Theorem gausslemma2dlem1 15725

Description: Lemma 1 for gausslemma2d 15733. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1	|- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k

Allowed substitution hints:   P( k)   R( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . . . 5 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3	1, 2	gausslemma2dlem0b 15714	. . . 4 |- ( ph -> H e. NN )
4	3	nnnn0d 9410	. . 3 |- ( ph -> H e. NN0 )
5		fprodfac 12112	. . 3 |- ( H e. NN0 -> ( ! ` H ) = prod_ l e. ( 1 ... H ) l )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ l e. ( 1 ... H ) l )
7		id 19	. . 3 |- ( l = ( R ` k ) -> l = ( R ` k ) )
8		1zzd 9461	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
9	3	nnzd 9556	. . . 4 |- ( ph -> H e. ZZ )
10	8, 9	fzfigd 10640	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... H ) e. Fin )
11		gausslemma2d.r	. . . 4 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
12	1, 2, 11	gausslemma2dlem1f1o 15724	. . 3 |- ( ph -> R : ( 1 ... H ) -1-1-onto-> ( 1 ... H ) )
13		eqidd 2230	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) = ( R ` k ) )
14		elfzelz 10209	. . . . 5 |- ( l e. ( 1 ... H ) -> l e. ZZ )
15	14	zcnd 9558	. . . 4 |- ( l e. ( 1 ... H ) -> l e. CC )
16	15	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ l e. ( 1 ... H ) ) -> l e. CC )
17	7, 10, 12, 13, 16	fprodf1o 12085	. 2 |- ( ph -> prod_ l e. ( 1 ... H ) l = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
18	6, 17	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   \ cdif 3194   ifcif 3602   {csn 3666   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   CCcc 7985   1c1 7988   x. cmul 7992   < clt 8169   - cmin 8305   / cdiv 8807   2c2 9149   NN0cn0 9357   ...cfz 10192   !cfa 10934   prod_cprod 12047   Primecprime 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-2o 6553  df-oadd 6556  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-ioo 10076  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-fac 10935  df-ihash 10985  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-proddc 12048  df-dvds 12285  df-prm 12616

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem4  15728