Theorem gausslemma2dlem1cl 15310

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 15312. Closure of the body of the definition of 𝑅. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2dlem1cl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝐻))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1cl	⊢ (𝜑 → if((𝐴 · 2) < (𝑃 / 2), (𝐴 · 2), (𝑃 − (𝐴 · 2))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem1cl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝐻))
2	1	elfzelzd 10103	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		2z 9356	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
5	2, 4	zmulcld 9456	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 2) ∈ ℤ)
6		gausslemma2d.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
7		eldifi 3286	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8		prmz 12289	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
10	9, 5	zsubcld 9455	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐴 · 2)) ∈ ℤ)
11		zq 9702	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 2) ∈ ℤ → (𝐴 · 2) ∈ ℚ)
12	5, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 2) ∈ ℚ)
13		2nn 9154	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15		znq 9700	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℚ)
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℚ)
17		qdclt 10337	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 2) ∈ ℚ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℚ) → DECID (𝐴 · 2) < (𝑃 / 2))
18	12, 16, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐴 · 2) < (𝑃 / 2))
19	5, 10, 18	ifcldcd 3598	1 ⊢ (𝜑 → if((𝐴 · 2) < (𝑃 / 2), (𝐴 · 2), (𝑃 − (𝐴 · 2))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∖ cdif 3154  ifcif 3562  {csn 3623   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  (class class class)co 5923  1c1 7882   · cmul 7886   < clt 8063   − cmin 8199   / cdiv 8701  ℕcn 8992  2c2 9043  ℤcz 9328  ℚcq 9695  ...cfz 10085  ℙcprime 12285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-prm 12286

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1f1o  15311