Theorem qdclt 10321

Description: Rational < is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
qdclt	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> DECID A < B )

Proof of Theorem qdclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtri3or 10316	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A < B \/ A = B \/ B < A ) )
2		qre 9696	. . 3 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
3		qre 9696	. . 3 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
4		orc 713	. . . . . 6 |- ( A < B -> ( A < B \/ -. A < B ) )
5		df-dc 836	. . . . . 6 |- (DECID A < B <-> ( A < B \/ -. A < B ) )
6	4, 5	sylibr 134	. . . . 5 |- ( A < B -> DECID A < B )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> DECID A < B ) )
8		ltnr 8101	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> -. A < A )
9	8	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> -. A < A )
10		breq2 4037	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( A < A <-> A < B ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> ( A < A <-> A < B ) )
12	9, 11	mtbid 673	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> -. A < B )
13		olc 712	. . . . . . . 8 |- ( -. A < B -> ( A < B \/ -. A < B ) )
14	13, 5	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( -. A < B -> DECID A < B )
15	12, 14	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ A = B ) -> DECID A < B )
16	15	ex 115	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A = B -> DECID A < B ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B -> DECID A < B ) )
18		ltnsym 8110	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B < A -> -. A < B ) )
19	18	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> -. A < B ) )
20	19, 14	syl6 33	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> DECID A < B ) )
21	7, 17, 20	3jaod 1315	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A < B ) )
22	2, 3, 21	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A < B \/ A = B \/ B < A ) -> DECID A < B ) )
23	1, 22	mpd 13	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> DECID A < B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   RRcr 7876   < clt 8059   QQcq 9690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-q 9691  df-rp 9726

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  15266  gausslemma2dlem1cl  15267  gausslemma2dlem1f1o  15268  gausslemma2dlem4  15272