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Theorem gausslemma2dlem1f1o 16191

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 16192. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gausslemma2d.p	$\$
gausslemma2d.h
gausslemma2d.r

**Assertion**
Ref	Expression
gausslemma2dlem1f1o

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1f1o Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . 10 $\$
2	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
3		gausslemma2d.h	. . . . . . . . 9
4		gausslemma2d.r	. . . . . . . . 9
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
6	2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem1cl 16190	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	ralrimiva 2623	. . . . . . 7
8	4	fnmpt 5510	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6
10		dffn4 5621	. . . . . 6
11	9, 10	sylib 122	. . . . 5
12	1, 3, 4	gausslemma2dlem1a 16189	. . . . . 6
13		foeq3 5613	. . . . . 6
14	12, 13	syl 14	. . . . 5
15	11, 14	mpbid 147	. . . 4
16		fof 5615	. . . 4
17	15, 16	syl 14	. . 3
18		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
19	18	elfzelzd 10431	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21	zcnd 9771	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		simprr 537	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
24	23	elfzelzd 10431	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
25	24	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25	zcnd 9771	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		2cnd 9378	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		2ap0 9398	. . . . . . . 8 #
29	28	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
30		simplr 533	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . 12
33	31	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12
34	32, 31, 33	ifbieq12d 3667	. . . . . . . . . . 11
35	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
36	35, 3, 4, 18	gausslemma2dlem1cl 16190	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
37	4, 34, 18, 36	fvmptd3 5799	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
38	37	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	iftrued 3647	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	38, 40	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . 12
44	42	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12
45	43, 42, 44	ifbieq12d 3667	. . . . . . . . . . 11
46	35, 3, 4, 23	gausslemma2dlem1cl 16190	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
47	4, 45, 23, 46	fvmptd3 5799	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	47	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		2z 9674	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50		dvdsmul2 12583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
51	19, 49, 50	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
52	51	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52, 41	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		eldifi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
56		prmz 12891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
58	35, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
59		oddn2prm 13042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
60	1, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
62	49	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
63	24, 62	zmulcld 9776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
64		dvdsmul2 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
65	24, 49, 64	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
66		omeo 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
67	58, 61, 63, 65, 66	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
69	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
71	70	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
72	69, 71	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
73	72	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
74	68, 73	mtbird 684	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	ad4ant14 518	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	77	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	75, 78	mtbird 684	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	54, 79	pm2.65da 671	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		zq 10028	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	63, 81	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
83	1, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84		2nn 9468	. . . . . . . . . . . . . . . 16
85		znq 10026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
86	83, 84, 85	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . 15
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
88		qdclt 10682	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ DECID
89	82, 87, 88	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ DECID
90		exmiddc 848	. . . . . . . . . . . . 13 DECID $\/$
91	89, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
92	91	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
93	80, 92	ecased 1390	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	iftrued 3647	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	48, 94	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	30, 41, 95	3eqtr3d 2279	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	22, 26, 27, 29, 96	mulcanap2ad 8993	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	19	zcnd 9771	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	98	ad2antrr 492	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	24	zcnd 9771	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
101	100	ad2antrr 492	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		2cnd 9378	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	28	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
104	83	zcnd 9771	. . . . . . . . 9
105	104	ad3antrrr 496	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	19, 62	zmulcld 9776	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
107	106	zcnd 9771	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
108	107	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	63	zcnd 9771	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
110	109	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		simplr 533	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	37	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	iffalsed 3650	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	112, 114	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	47	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	65	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	47	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	119	iftrued 3647	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	118, 120	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	117, 121	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	77	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	122, 123	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		omeo 12667	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
126	58, 61, 106, 51, 125	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
127	126	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	37	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	128, 130	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	127, 132	mtbird 684	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	124, 133	pm2.65da 671	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	iffalsed 3650	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	116, 135	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	111, 115, 136	3eqtr3d 2279	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	105, 108, 110, 137	subcand 8678	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	99, 101, 102, 103, 138	mulcanap2ad 8993	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	49	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
141	20, 140	zmulcld 9776	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
142		zq 10028	. . . . . . . . 9
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
144	86	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
145		qdclt 10682	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
146	143, 144, 145	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
147		exmiddc 848	. . . . . . 7 DECID $\/$
148	146, 147	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
149	97, 139, 148	mpjaodan 810	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
150	149	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$
151	150	ralrimivva 2632	. . 3
152		dff13 5974	. . 3 $/\$
153	17, 151, 152	sylanbrc 421	. 2
154		df-f1o 5384	. 2 $/\$
155	153, 15, 154	sylanbrc 421	1

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720 DECID wdc 846

wceq 1402

wcel 2209

wral 2528 $\$ cdif 3217

cif 3638

csn 3709 class class class wbr 4130

cmpt 4192

crn 4775

wfn 5372

wf 5373

wf1 5374

wfo 5375

wf1o 5376

cfv 5377 (class class class)co 6085

cc 8177

cc0 8179

c1 8180

cmul 8184

clt 8360

cmin 8497 # cap 8910

cdiv 9003

cn 9305

c2 9356

cz 9646

cq 10021

cfz 10413

cdvds 12556

cprime 12887

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 ax-arch 8298 ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-xor 1425 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-1o 6687 df-2o 6688 df-er 6807 df-en 7023 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8904 df-ap 8911 df-div 9004 df-inn 9306 df-2 9364 df-3 9365 df-4 9366 df-n0 9566 df-z 9647 df-uz 9924 df-q 10022 df-rp 10057 df-ioo 10296 df-fz 10414 df-fl 10707 df-mod 10762 df-seqfrec 10887 df-exp 10978 df-cj 11609 df-re 11610 df-im 11611 df-rsqrt 11766 df-abs 11767 df-dvds 12557 df-prm 12888

This theorem is used by: gausslemma2dlem1 16192

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