) )
2	1	elfzelzd 10304	. . 3 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		2z 9550	. . . 4 |- 2 e. ZZ
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
5	2, 4	zmulcld 9651	. 2 |- ( ph -> ( A x. 2 ) e. ZZ )
6		gausslemma2d.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
7		eldifi 3331	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
8		prmz 12744	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> P e. ZZ )
10	9, 5	zsubcld 9650	. 2 |- ( ph -> ( P - ( A x. 2 ) ) e. ZZ )
11		zq 9903	. . . 4 |- ( ( A x. 2 ) e. ZZ -> ( A x. 2 ) e. QQ )
12	5, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A x. 2 ) e. QQ )
13		2nn 9348	. . . . 5 |- 2 e. NN
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN )
15		znq 9901	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( P / 2 ) e. QQ )
17		qdclt 10549	. . 3 |- ( ( ( A x. 2 ) e. QQ /\ ( P / 2 ) e. QQ ) -> DECID ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) )
18	12, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> DECID ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) )
19	5, 10, 18	ifcldcd 3647	1 |- ( ph -> if ( ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( A x. 2 ) , ( P - ( A x. 2 ) ) ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   \ cdif 3198   ifcif 3607   {csn 3673   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155  (class class class)co 6028   1c1 8076   x. cmul 8080   < clt 8257   - cmin 8393   / cdiv 8895   NNcn 9186   2c2 9237   ZZcz 9522   QQcq 9896   ...cfz 10286   Primecprime 12740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-prm 12741

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1f1o  15859