gausslemma2dlem1f1o - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem gausslemma2dlem1f1o 16162

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 16163. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gausslemma2d.p	$\$
gausslemma2d.h
gausslemma2d.r

**Assertion**
Ref	Expression
gausslemma2dlem1f1o

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1f1o Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . 10 $\$
2	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
3		gausslemma2d.h	. . . . . . . . 9
4		gausslemma2d.r	. . . . . . . . 9
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
6	2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem1cl 16161	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	ralrimiva 2623	. . . . . . 7
8	4	fnmpt 5508	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6
10		dffn4 5619	. . . . . 6
11	9, 10	sylib 122	. . . . 5
12	1, 3, 4	gausslemma2dlem1a 16160	. . . . . 6
13		foeq3 5611	. . . . . 6
14	12, 13	syl 14	. . . . 5
15	11, 14	mpbid 147	. . . 4
16		fof 5613	. . . 4
17	15, 16	syl 14	. . 3
18		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
19	18	elfzelzd 10412	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21	zcnd 9752	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		simprr 537	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
24	23	elfzelzd 10412	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
25	24	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25	zcnd 9752	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		2cnd 9360	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		2ap0 9380	. . . . . . . 8 #
29	28	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
30		simplr 533	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		oveq1 6086	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	breq1d 4138	. . . . . . . . . . . 12
33	31	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . 12
34	32, 31, 33	ifbieq12d 3667	. . . . . . . . . . 11
35	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
36	35, 3, 4, 18	gausslemma2dlem1cl 16161	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
37	4, 34, 18, 36	fvmptd3 5796	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
38	37	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	iftrued 3647	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	38, 40	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		oveq1 6086	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	breq1d 4138	. . . . . . . . . . . 12
44	42	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . . 12
45	43, 42, 44	ifbieq12d 3667	. . . . . . . . . . 11
46	35, 3, 4, 23	gausslemma2dlem1cl 16161	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
47	4, 45, 23, 46	fvmptd3 5796	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	47	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		2z 9655	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50		dvdsmul2 12564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
51	19, 49, 50	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
52	51	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52, 41	breqtrrd 4156	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		eldifi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
56		prmz 12872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
58	35, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
59		oddn2prm 13023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
60	1, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
62	49	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
63	24, 62	zmulcld 9757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
64		dvdsmul2 12564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
65	24, 49, 64	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
66		omeo 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
67	58, 61, 63, 65, 66	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
69	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
71	70	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
72	69, 71	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
73	72	breq2d 4140	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
74	68, 73	mtbird 684	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	ad4ant14 518	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	breq2d 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	77	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	75, 78	mtbird 684	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	54, 79	pm2.65da 671	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		zq 10009	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	63, 81	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
83	1, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84		2nn 9449	. . . . . . . . . . . . . . . 16
85		znq 10007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
86	83, 84, 85	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . 15
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
88		qdclt 10663	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ DECID
89	82, 87, 88	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ DECID
90		exmiddc 848	. . . . . . . . . . . . 13 DECID $\/$
91	89, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
92	91	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
93	80, 92	ecased 1390	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	iftrued 3647	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	48, 94	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	30, 41, 95	3eqtr3d 2279	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	22, 26, 27, 29, 96	mulcanap2ad 8986	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	19	zcnd 9752	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	98	ad2antrr 492	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	24	zcnd 9752	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
101	100	ad2antrr 492	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		2cnd 9360	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	28	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
104	83	zcnd 9752	. . . . . . . . 9
105	104	ad3antrrr 496	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	19, 62	zmulcld 9757	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
107	106	zcnd 9752	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
108	107	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	63	zcnd 9752	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
110	109	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		simplr 533	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	37	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	iffalsed 3650	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	112, 114	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	47	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	65	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	47	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	119	iftrued 3647	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	118, 120	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	117, 121	breqtrrd 4156	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	77	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	122, 123	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		omeo 12648	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
126	58, 61, 106, 51, 125	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
127	126	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	37	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	128, 130	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	breq2d 4140	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	127, 132	mtbird 684	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	124, 133	pm2.65da 671	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	iffalsed 3650	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	116, 135	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	111, 115, 136	3eqtr3d 2279	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	105, 108, 110, 137	subcand 8672	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	99, 101, 102, 103, 138	mulcanap2ad 8986	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	49	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
141	20, 140	zmulcld 9757	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
142		zq 10009	. . . . . . . . 9
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
144	86	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
145		qdclt 10663	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
146	143, 144, 145	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
147		exmiddc 848	. . . . . . 7 DECID $\/$
148	146, 147	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
149	97, 139, 148	mpjaodan 810	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
150	149	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$
151	150	ralrimivva 2632	. . 3
152		dff13 5968	. . 3 $/\$
153	17, 151, 152	sylanbrc 421	. 2
154		df-f1o 5382	. 2 $/\$
155	153, 15, 154	sylanbrc 421	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720 DECID wdc 846

wceq 1402

wcel 2209

wral 2528 $\$ cdif 3217

cif 3638

csn 3708 class class class wbr 4128

cmpt 4190

crn 4773

wfn 5370

wf 5371

wf1 5372

wfo 5373

wf1o 5374

cfv 5375 (class class class)co 6079

cc 8171

cc0 8173

c1 8174

cmul 8178

clt 8354

cmin 8491 # cap 8903

cdiv 8996

cn 9287

c2 9338

cz 9627

cq 10002

cfz 10394

cdvds 12537

cprime 12868

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8264 ax-resscn 8265 ax-1cn 8266 ax-1re 8267 ax-icn 8268 ax-addcl 8269 ax-addrcl 8270 ax-mulcl 8271 ax-mulrcl 8272 ax-addcom 8273 ax-mulcom 8274 ax-addass 8275 ax-mulass 8276 ax-distr 8277 ax-i2m1 8278 ax-0lt1 8279 ax-1rid 8280 ax-0id 8281 ax-rnegex 8282 ax-precex 8283 ax-cnre 8284 ax-pre-ltirr 8285 ax-pre-ltwlin 8286 ax-pre-lttrn 8287 ax-pre-apti 8288 ax-pre-ltadd 8289 ax-pre-mulgt0 8290 ax-pre-mulext 8291 ax-arch 8292 ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-xor 1425 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-riota 6032 df-ov 6082 df-oprab 6083 df-mpo 6084 df-1st 6368 df-2nd 6369 df-recs 6570 df-frec 6656 df-1o 6681 df-2o 6682 df-er 6801 df-en 7017 df-pnf 8356 df-mnf 8357 df-xr 8358 df-ltxr 8359 df-le 8360 df-sub 8493 df-neg 8494 df-reap 8897 df-ap 8904 df-div 8997 df-inn 9288 df-2 9346 df-3 9347 df-4 9348 df-n0 9547 df-z 9628 df-uz 9905 df-q 10003 df-rp 10038 df-ioo 10277 df-fz 10395 df-fl 10688 df-mod 10743 df-seqfrec 10868 df-exp 10959 df-cj 11590 df-re 11591 df-im 11592 df-rsqrt 11747 df-abs 11748 df-dvds 12538 df-prm 12869

This theorem is referenced by: gausslemma2dlem1 16163

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