Theorem gausslemma2dlem1cl 15794

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 15796. Closure of the body of the definition of 𝑅. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2dlem1cl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝐻))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1cl	⊢ (𝜑 → if((𝐴 · 2) < (𝑃 / 2), (𝐴 · 2), (𝑃 − (𝐴 · 2))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem1cl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝐻))
2	1	elfzelzd 10261	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		2z 9507	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
5	2, 4	zmulcld 9608	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 2) ∈ ℤ)
6		gausslemma2d.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
7		eldifi 3329	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8		prmz 12688	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
10	9, 5	zsubcld 9607	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐴 · 2)) ∈ ℤ)
11		zq 9860	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 2) ∈ ℤ → (𝐴 · 2) ∈ ℚ)
12	5, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 2) ∈ ℚ)
13		2nn 9305	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15		znq 9858	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℚ)
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℚ)
17		qdclt 10506	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 2) ∈ ℚ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℚ) → DECID (𝐴 · 2) < (𝑃 / 2))
18	12, 16, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐴 · 2) < (𝑃 / 2))
19	5, 10, 18	ifcldcd 3643	1 ⊢ (𝜑 → if((𝐴 · 2) < (𝑃 / 2), (𝐴 · 2), (𝑃 − (𝐴 · 2))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∖ cdif 3197  ifcif 3605  {csn 3669   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  (class class class)co 6018  1c1 8033   · cmul 8037   < clt 8214   − cmin 8350   / cdiv 8852  ℕcn 9143  2c2 9194  ℤcz 9479  ℚcq 9853  ...cfz 10243  ℙcprime 12684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-prm 12685

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1f1o  15795