gausslemma2dlem1f1o - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem gausslemma2dlem1f1o 15782

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 15783. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gausslemma2d.p	$\$
gausslemma2d.h
gausslemma2d.r

**Assertion**
Ref	Expression
gausslemma2dlem1f1o

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1f1o Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . 10 $\$
2	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
3		gausslemma2d.h	. . . . . . . . 9
4		gausslemma2d.r	. . . . . . . . 9
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
6	2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem1cl 15781	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	ralrimiva 2603	. . . . . . 7
8	4	fnmpt 5456	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6
10		dffn4 5562	. . . . . 6
11	9, 10	sylib 122	. . . . 5
12	1, 3, 4	gausslemma2dlem1a 15780	. . . . . 6
13		foeq3 5554	. . . . . 6
14	12, 13	syl 14	. . . . 5
15	11, 14	mpbid 147	. . . 4
16		fof 5556	. . . 4
17	15, 16	syl 14	. . 3
18		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
19	18	elfzelzd 10254	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21	zcnd 9596	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		simprr 531	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
24	23	elfzelzd 10254	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25	zcnd 9596	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		2cnd 9209	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		2ap0 9229	. . . . . . . 8 #
29	28	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
30		simplr 528	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . 12
33	31	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12
34	32, 31, 33	ifbieq12d 3630	. . . . . . . . . . 11
35	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
36	35, 3, 4, 18	gausslemma2dlem1cl 15781	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
37	4, 34, 18, 36	fvmptd3 5736	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	iftrued 3610	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	38, 40	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . 12
44	42	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12
45	43, 42, 44	ifbieq12d 3630	. . . . . . . . . . 11
46	35, 3, 4, 23	gausslemma2dlem1cl 15781	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
47	4, 45, 23, 46	fvmptd3 5736	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		2z 9500	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50		dvdsmul2 12368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
51	19, 49, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52, 41	breqtrrd 4114	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		eldifi 3327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
56		prmz 12676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
58	35, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
59		oddn2prm 12827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
60	1, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
62	49	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
63	24, 62	zmulcld 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
64		dvdsmul2 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
65	24, 49, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
66		omeo 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
67	58, 61, 63, 65, 66	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
69	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
71	70	iffalsed 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
72	69, 71	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
73	72	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
74	68, 73	mtbird 677	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	ad4ant14 514	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	77	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	75, 78	mtbird 677	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	54, 79	pm2.65da 665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		zq 9853	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	63, 81	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
83	1, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84		2nn 9298	. . . . . . . . . . . . . . . 16
85		znq 9851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
86	83, 84, 85	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
88		qdclt 10498	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ DECID
89	82, 87, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ DECID
90		exmiddc 841	. . . . . . . . . . . . 13 DECID $\/$
91	89, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
92	91	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
93	80, 92	ecased 1383	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	iftrued 3610	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	48, 94	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	30, 41, 95	3eqtr3d 2270	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	22, 26, 27, 29, 96	mulcanap2ad 8837	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	19	zcnd 9596	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	98	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	24	zcnd 9596	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
101	100	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		2cnd 9209	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	28	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
104	83	zcnd 9596	. . . . . . . . 9
105	104	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	19, 62	zmulcld 9601	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
107	106	zcnd 9596	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
108	107	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	63	zcnd 9596	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
110	109	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		simplr 528	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	iffalsed 3613	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	112, 114	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	65	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	47	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	119	iftrued 3610	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	118, 120	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	117, 121	breqtrrd 4114	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	77	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	122, 123	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		omeo 12452	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
126	58, 61, 106, 51, 125	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
127	126	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	37	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	iffalsed 3613	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	128, 130	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	127, 132	mtbird 677	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	124, 133	pm2.65da 665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	iffalsed 3613	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	116, 135	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	111, 115, 136	3eqtr3d 2270	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	105, 108, 110, 137	subcand 8524	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	99, 101, 102, 103, 138	mulcanap2ad 8837	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	49	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
141	20, 140	zmulcld 9601	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
142		zq 9853	. . . . . . . . 9
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
144	86	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
145		qdclt 10498	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
146	143, 144, 145	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
147		exmiddc 841	. . . . . . 7 DECID $\/$
148	146, 147	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
149	97, 139, 148	mpjaodan 803	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
150	149	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$
151	150	ralrimivva 2612	. . 3
152		dff13 5904	. . 3 $/\$
153	17, 151, 152	sylanbrc 417	. 2
154		df-f1o 5331	. 2 $/\$
155	153, 15, 154	sylanbrc 417	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713 DECID wdc 839

wceq 1395

wcel 2200

wral 2508 $\$ cdif 3195

cif 3603

csn 3667 class class class wbr 4086

cmpt 4148

crn 4724

wfn 5319

wf 5320

wf1 5321

wfo 5322

wf1o 5323

cfv 5324 (class class class)co 6013

cc 8023

cc0 8025

c1 8026

cmul 8030

clt 8207

cmin 8343 # cap 8754

cdiv 8845

cn 9136

c2 9187

cz 9472

cq 9846

cfz 10236

cdvds 12341

cprime 12672

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8116 ax-resscn 8117 ax-1cn 8118 ax-1re 8119 ax-icn 8120 ax-addcl 8121 ax-addrcl 8122 ax-mulcl 8123 ax-mulrcl 8124 ax-addcom 8125 ax-mulcom 8126 ax-addass 8127 ax-mulass 8128 ax-distr 8129 ax-i2m1 8130 ax-0lt1 8131 ax-1rid 8132 ax-0id 8133 ax-rnegex 8134 ax-precex 8135 ax-cnre 8136 ax-pre-ltirr 8137 ax-pre-ltwlin 8138 ax-pre-lttrn 8139 ax-pre-apti 8140 ax-pre-ltadd 8141 ax-pre-mulgt0 8142 ax-pre-mulext 8143 ax-arch 8144 ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-xor 1418 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-frec 6552 df-1o 6577 df-2o 6578 df-er 6697 df-en 6905 df-pnf 8209 df-mnf 8210 df-xr 8211 df-ltxr 8212 df-le 8213 df-sub 8345 df-neg 8346 df-reap 8748 df-ap 8755 df-div 8846 df-inn 9137 df-2 9195 df-3 9196 df-4 9197 df-n0 9396 df-z 9473 df-uz 9749 df-q 9847 df-rp 9882 df-ioo 10120 df-fz 10237 df-fl 10523 df-mod 10578 df-seqfrec 10703 df-exp 10794 df-cj 11396 df-re 11397 df-im 11398 df-rsqrt 11552 df-abs 11553 df-dvds 12342 df-prm 12673

This theorem is referenced by: gausslemma2dlem1 15783

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