Theorem gsummptfidmadd2 14139

Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain, using a function operation. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmadd.b	|- B = ( Base ` G )
gsummptfidmadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsummptfidmadd.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsummptfidmadd.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsummptfidmadd.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
gsummptfidmadd.d	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )
gsummptfidmadd.f	|- F = ( x e. A |-> C )
gsummptfidmadd.h	|- H = ( x e. A |-> D )

Assertion

Ref	Expression
gsummptfidmadd2	|- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x   x, .+

Allowed substitution hints:   C( x)   D( x)   F( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem gsummptfidmadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfidmadd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
2		gsummptfidmadd.c	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
3		gsummptfidmadd.d	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )
4		gsummptfidmadd.f	. . . . 5 |- F = ( x e. A |-> C )
5	4	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> C ) )
6		gsummptfidmadd.h	. . . . 5 |- H = ( x e. A |-> D )
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> H = ( x e. A |-> D ) )
8	1, 2, 3, 5, 7	offval2 6308	. . 3 |- ( ph -> ( F oF .+ H ) = ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) )
9	8	oveq2d 6091	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( G gsumg ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) ) )
10		gsummptfidmadd.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
11		gsummptfidmadd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
12		gsummptfidmadd.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
13	10, 11, 12, 1, 2, 3, 4, 6	gsummptfidmadd 14138	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )
14	9, 13	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( F oF .+ H ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   |-> cmpt 4187   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   oFcof 6290   Fincfn 7012   Basecbs 13330   +g cplusg 13408  CMndccmn 14064   gsum_g cgsu 14127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-ihash 11193  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-gzsum 13590  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-minusg 13786  df-mulg 13900  df-cmn 14066  df-gsumfi 14128

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  16105  lgseisenlem4  16106