Theorem gsummptfidmadd 14138

Description: The sum of two group sums expressed as mappings with finite domain. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfidmadd.b	|- B = ( Base ` G )
gsummptfidmadd.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsummptfidmadd.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsummptfidmadd.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsummptfidmadd.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
gsummptfidmadd.d	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )
gsummptfidmadd.f	|- F = ( x e. A |-> C )
gsummptfidmadd.h	|- H = ( x e. A |-> D )

Assertion

Ref	Expression
gsummptfidmadd	|- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x   x, .+

Allowed substitution hints:   C( x)   D( x)   F( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem gsummptfidmadd

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 4210	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( x e. w |-> ( C .+ D ) ) = ( x e. (/) |-> ( C .+ D ) ) )
2	1	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( G gsumg ( x e. w |-> ( C .+ D ) ) ) = ( G gsumg ( x e. (/) |-> ( C .+ D ) ) ) )
3		reseq2 5053	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( F |` w ) = ( F |` (/) ) )
4	3	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( G gsumg ( F |` w ) ) = ( G gsumg ( F |` (/) ) ) )
5		reseq2 5053	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( H |` w ) = ( H |` (/) ) )
6	5	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( G gsumg ( H |` w ) ) = ( G gsumg ( H |` (/) ) ) )
7	4, 6	oveq12d 6093	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( G gsumg ( F |` w ) ) .+ ( G gsumg ( H |` w ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` (/) ) ) .+ ( G gsumg ( H |` (/) ) ) ) )
8	2, 7	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( G gsumg ( x e. w |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` w ) ) .+ ( G gsumg ( H |` w ) ) ) <-> ( G gsumg ( x e. (/) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` (/) ) ) .+ ( G gsumg ( H |` (/) ) ) ) ) )
9		mpteq1 4210	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( x e. w |-> ( C .+ D ) ) = ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) )
10	9	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( G gsumg ( x e. w |-> ( C .+ D ) ) ) = ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) )
11		reseq2 5053	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( F |` w ) = ( F |` y ) )
12	11	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( G gsumg ( F |` w ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) )
13		reseq2 5053	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( H |` w ) = ( H |` y ) )
14	13	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( G gsumg ( H |` w ) ) = ( G gsumg ( H |` y ) ) )
15	12, 14	oveq12d 6093	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( G gsumg ( F |` w ) ) .+ ( G gsumg ( H |` w ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) )
16	10, 15	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( G gsumg ( x e. w |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` w ) ) .+ ( G gsumg ( H |` w ) ) ) <-> ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) ) )
17		mpteq1 4210	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. w |-> ( C .+ D ) ) = ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) )
18	17	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( x e. w |-> ( C .+ D ) ) ) = ( G gsumg ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) ) )
19		reseq2 5053	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( y u. { z } ) ) )
20	19	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( F |` w ) ) = ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) )
21		reseq2 5053	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( H |` w ) = ( H |` ( y u. { z } ) ) )
22	21	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( H |` w ) ) = ( G gsumg ( H |` ( y u. { z } ) ) ) )
23	20, 22	oveq12d 6093	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( G gsumg ( F |` w ) ) .+ ( G gsumg ( H |` w ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) .+ ( G gsumg ( H |` ( y u. { z } ) ) ) ) )
24	18, 23	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( G gsumg ( x e. w |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` w ) ) .+ ( G gsumg ( H |` w ) ) ) <-> ( G gsumg ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) .+ ( G gsumg ( H |` ( y u. { z } ) ) ) ) ) )
25		mpteq1 4210	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( x e. w |-> ( C .+ D ) ) = ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) )
26	25	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( G gsumg ( x e. w |-> ( C .+ D ) ) ) = ( G gsumg ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) ) )
27		reseq2 5053	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> ( F |` w ) = ( F |` A ) )
28	27	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( G gsumg ( F |` w ) ) = ( G gsumg ( F |` A ) ) )
29		reseq2 5053	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> ( H |` w ) = ( H |` A ) )
30	29	oveq2d 6091	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( G gsumg ( H |` w ) ) = ( G gsumg ( H |` A ) ) )
31	28, 30	oveq12d 6093	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( G gsumg ( F |` w ) ) .+ ( G gsumg ( H |` w ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` A ) ) .+ ( G gsumg ( H |` A ) ) ) )
32	26, 31	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( G gsumg ( x e. w |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` w ) ) .+ ( G gsumg ( H |` w ) ) ) <-> ( G gsumg ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` A ) ) .+ ( G gsumg ( H |` A ) ) ) ) )
33		gsummptfidmadd.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. CMnd )
34	33	cmnmndd 14088	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. Mnd )
35		gsummptfidmadd.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
36		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
37	35, 36	mndidcl 13720	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
38		gsummptfidmadd.p	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
39	35, 38, 36	mndlid 13725	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ ( 0g ` G ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
40	34, 37, 39	syl2anc2 416	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
41		res0 5062	. . . . . . . . 9 |- ( F |` (/) ) = (/)
42	41	oveq2i 6086	. . . . . . . 8 |- ( G gsumg ( F |` (/) ) ) = ( G gsumg (/) )
43		gsum0cmn 14131	. . . . . . . . 9 |- ( G e. CMnd -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
44	33, 43	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G gsumg (/) ) = ( 0g ` G ) )
45	42, 44	eqtrid 2283	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` (/) ) ) = ( 0g ` G ) )
46		res0 5062	. . . . . . . . 9 |- ( H |` (/) ) = (/)
47	46	oveq2i 6086	. . . . . . . 8 |- ( G gsumg ( H |` (/) ) ) = ( G gsumg (/) )
48	47, 44	eqtrid 2283	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G gsumg ( H |` (/) ) ) = ( 0g ` G ) )
49	45, 48	oveq12d 6093	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( F |` (/) ) ) .+ ( G gsumg ( H |` (/) ) ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) )
50		mpt0 5506	. . . . . . . 8 |- ( x e. (/) |-> ( C .+ D ) ) = (/)
51	50	oveq2i 6086	. . . . . . 7 |- ( G gsumg ( x e. (/) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( G gsumg (/) )
52	51, 44	eqtrid 2283	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. (/) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( 0g ` G ) )
53	40, 49, 52	3eqtr4rd 2282	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. (/) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` (/) ) ) .+ ( G gsumg ( H |` (/) ) ) ) )
54		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) ) -> ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) )
55	54	oveq1d 6090	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) ) -> ( ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) .+ ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) ) = ( ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) .+ ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) ) )
56	33	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> G e. CMnd )
57	34	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) -> G e. Mnd )
58		simplll 539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
59		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y C_ A )
60		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
61	60	eldifad 3231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
62	61	snssd 3855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> { z } C_ A )
63	59, 62	unssd 3405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
64	63	sselda 3248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) -> x e. A )
65		gsummptfidmadd.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. B )
66	58, 64, 65	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) -> C e. B )
67		gsummptfidmadd.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )
68	58, 64, 67	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) -> D e. B )
69	35, 38	mndcl 13713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ C e. B /\ D e. B ) -> ( C .+ D ) e. B )
70	57, 66, 68, 69	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ x e. ( y u. { z } ) ) -> ( C .+ D ) e. B )
71	70	fmpttd 5854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) : ( y u. { z } ) --> B )
72		simplr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
73	60	eldifbd 3232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
74	35, 38, 56, 71, 72, 61, 73	gsump1 14134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) |` y ) ) .+ ( ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) ` z ) ) )
75		ssun1 3392	. . . . . . . . . . . . 13 |- y C_ ( y u. { z } )
76		resmpt 5106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) |` y ) = ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) )
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) |` y ) = ( x e. y |-> ( C .+ D ) )
78	77	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . 11 |- ( G gsumg ( ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) |` y ) ) = ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) )
79	78	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) |` y ) ) = ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) )
80		ssun2 3393	. . . . . . . . . . . 12 |- { z } C_ ( y u. { z } )
81		vsnid 3737	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. { z }
82	80, 81	sselii 3245	. . . . . . . . . . 11 |- z e. ( y u. { z } )
83	34	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> G e. Mnd )
84	65	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. A C e. B )
85	84	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. x e. A C e. B )
86		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ z / x ]_ C
87	86	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x [_ z / x ]_ C e. B
88		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> C = [_ z / x ]_ C )
89	88	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( C e. B <-> [_ z / x ]_ C e. B ) )
90	87, 89	rspc 2923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. A -> ( A. x e. A C e. B -> [_ z / x ]_ C e. B ) )
91	61, 85, 90	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / x ]_ C e. B )
92	67	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. A D e. B )
93	92	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. x e. A D e. B )
94		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ z / x ]_ D
95	94	nfel1 2403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x [_ z / x ]_ D e. B
96		csbeq1a 3156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> D = [_ z / x ]_ D )
97	96	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( D e. B <-> [_ z / x ]_ D e. B ) )
98	95, 97	rspc 2923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. A -> ( A. x e. A D e. B -> [_ z / x ]_ D e. B ) )
99	61, 93, 98	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / x ]_ D e. B )
100	35, 38	mndcl 13713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ [_ z / x ]_ C e. B /\ [_ z / x ]_ D e. B ) -> ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) e. B )
101	83, 91, 99, 100	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) e. B )
102		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x z
103		nfcv 2392	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x .+
104	86, 103, 94	nfov 6105	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D )
105	88, 96	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( C .+ D ) = ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) )
106		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) = ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) )
107	102, 104, 105, 106	fvmptf 5792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ( y u. { z } ) /\ ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) e. B ) -> ( ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) ` z ) = ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) )
108	82, 101, 107	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) ` z ) = ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) )
109	79, 108	oveq12d 6093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) |` y ) ) .+ ( ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) ` z ) ) = ( ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) .+ ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) ) )
110	74, 109	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) .+ ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) ) )
111	110	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) ) -> ( G gsumg ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) .+ ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) ) )
112		gsummptfidmadd.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( x e. A |-> C )
113	65, 112	fmptd 5853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : A --> B )
114	113	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> F : A --> B )
115	114, 63	fssresd 5561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F |` ( y u. { z } ) ) : ( y u. { z } ) --> B )
116	35, 38, 56, 115, 72, 61, 73	gsump1 14134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gsumg ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) .+ ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) )
117		resabs1 5087	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( F |` y ) )
118	75, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( F |` y )
119	118	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G gsumg ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) )
120	119	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) )
121		fvres 5714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( y u. { z } ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) = ( F ` z ) )
122	82, 121	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) = ( F ` z )
123	112	fvmpts 5777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. A /\ [_ z / x ]_ C e. B ) -> ( F ` z ) = [_ z / x ]_ C )
124	61, 91, 123	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F ` z ) = [_ z / x ]_ C )
125	122, 124	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) = [_ z / x ]_ C )
126	120, 125	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) .+ ( ( F |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ [_ z / x ]_ C ) )
127	116, 126	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ [_ z / x ]_ C ) )
128		gsummptfidmadd.h	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- H = ( x e. A |-> D )
129	67, 128	fmptd 5853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> H : A --> B )
130	129	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> H : A --> B )
131	130, 63	fssresd 5561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( H |` ( y u. { z } ) ) : ( y u. { z } ) --> B )
132	35, 38, 56, 131, 72, 61, 73	gsump1 14134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( H |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gsumg ( ( H |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) .+ ( ( H |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) )
133		resabs1 5087	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( ( H |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( H |` y ) )
134	75, 133	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( H |` y )
135	134	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G gsumg ( ( H |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) = ( G gsumg ( H |` y ) )
136	135	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( ( H |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) = ( G gsumg ( H |` y ) ) )
137		fvres 5714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( y u. { z } ) -> ( ( H |` ( y u. { z } ) ) ` z ) = ( H ` z ) )
138	82, 137	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H |` ( y u. { z } ) ) ` z ) = ( H ` z )
139	128	fvmpts 5777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. A /\ [_ z / x ]_ D e. B ) -> ( H ` z ) = [_ z / x ]_ D )
140	61, 99, 139	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( H ` z ) = [_ z / x ]_ D )
141	138, 140	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( H |` ( y u. { z } ) ) ` z ) = [_ z / x ]_ D )
142	136, 141	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( ( H |` ( y u. { z } ) ) |` y ) ) .+ ( ( H |` ( y u. { z } ) ) ` z ) ) = ( ( G gsumg ( H |` y ) ) .+ [_ z / x ]_ D ) )
143	132, 142	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( H |` ( y u. { z } ) ) ) = ( ( G gsumg ( H |` y ) ) .+ [_ z / x ]_ D ) )
144	127, 143	oveq12d 6093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) .+ ( G gsumg ( H |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ [_ z / x ]_ C ) .+ ( ( G gsumg ( H |` y ) ) .+ [_ z / x ]_ D ) ) )
145	114, 59	fssresd 5561	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( F |` y ) : y --> B )
146	35, 36, 56, 72, 145	gsumclfi 14136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. B )
147	130, 59	fssresd 5561	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( H |` y ) : y --> B )
148	35, 36, 56, 72, 147	gsumclfi 14136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( G gsumg ( H |` y ) ) e. B )
149	35, 38	cmn4 14085	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. CMnd /\ ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. B /\ [_ z / x ]_ C e. B ) /\ ( ( G gsumg ( H |` y ) ) e. B /\ [_ z / x ]_ D e. B ) ) -> ( ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ [_ z / x ]_ C ) .+ ( ( G gsumg ( H |` y ) ) .+ [_ z / x ]_ D ) ) = ( ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) .+ ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) ) )
150	56, 146, 91, 148, 99, 149	syl122anc 1287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ [_ z / x ]_ C ) .+ ( ( G gsumg ( H |` y ) ) .+ [_ z / x ]_ D ) ) = ( ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) .+ ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) ) )
151	144, 150	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) .+ ( G gsumg ( H |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) .+ ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) ) )
152	151	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) .+ ( G gsumg ( H |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) .+ ( [_ z / x ]_ C .+ [_ z / x ]_ D ) ) )
153	55, 111, 152	3eqtr4d 2281	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) ) -> ( G gsumg ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) .+ ( G gsumg ( H |` ( y u. { z } ) ) ) ) )
154	153	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( x e. y |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` y ) ) .+ ( G gsumg ( H |` y ) ) ) -> ( G gsumg ( x e. ( y u. { z } ) |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` ( y u. { z } ) ) ) .+ ( G gsumg ( H |` ( y u. { z } ) ) ) ) ) )
155		gsummptfidmadd.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
156	8, 16, 24, 32, 53, 154, 155	findcard2sd 7186	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` A ) ) .+ ( G gsumg ( H |` A ) ) ) )
157	112	reseq1i 5054	. . . . . 6 |- ( F |` A ) = ( ( x e. A |-> C ) |` A )
158	157	oveq2i 6086	. . . . 5 |- ( G gsumg ( F |` A ) ) = ( G gsumg ( ( x e. A |-> C ) |` A ) )
159	128	reseq1i 5054	. . . . . 6 |- ( H |` A ) = ( ( x e. A |-> D ) |` A )
160	159	oveq2i 6086	. . . . 5 |- ( G gsumg ( H |` A ) ) = ( G gsumg ( ( x e. A |-> D ) |` A ) )
161	158, 160	oveq12i 6087	. . . 4 |- ( ( G gsumg ( F |` A ) ) .+ ( G gsumg ( H |` A ) ) ) = ( ( G gsumg ( ( x e. A |-> C ) |` A ) ) .+ ( G gsumg ( ( x e. A |-> D ) |` A ) ) )
162	156, 161	eqtrdi 2287	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( ( x e. A |-> C ) |` A ) ) .+ ( G gsumg ( ( x e. A |-> D ) |` A ) ) ) )
163		ssidd 3269	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ A )
164	163	resmptd 5109	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) |` A ) = ( x e. A |-> C ) )
165	164	oveq2d 6091	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. A |-> C ) |` A ) ) = ( G gsumg ( x e. A |-> C ) ) )
166	163	resmptd 5109	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> D ) |` A ) = ( x e. A |-> D ) )
167	166	oveq2d 6091	. . . 4 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( x e. A |-> D ) |` A ) ) = ( G gsumg ( x e. A |-> D ) ) )
168	165, 167	oveq12d 6093	. . 3 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( ( x e. A |-> C ) |` A ) ) .+ ( G gsumg ( ( x e. A |-> D ) |` A ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. A |-> C ) ) .+ ( G gsumg ( x e. A |-> D ) ) ) )
169	162, 168	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg ( x e. A |-> C ) ) .+ ( G gsumg ( x e. A |-> D ) ) ) )
170	112	oveq2i 6086	. . 3 |- ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( x e. A |-> C ) )
171	128	oveq2i 6086	. . 3 |- ( G gsumg H ) = ( G gsumg ( x e. A |-> D ) )
172	170, 171	oveq12i 6087	. 2 |- ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) = ( ( G gsumg ( x e. A |-> C ) ) .+ ( G gsumg ( x e. A |-> D ) ) )
173	169, 172	eqtr4di 2289	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. A |-> ( C .+ D ) ) ) = ( ( G gsumg F ) .+ ( G gsumg H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   [_csb 3147   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3705   |-> cmpt 4187   |` cres 4771   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   0gc0g 13587   Mndcmnd 13706  CMndccmn 14064   gsum_g cgsu 14127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-ihash 11193  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-gzsum 13590  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-minusg 13786  df-mulg 13900  df-cmn 14066  df-gsumfi 14128

This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd2  14139