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Theorem gausslemma2dlem1f1o 16396

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 16397. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gausslemma2d.p	$\$
gausslemma2d.h
gausslemma2d.r

**Assertion**
Ref	Expression
gausslemma2dlem1f1o

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1f1o Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . 10 $\$
2	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
3		gausslemma2d.h	. . . . . . . . 9
4		gausslemma2d.r	. . . . . . . . 9
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
6	2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem1cl 16395	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	ralrimiva 2623	. . . . . . 7
8	4	fnmpt 5513	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6
10		dffn4 5624	. . . . . 6
11	9, 10	sylib 122	. . . . 5
12	1, 3, 4	gausslemma2dlem1a 16394	. . . . . 6
13		foeq3 5616	. . . . . 6
14	12, 13	syl 14	. . . . 5
15	11, 14	mpbid 147	. . . 4
16		fof 5618	. . . 4
17	15, 16	syl 14	. . 3
18		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
19	18	elfzelzd 10447	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21	zcnd 9781	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		simprr 537	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
24	23	elfzelzd 10447	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
25	24	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25	zcnd 9781	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		2cnd 9387	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		2ap0 9407	. . . . . . . 8 #
29	28	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
30		simplr 533	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	breq1d 4141	. . . . . . . . . . . 12
33	31	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . 12
34	32, 31, 33	ifbieq12d 3667	. . . . . . . . . . 11
35	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
36	35, 3, 4, 18	gausslemma2dlem1cl 16395	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
37	4, 34, 18, 36	fvmptd3 5802	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
38	37	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	iftrued 3647	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	38, 40	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	breq1d 4141	. . . . . . . . . . . 12
44	42	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . 12
45	43, 42, 44	ifbieq12d 3667	. . . . . . . . . . 11
46	35, 3, 4, 23	gausslemma2dlem1cl 16395	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
47	4, 45, 23, 46	fvmptd3 5802	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	47	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		2z 9684	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50		dvdsmul2 12607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
51	19, 49, 50	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
52	51	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52, 41	breqtrrd 4159	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		eldifi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
56		prmz 12915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
58	35, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
59		oddn2prm 13070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
60	1, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
62	49	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
63	24, 62	zmulcld 9786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
64		dvdsmul2 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
65	24, 49, 64	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
66		omeo 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
67	58, 61, 63, 65, 66	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
69	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
71	70	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
72	69, 71	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
73	72	breq2d 4143	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
74	68, 73	mtbird 684	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	ad4ant14 518	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	breq2d 4143	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	77	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	75, 78	mtbird 684	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	54, 79	pm2.65da 671	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		zq 10043	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	63, 81	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
83	1, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84		2nn 9478	. . . . . . . . . . . . . . . 16
85		znq 10041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
86	83, 84, 85	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . 15
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
88		qdclt 10698	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ DECID
89	82, 87, 88	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ DECID
90		exmiddc 848	. . . . . . . . . . . . 13 DECID $\/$
91	89, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
92	91	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
93	80, 92	ecased 1390	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	iftrued 3647	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	48, 94	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	30, 41, 95	3eqtr3d 2279	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	22, 26, 27, 29, 96	mulcanap2ad 9001	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	19	zcnd 9781	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	98	ad2antrr 492	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	24	zcnd 9781	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
101	100	ad2antrr 492	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		2cnd 9387	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	28	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
104	83	zcnd 9781	. . . . . . . . 9
105	104	ad3antrrr 496	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	19, 62	zmulcld 9786	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
107	106	zcnd 9781	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
108	107	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	63	zcnd 9781	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
110	109	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		simplr 533	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	37	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	iffalsed 3650	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	112, 114	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	47	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	65	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	47	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	119	iftrued 3647	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	118, 120	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	117, 121	breqtrrd 4159	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	77	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	122, 123	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		omeo 12691	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
126	58, 61, 106, 51, 125	syl22anc 1279	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
127	126	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	37	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	128, 130	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	breq2d 4143	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	127, 132	mtbird 684	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	124, 133	pm2.65da 671	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	iffalsed 3650	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	116, 135	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	111, 115, 136	3eqtr3d 2279	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	105, 108, 110, 137	subcand 8686	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	99, 101, 102, 103, 138	mulcanap2ad 9001	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	49	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
141	20, 140	zmulcld 9786	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
142		zq 10043	. . . . . . . . 9
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
144	86	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
145		qdclt 10698	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
146	143, 144, 145	syl2anc 415	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
147		exmiddc 848	. . . . . . 7 DECID $\/$
148	146, 147	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
149	97, 139, 148	mpjaodan 810	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
150	149	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$
151	150	ralrimivva 2632	. . 3
152		dff13 5977	. . 3 $/\$
153	17, 151, 152	sylanbrc 421	. 2
154		df-f1o 5387	. 2 $/\$
155	153, 15, 154	sylanbrc 421	1

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720 DECID wdc 846

wceq 1402

wcel 2209

wral 2528 $\$ cdif 3217

cif 3638

csn 3709 class class class wbr 4131

cmpt 4193

crn 4777

wfn 5375

wf 5376

wf1 5377

wfo 5378

wf1o 5379

cfv 5380 (class class class)co 6088

cc 8184

cc0 8186

c1 8187

cmul 8191

clt 8367

cmin 8505 # cap 8918

cdiv 9011

cn 9314

c2 9365

cz 9656

cq 10036

cfz 10429

cdvds 12580

cprime 12911

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4248 ax-sep 4251 ax-nul 4261 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-iinf 4737 ax-cnex 8277 ax-resscn 8278 ax-1cn 8279 ax-1re 8280 ax-icn 8281 ax-addcl 8282 ax-addrcl 8283 ax-mulcl 8284 ax-mulrcl 8285 ax-addcom 8286 ax-mulcom 8287 ax-addass 8288 ax-mulass 8289 ax-distr 8290 ax-i2m1 8291 ax-0lt1 8292 ax-1rid 8293 ax-0id 8294 ax-rnegex 8295 ax-precex 8296 ax-cnre 8297 ax-pre-ltirr 8298 ax-pre-ltwlin 8299 ax-pre-lttrn 8300 ax-pre-apti 8301 ax-pre-ltadd 8302 ax-pre-mulgt0 8303 ax-pre-mulext 8304 ax-arch 8305 ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-xor 1425 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4132 df-opab 4194 df-mpt 4195 df-tr 4232 df-id 4440 df-po 4443 df-iso 4444 df-iord 4513 df-on 4515 df-ilim 4516 df-suc 4518 df-iom 4740 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-rn 4787 df-res 4788 df-ima 4789 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fn 5383 df-f 5384 df-f1 5385 df-fo 5386 df-f1o 5387 df-fv 5388 df-riota 6041 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-1st 6378 df-2nd 6379 df-recs 6580 df-frec 6666 df-1o 6691 df-2o 6692 df-er 6811 df-en 7028 df-pnf 8369 df-mnf 8370 df-xr 8371 df-ltxr 8372 df-le 8373 df-sub 8507 df-neg 8508 df-reap 8912 df-ap 8919 df-div 9012 df-inn 9315 df-2 9373 df-3 9374 df-4 9375 df-n0 9576 df-z 9657 df-uz 9939 df-q 10037 df-rp 10073 df-ioo 10312 df-fz 10430 df-fl 10723 df-mod 10782 df-seqfrec 10907 df-exp 10998 df-cj 11630 df-re 11631 df-im 11632 df-rsqrt 11787 df-abs 11788 df-dvds 12581 df-prm 12912

This theorem is used by: gausslemma2dlem1 16397

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