Theorem gausslemma2dlem1cl 16383

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 16385. Closure of the body of the definition of 𝑅. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2dlem1cl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝐻))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1cl	⊢ (𝜑 → if((𝐴 · 2) < (𝑃 / 2), (𝐴 · 2), (𝑃 − (𝐴 · 2))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem1cl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝐻))
2	1	elfzelzd 10446	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		2z 9683	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
5	2, 4	zmulcld 9785	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 2) ∈ ℤ)
6		gausslemma2d.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
7		eldifi 3351	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8		prmz 12914	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
10	9, 5	zsubcld 9784	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐴 · 2)) ∈ ℤ)
11		zq 10042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 2) ∈ ℤ → (𝐴 · 2) ∈ ℚ)
12	5, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 2) ∈ ℚ)
13		2nn 9477	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15		znq 10040	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℚ)
16	9, 14, 15	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℚ)
17		qdclt 10697	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 2) ∈ ℚ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℚ) → DECID (𝐴 · 2) < (𝑃 / 2))
18	12, 16, 17	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐴 · 2) < (𝑃 / 2))
19	5, 10, 18	ifcldcd 3678	1 ⊢ (𝜑 → if((𝐴 · 2) < (𝑃 / 2), (𝐴 · 2), (𝑃 − (𝐴 · 2))) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217  ifcif 3638  {csn 3709   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  (class class class)co 6088  1c1 8186   · cmul 8190   < clt 8366   − cmin 8504   / cdiv 9010  ℕcn 9313  2c2 9364  ℤcz 9655  ℚcq 10035  ...cfz 10428  ℙcprime 12910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-prm 12911

This theorem is used by:  gausslemma2dlem1f1o  16384