Theorem gausslemma2dlem1cl 15267

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 15269. Closure of the body of the definition of R. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2dlem1cl.a	|- ( ph -> A e. ( 1 ... H ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1cl	|- ( ph -> if ( ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( A x. 2 ) , ( P - ( A x. 2 ) ) ) e. ZZ )

Proof of Theorem gausslemma2dlem1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem1cl.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( 1 ... H ) )
2	1	elfzelzd 10098	. . 3 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		2z 9351	. . . 4 |- 2 e. ZZ
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
5	2, 4	zmulcld 9451	. 2 |- ( ph -> ( A x. 2 ) e. ZZ )
6		gausslemma2d.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
7		eldifi 3285	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
8		prmz 12255	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> P e. ZZ )
10	9, 5	zsubcld 9450	. 2 |- ( ph -> ( P - ( A x. 2 ) ) e. ZZ )
11		zq 9697	. . . 4 |- ( ( A x. 2 ) e. ZZ -> ( A x. 2 ) e. QQ )
12	5, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A x. 2 ) e. QQ )
13		2nn 9149	. . . . 5 |- 2 e. NN
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN )
15		znq 9695	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( P / 2 ) e. QQ )
17		qdclt 10321	. . 3 |- ( ( ( A x. 2 ) e. QQ /\ ( P / 2 ) e. QQ ) -> DECID ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) )
18	12, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> DECID ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) )
19	5, 10, 18	ifcldcd 3597	1 |- ( ph -> if ( ( A x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( A x. 2 ) , ( P - ( A x. 2 ) ) ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   \ cdif 3154   ifcif 3561   {csn 3622   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094  (class class class)co 5922   1c1 7878   x. cmul 7882   < clt 8059   - cmin 8195   / cdiv 8696   NNcn 8987   2c2 9038   ZZcz 9323   QQcq 9690   ...cfz 10080   Primecprime 12251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-2 9046  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-q 9691  df-rp 9726  df-fz 10081  df-prm 12252

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1f1o  15268