Theorem hashnncl 11012

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
2		nnne0 9134	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) ≠ 0)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ≠ 0)
4		fihasheq0 11010	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
5	4	necon3bid 2441	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	3, 6	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ ∅)
8	1, 7	2thd 175	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
9	2	necon2bi 2455	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
10	9	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
11	4	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → 𝐴 = ∅)
12		nner 2404	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
14	10, 13	2falsed 707	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15		hashcl 10998	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16		elnn0 9367	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
17	15, 16	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
18	8, 14, 17	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∅c0 3491  ‘cfv 5317  Fincfn 6885  0cc0 7995  ℕcn 9106  ℕ₀cn0 9365  ♯chash 10992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-ihash 10993

This theorem is referenced by:  1elfz0hash  11023  lennncl  11086  lswlgt0cl  11119  wrdind  11249  wrd2ind  11250  gsumwmhm  13526