gausslemma2dlem1f1o - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem gausslemma2dlem1f1o 15587

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 15588. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gausslemma2d.p	$\$
gausslemma2d.h
gausslemma2d.r

**Assertion**
Ref	Expression
gausslemma2dlem1f1o

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1f1o Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . 10 $\$
2	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
3		gausslemma2d.h	. . . . . . . . 9
4		gausslemma2d.r	. . . . . . . . 9
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
6	2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem1cl 15586	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	ralrimiva 2580	. . . . . . 7
8	4	fnmpt 5409	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6
10		dffn4 5513	. . . . . 6
11	9, 10	sylib 122	. . . . 5
12	1, 3, 4	gausslemma2dlem1a 15585	. . . . . 6
13		foeq3 5505	. . . . . 6
14	12, 13	syl 14	. . . . 5
15	11, 14	mpbid 147	. . . 4
16		fof 5507	. . . 4
17	15, 16	syl 14	. . 3
18		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
19	18	elfzelzd 10161	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21	zcnd 9509	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		simprr 531	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
24	23	elfzelzd 10161	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25	zcnd 9509	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		2cnd 9122	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		2ap0 9142	. . . . . . . 8 #
29	28	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
30		simplr 528	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		oveq1 5961	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	breq1d 4058	. . . . . . . . . . . 12
33	31	oveq2d 5970	. . . . . . . . . . . 12
34	32, 31, 33	ifbieq12d 3599	. . . . . . . . . . 11
35	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
36	35, 3, 4, 18	gausslemma2dlem1cl 15586	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
37	4, 34, 18, 36	fvmptd3 5683	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	iftrued 3580	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	38, 40	eqtrd 2239	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		oveq1 5961	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	breq1d 4058	. . . . . . . . . . . 12
44	42	oveq2d 5970	. . . . . . . . . . . 12
45	43, 42, 44	ifbieq12d 3599	. . . . . . . . . . 11
46	35, 3, 4, 23	gausslemma2dlem1cl 15586	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
47	4, 45, 23, 46	fvmptd3 5683	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		2z 9413	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50		dvdsmul2 12175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
51	19, 49, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52, 41	breqtrrd 4076	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		eldifi 3297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
56		prmz 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
58	35, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
59		oddn2prm 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
60	1, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
62	49	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
63	24, 62	zmulcld 9514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
64		dvdsmul2 12175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
65	24, 49, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
66		omeo 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
67	58, 61, 63, 65, 66	syl22anc 1251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
69	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
71	70	iffalsed 3583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
72	69, 71	eqtrd 2239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
73	72	breq2d 4060	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
74	68, 73	mtbird 675	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	ad4ant14 514	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	breq2d 4060	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	77	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	75, 78	mtbird 675	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	54, 79	pm2.65da 663	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		zq 9760	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	63, 81	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
83	1, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84		2nn 9211	. . . . . . . . . . . . . . . 16
85		znq 9758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
86	83, 84, 85	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
88		qdclt 10401	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ DECID
89	82, 87, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ DECID
90		exmiddc 838	. . . . . . . . . . . . 13 DECID $\/$
91	89, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
92	91	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
93	80, 92	ecased 1362	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	iftrued 3580	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	48, 94	eqtrd 2239	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	30, 41, 95	3eqtr3d 2247	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	22, 26, 27, 29, 96	mulcanap2ad 8750	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	19	zcnd 9509	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	98	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	24	zcnd 9509	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
101	100	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		2cnd 9122	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	28	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
104	83	zcnd 9509	. . . . . . . . 9
105	104	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	19, 62	zmulcld 9514	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
107	106	zcnd 9509	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
108	107	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	63	zcnd 9509	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
110	109	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		simplr 528	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	iffalsed 3583	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	112, 114	eqtrd 2239	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	65	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	47	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	119	iftrued 3580	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	118, 120	eqtrd 2239	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	117, 121	breqtrrd 4076	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	77	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	122, 123	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		omeo 12259	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
126	58, 61, 106, 51, 125	syl22anc 1251	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
127	126	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	37	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	iffalsed 3583	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	128, 130	eqtrd 2239	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	breq2d 4060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	127, 132	mtbird 675	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	124, 133	pm2.65da 663	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	iffalsed 3583	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	116, 135	eqtrd 2239	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	111, 115, 136	3eqtr3d 2247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	105, 108, 110, 137	subcand 8437	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	99, 101, 102, 103, 138	mulcanap2ad 8750	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	49	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
141	20, 140	zmulcld 9514	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
142		zq 9760	. . . . . . . . 9
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
144	86	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
145		qdclt 10401	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
146	143, 144, 145	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
147		exmiddc 838	. . . . . . 7 DECID $\/$
148	146, 147	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
149	97, 139, 148	mpjaodan 800	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
150	149	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$
151	150	ralrimivva 2589	. . 3
152		dff13 5847	. . 3 $/\$
153	17, 151, 152	sylanbrc 417	. 2
154		df-f1o 5284	. 2 $/\$
155	153, 15, 154	sylanbrc 417	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 710 DECID wdc 836

wceq 1373

wcel 2177

wral 2485 $\$ cdif 3165

cif 3573

csn 3635 class class class wbr 4048

cmpt 4110

crn 4681

wfn 5272

wf 5273

wf1 5274

wfo 5275

wf1o 5276

cfv 5277 (class class class)co 5954

cc 7936

cc0 7938

c1 7939

cmul 7943

clt 8120

cmin 8256 # cap 8667

cdiv 8758

cn 9049

c2 9100

cz 9385

cq 9753

cfz 10143

cdvds 12148

cprime 12479

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2179 ax-14 2180 ax-ext 2188 ax-coll 4164 ax-sep 4167 ax-nul 4175 ax-pow 4223 ax-pr 4258 ax-un 4485 ax-setind 4590 ax-iinf 4641 ax-cnex 8029 ax-resscn 8030 ax-1cn 8031 ax-1re 8032 ax-icn 8033 ax-addcl 8034 ax-addrcl 8035 ax-mulcl 8036 ax-mulrcl 8037 ax-addcom 8038 ax-mulcom 8039 ax-addass 8040 ax-mulass 8041 ax-distr 8042 ax-i2m1 8043 ax-0lt1 8044 ax-1rid 8045 ax-0id 8046 ax-rnegex 8047 ax-precex 8048 ax-cnre 8049 ax-pre-ltirr 8050 ax-pre-ltwlin 8051 ax-pre-lttrn 8052 ax-pre-apti 8053 ax-pre-ltadd 8054 ax-pre-mulgt0 8055 ax-pre-mulext 8056 ax-arch 8057 ax-caucvg 8058

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-xor 1396 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2193 df-cleq 2199 df-clel 2202 df-nfc 2338 df-ne 2378 df-nel 2473 df-ral 2490 df-rex 2491 df-reu 2492 df-rmo 2493 df-rab 2494 df-v 2775 df-sbc 3001 df-csb 3096 df-dif 3170 df-un 3172 df-in 3174 df-ss 3181 df-nul 3463 df-if 3574 df-pw 3620 df-sn 3641 df-pr 3642 df-op 3644 df-uni 3854 df-int 3889 df-iun 3932 df-br 4049 df-opab 4111 df-mpt 4112 df-tr 4148 df-id 4345 df-po 4348 df-iso 4349 df-iord 4418 df-on 4420 df-ilim 4421 df-suc 4423 df-iom 4644 df-xp 4686 df-rel 4687 df-cnv 4688 df-co 4689 df-dm 4690 df-rn 4691 df-res 4692 df-ima 4693 df-iota 5238 df-fun 5279 df-fn 5280 df-f 5281 df-f1 5282 df-fo 5283 df-f1o 5284 df-fv 5285 df-riota 5909 df-ov 5957 df-oprab 5958 df-mpo 5959 df-1st 6236 df-2nd 6237 df-recs 6401 df-frec 6487 df-1o 6512 df-2o 6513 df-er 6630 df-en 6838 df-pnf 8122 df-mnf 8123 df-xr 8124 df-ltxr 8125 df-le 8126 df-sub 8258 df-neg 8259 df-reap 8661 df-ap 8668 df-div 8759 df-inn 9050 df-2 9108 df-3 9109 df-4 9110 df-n0 9309 df-z 9386 df-uz 9662 df-q 9754 df-rp 9789 df-ioo 10027 df-fz 10144 df-fl 10426 df-mod 10481 df-seqfrec 10606 df-exp 10697 df-cj 11203 df-re 11204 df-im 11205 df-rsqrt 11359 df-abs 11360 df-dvds 12149 df-prm 12480

This theorem is referenced by: gausslemma2dlem1 15588

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