Theorem gausslemma2dlem1cl 15586

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 15588. Closure of the body of the definition of 𝑅. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2dlem1cl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝐻))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1cl	⊢ (𝜑 → if((𝐴 · 2) < (𝑃 / 2), (𝐴 · 2), (𝑃 − (𝐴 · 2))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem1cl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝐻))
2	1	elfzelzd 10161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		2z 9413	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
5	2, 4	zmulcld 9514	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 2) ∈ ℤ)
6		gausslemma2d.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
7		eldifi 3297	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8		prmz 12483	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
10	9, 5	zsubcld 9513	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐴 · 2)) ∈ ℤ)
11		zq 9760	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 2) ∈ ℤ → (𝐴 · 2) ∈ ℚ)
12	5, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 2) ∈ ℚ)
13		2nn 9211	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15		znq 9758	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℚ)
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℚ)
17		qdclt 10401	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 2) ∈ ℚ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℚ) → DECID (𝐴 · 2) < (𝑃 / 2))
18	12, 16, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐴 · 2) < (𝑃 / 2))
19	5, 10, 18	ifcldcd 3610	1 ⊢ (𝜑 → if((𝐴 · 2) < (𝑃 / 2), (𝐴 · 2), (𝑃 − (𝐴 · 2))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ∖ cdif 3165  ifcif 3573  {csn 3635   class class class wbr 4048   ↦ cmpt 4110  (class class class)co 5954  1c1 7939   · cmul 7943   < clt 8120   − cmin 8256   / cdiv 8758  ℕcn 9049  2c2 9100  ℤcz 9385  ℚcq 9753  ...cfz 10143  ℙcprime 12479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-prm 12480

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1f1o  15587