Theorem gsumsubmclfi 14163

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubmclfi.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumsubmclfi.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumsubmclfi.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsumsubmclfi.s	|- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
gsumsubmclfi.f	|- ( ph -> F : A --> S )

Assertion

Ref	Expression
gsumsubmclfi	|- ( ph -> ( G gsumg F ) e. S )

Proof of Theorem gsumsubmclfi

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsubmclfi.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> S )
2	1	ffnd 5534	. . . 4 |- ( ph -> F Fn A )
3		fnresdm 5492	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( F |` A ) = F )
5	4	oveq2d 6101	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` A ) ) = ( G gsumg F ) )
6		reseq2 5058	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( F |` w ) = ( F |` (/) ) )
7	6	oveq2d 6101	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( G gsumg ( F |` w ) ) = ( G gsumg ( F |` (/) ) ) )
8	7	eleq1d 2307	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( G gsumg ( F |` w ) ) e. S <-> ( G gsumg ( F |` (/) ) ) e. S ) )
9		reseq2 5058	. . . . 5 |- ( w = y -> ( F |` w ) = ( F |` y ) )
10	9	oveq2d 6101	. . . 4 |- ( w = y -> ( G gsumg ( F |` w ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) )
11	10	eleq1d 2307	. . 3 |- ( w = y -> ( ( G gsumg ( F |` w ) ) e. S <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. S ) )
12		reseq2 5058	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( y u. { z } ) ) )
13	12	oveq2d 6101	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( F |` w ) ) = ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) )
14	13	eleq1d 2307	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( G gsumg ( F |` w ) ) e. S <-> ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. S ) )
15		reseq2 5058	. . . . 5 |- ( w = A -> ( F |` w ) = ( F |` A ) )
16	15	oveq2d 6101	. . . 4 |- ( w = A -> ( G gsumg ( F |` w ) ) = ( G gsumg ( F |` A ) ) )
17	16	eleq1d 2307	. . 3 |- ( w = A -> ( ( G gsumg ( F |` w ) ) e. S <-> ( G gsumg ( F |` A ) ) e. S ) )
18		gsumsubmclfi.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. CMnd )
19		gsum0cmn 14154	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
21		res0 5067	. . . . . 6 |- ( F |` (/) ) = (/)
22	21	oveq2i 6096	. . . . 5 |- ( G gsumg ( F |` (/) ) ) = ( G gsumg (/) )
23		gsumsubmclfi.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
24	20, 22, 23	3eqtr4g 2296	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` (/) ) ) = .0. )
25		gsumsubmclfi.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. (SubMnd ` G ) )
26	23	subm0cl 13785	. . . . 5 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> .0. e. S )
27	25, 26	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. S )
28	24, 27	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` (/) ) ) e. S )
29	25	ad3antrrr 496	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) e. S ) -> S e. (SubMnd ` G ) )
30		ssun1 3392	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
31		resabs1 5092	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( F |` y ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( F |` y )
33	32	oveq2i 6096	. . . . . . 7 |- ( G gsumg ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) )
34		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) e. S ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. S )
35	33, 34	eqeltrid 2325	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) e. S ) -> ( G gsumg ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) e. S )
36		ssun2 3393	. . . . . . . . . 10 |- { z } C_ ( y u. { z } )
37		vsnid 3741	. . . . . . . . . 10 |- z e. { z }
38	36, 37	sselii 3245	. . . . . . . . 9 |- z e. ( y u. { z } )
39		fvres 5719	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( y u. { z } ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) = ( F ` z ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) = ( F ` z )
41	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> F : A --> S )
42		simprr 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
43	42	eldifad 3231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
44	41, 43	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F ` z ) e. S )
45	40, 44	eqeltrid 2325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) e. S )
46	45	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) e. S ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) e. S )
47		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
48	47	submcl 13786	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubMnd ` G ) /\ ( G gsumg ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) e. S /\ ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) e. S ) -> ( ( G gsumg ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) e. S )
49	29, 35, 46, 48	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) e. S ) -> ( ( G gsumg ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) e. S )
50		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
51	18	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> G e. CMnd )
52	50	submss 13783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. (SubMnd ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
53	25, 52	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ ( Base ` G ) )
54	53	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> S C_ ( Base ` G ) )
55	41, 54	fssd 5547	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> F : A --> ( Base ` G ) )
56		simprl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y C_ A )
57	43	snssd 3860	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } C_ A )
58	56, 57	unssd 3405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
59	55, 58	fssresd 5566	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F |` ( y u. { z } ) ) : ( y u. { z } ) --> ( Base ` G ) )
60		simplr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
61	42	eldifbd 3232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
62	50, 47, 51, 59, 60, 43, 61	gsump1 14157	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gsumg ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) )
63	62	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. S <-> ( ( G gsumg ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) e. S ) )
64	63	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) e. S ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. S <-> ( ( G gsumg ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) ( +g ` G ) ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) e. S ) )
65	49, 64	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) e. S ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. S )
66	65	ex 115	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. S -> ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. S ) )
67		gsumsubmclfi.a	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
68	8, 11, 14, 17, 28, 66, 67	findcard2sd 7196	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` A ) ) e. S )
69	5, 68	eqeltrrd 2316	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. S )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   |` cres 4776   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   0gc0g 13610  SubMndcsubmnd 13765  CMndccmn 14087   gsum_g cgsu 14150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-ihash 11215  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-gzsum 13613  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-submnd 13767  df-minusg 13809  df-mulg 13923  df-cmn 14089  df-gsumfi 14151

This theorem is used by:  lgseisenlem3  16191