gausslemma2dlem1f1o - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem gausslemma2dlem1f1o 15795

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 15796. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Aug-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gausslemma2d.p	$\$
gausslemma2d.h
gausslemma2d.r

**Assertion**
Ref	Expression
gausslemma2dlem1f1o

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1f1o Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . 10 $\$
2	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
3		gausslemma2d.h	. . . . . . . . 9
4		gausslemma2d.r	. . . . . . . . 9
5		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
6	2, 3, 4, 5	gausslemma2dlem1cl 15794	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	ralrimiva 2605	. . . . . . 7
8	4	fnmpt 5459	. . . . . . 7
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6
10		dffn4 5565	. . . . . 6
11	9, 10	sylib 122	. . . . 5
12	1, 3, 4	gausslemma2dlem1a 15793	. . . . . 6
13		foeq3 5557	. . . . . 6
14	12, 13	syl 14	. . . . 5
15	11, 14	mpbid 147	. . . 4
16		fof 5559	. . . 4
17	15, 16	syl 14	. . 3
18		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
19	18	elfzelzd 10261	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21	zcnd 9603	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		simprr 533	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
24	23	elfzelzd 10261	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	25	zcnd 9603	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		2cnd 9216	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		2ap0 9236	. . . . . . . 8 #
29	28	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
30		simplr 529	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . 12
33	31	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . 12
34	32, 31, 33	ifbieq12d 3632	. . . . . . . . . . 11
35	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
36	35, 3, 4, 18	gausslemma2dlem1cl 15794	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
37	4, 34, 18, 36	fvmptd3 5740	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		simpr 110	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	iftrued 3612	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	38, 40	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . 12
44	42	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . 12
45	43, 42, 44	ifbieq12d 3632	. . . . . . . . . . 11
46	35, 3, 4, 23	gausslemma2dlem1cl 15794	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
47	4, 45, 23, 46	fvmptd3 5740	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		2z 9507	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50		dvdsmul2 12380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
51	19, 49, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
52	51	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52, 41	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		eldifi 3329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
56		prmz 12688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
58	35, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
59		oddn2prm 12839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
60	1, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
62	49	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
63	24, 62	zmulcld 9608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
64		dvdsmul2 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
65	24, 49, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
66		omeo 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
67	58, 61, 63, 65, 66	syl22anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
69	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
71	70	iffalsed 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
72	69, 71	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
73	72	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
74	68, 73	mtbird 679	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	ad4ant14 514	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
77	76	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78	77	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	75, 78	mtbird 679	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	54, 79	pm2.65da 667	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		zq 9860	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	63, 81	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
83	1, 57	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84		2nn 9305	. . . . . . . . . . . . . . . 16
85		znq 9858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
86	83, 84, 85	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15
87	86	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
88		qdclt 10506	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ DECID
89	82, 87, 88	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ DECID
90		exmiddc 843	. . . . . . . . . . . . 13 DECID $\/$
91	89, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
92	91	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
93	80, 92	ecased 1385	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	iftrued 3612	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	48, 94	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	30, 41, 95	3eqtr3d 2272	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	22, 26, 27, 29, 96	mulcanap2ad 8844	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	19	zcnd 9603	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
99	98	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	24	zcnd 9603	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
101	100	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		2cnd 9216	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	28	a1i 9	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
104	83	zcnd 9603	. . . . . . . . 9
105	104	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	19, 62	zmulcld 9608	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
107	106	zcnd 9603	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
108	107	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	63	zcnd 9603	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
110	109	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		simplr 529	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	iffalsed 3615	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	112, 114	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	65	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	47	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	119	iftrued 3612	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	118, 120	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	117, 121	breqtrrd 4116	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	77	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	122, 123	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		omeo 12464	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
126	58, 61, 106, 51, 125	syl22anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
127	126	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	37	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	iffalsed 3615	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	128, 130	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	127, 132	mtbird 679	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	124, 133	pm2.65da 667	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	iffalsed 3615	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	116, 135	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	111, 115, 136	3eqtr3d 2272	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	105, 108, 110, 137	subcand 8531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	99, 101, 102, 103, 138	mulcanap2ad 8844	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	49	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
141	20, 140	zmulcld 9608	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
142		zq 9860	. . . . . . . . 9
143	141, 142	syl 14	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
144	86	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
145		qdclt 10506	. . . . . . . 8 $/\$ DECID
146	143, 144, 145	syl2anc 411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
147		exmiddc 843	. . . . . . 7 DECID $\/$
148	146, 147	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
149	97, 139, 148	mpjaodan 805	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
150	149	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$
151	150	ralrimivva 2614	. . 3
152		dff13 5909	. . 3 $/\$
153	17, 151, 152	sylanbrc 417	. 2
154		df-f1o 5333	. 2 $/\$
155	153, 15, 154	sylanbrc 417	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 715 DECID wdc 841

wceq 1397

wcel 2202

wral 2510 $\$ cdif 3197

cif 3605

csn 3669 class class class wbr 4088

cmpt 4150

crn 4726

wfn 5321

wf 5322

wf1 5323

wfo 5324

wf1o 5325

cfv 5326 (class class class)co 6018

cc 8030

cc0 8032

c1 8033

cmul 8037

clt 8214

cmin 8350 # cap 8761

cdiv 8852

cn 9143

c2 9194

cz 9479

cq 9853

cfz 10243

cdvds 12353

cprime 12684

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151 ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-xor 1420 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-frec 6557 df-1o 6582 df-2o 6583 df-er 6702 df-en 6910 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-3 9203 df-4 9204 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-ioo 10127 df-fz 10244 df-fl 10531 df-mod 10586 df-seqfrec 10711 df-exp 10802 df-cj 11407 df-re 11408 df-im 11409 df-rsqrt 11563 df-abs 11564 df-dvds 12354 df-prm 12685

This theorem is referenced by: gausslemma2dlem1 15796

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