Theorem gausslemma2dlem1cl 16044

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 16046. Closure of the body of the definition of 𝑅. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2dlem1cl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝐻))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1cl	⊢ (𝜑 → if((𝐴 · 2) < (𝑃 / 2), (𝐴 · 2), (𝑃 − (𝐴 · 2))) ∈ ℤ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem1cl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝐻))
2	1	elfzelzd 10379	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		2z 9622	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
5	2, 4	zmulcld 9724	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 2) ∈ ℤ)
6		gausslemma2d.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
7		eldifi 3345	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
8		prmz 12833	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
10	9, 5	zsubcld 9723	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − (𝐴 · 2)) ∈ ℤ)
11		zq 9976	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 2) ∈ ℤ → (𝐴 · 2) ∈ ℚ)
12	5, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 2) ∈ ℚ)
13		2nn 9416	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
15		znq 9974	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℚ)
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℚ)
17		qdclt 10629	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 2) ∈ ℚ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℚ) → DECID (𝐴 · 2) < (𝑃 / 2))
18	12, 16, 17	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID (𝐴 · 2) < (𝑃 / 2))
19	5, 10, 18	ifcldcd 3664	1 ⊢ (𝜑 → if((𝐴 · 2) < (𝑃 / 2), (𝐴 · 2), (𝑃 − (𝐴 · 2))) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∖ cdif 3211  ifcif 3624  {csn 3694   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  (class class class)co 6058  1c1 8144   · cmul 8148   < clt 8324   − cmin 8460   / cdiv 8963  ℕcn 9254  2c2 9305  ℤcz 9594  ℚcq 9969  ...cfz 10361  ℙcprime 12829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-prm 12830

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1f1o  16045