ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem1cl GIF version

Theorem gausslemma2dlem1cl 15117
Description: Lemma for gausslemma2dlem1 15119. Closure of the body of the definition of 𝑅. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2dlem1cl.a (𝜑𝐴 ∈ (1...𝐻))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem1cl (𝜑 → if((𝐴 · 2) < (𝑃 / 2), (𝐴 · 2), (𝑃 − (𝐴 · 2))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1cl
StepHypRef Expression
1 gausslemma2dlem1cl.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝐻))
21elfzelzd 10082 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3 2z 9335 . . . 4 2 ∈ ℤ
43a1i 9 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
52, 4zmulcld 9435 . 2 (𝜑 → (𝐴 · 2) ∈ ℤ)
6 gausslemma2d.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
7 eldifi 3281 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8 prmz 12236 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
96, 7, 83syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
109, 5zsubcld 9434 . 2 (𝜑 → (𝑃 − (𝐴 · 2)) ∈ ℤ)
11 zq 9681 . . . 4 ((𝐴 · 2) ∈ ℤ → (𝐴 · 2) ∈ ℚ)
125, 11syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 2) ∈ ℚ)
13 2nn 9133 . . . . 5 2 ∈ ℕ
1413a1i 9 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15 znq 9679 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℚ)
169, 14, 15syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℚ)
17 qdclt 10305 . . 3 (((𝐴 · 2) ∈ ℚ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℚ) → DECID (𝐴 · 2) < (𝑃 / 2))
1812, 16, 17syl2anc 411 . 2 (𝜑DECID (𝐴 · 2) < (𝑃 / 2))
195, 10, 18ifcldcd 3593 1 (𝜑 → if((𝐴 · 2) < (𝑃 / 2), (𝐴 · 2), (𝑃 − (𝐴 · 2))) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  DECID wdc 835   = wceq 1364  wcel 2164  cdif 3150  ifcif 3557  {csn 3618   class class class wbr 4029  cmpt 4090  (class class class)co 5910  1c1 7863   · cmul 7867   < clt 8044  cmin 8180   / cdiv 8681  cn 8972  2c2 9023  cz 9307  cq 9674  ...cfz 10064  cprime 12232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-2 9031  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-q 9675  df-rp 9710  df-fz 10065  df-prm 12233
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1f1o  15118
  Copyright terms: Public domain W3C validator