Theorem gausslemma2dlem1 15312

Description: Lemma 1 for gausslemma2d 15320. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1	|- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k

Allowed substitution hints:   P( k)   R( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . . . 5 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3	1, 2	gausslemma2dlem0b 15301	. . . 4 |- ( ph -> H e. NN )
4	3	nnnn0d 9304	. . 3 |- ( ph -> H e. NN0 )
5		fprodfac 11782	. . 3 |- ( H e. NN0 -> ( ! ` H ) = prod_ l e. ( 1 ... H ) l )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ l e. ( 1 ... H ) l )
7		id 19	. . 3 |- ( l = ( R ` k ) -> l = ( R ` k ) )
8		1zzd 9355	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
9	3	nnzd 9449	. . . 4 |- ( ph -> H e. ZZ )
10	8, 9	fzfigd 10525	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... H ) e. Fin )
11		gausslemma2d.r	. . . 4 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
12	1, 2, 11	gausslemma2dlem1f1o 15311	. . 3 |- ( ph -> R : ( 1 ... H ) -1-1-onto-> ( 1 ... H ) )
13		eqidd 2197	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) = ( R ` k ) )
14		elfzelz 10102	. . . . 5 |- ( l e. ( 1 ... H ) -> l e. ZZ )
15	14	zcnd 9451	. . . 4 |- ( l e. ( 1 ... H ) -> l e. CC )
16	15	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ l e. ( 1 ... H ) ) -> l e. CC )
17	7, 10, 12, 13, 16	fprodf1o 11755	. 2 |- ( ph -> prod_ l e. ( 1 ... H ) l = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
18	6, 17	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   \ cdif 3154   ifcif 3562   {csn 3623   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   CCcc 7879   1c1 7882   x. cmul 7886   < clt 8063   - cmin 8199   / cdiv 8701   2c2 9043   NN0cn0 9251   ...cfz 10085   !cfa 10819   prod_cprod 11717   Primecprime 12285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-frec 6450  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6593  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-ioo 9969  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-fl 10362  df-mod 10417  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-fac 10820  df-ihash 10870  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-clim 11446  df-proddc 11718  df-dvds 11955  df-prm 12286

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem4  15315