ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashnncl GIF version

Theorem hashnncl 10549
Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashnncl (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
2 nnne0 8755 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) ≠ 0)
32adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ≠ 0)
4 fihasheq0 10547 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
54necon3bid 2349 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
65adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
73, 6mpbid 146 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ ∅)
81, 72thd 174 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
92necon2bi 2363 . . . 4 ((♯‘𝐴) = 0 → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
109adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
114biimpa 294 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → 𝐴 = ∅)
12 nner 2312 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
1311, 12syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
1410, 132falsed 691 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15 hashcl 10534 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16 elnn0 8986 . . 3 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
1715, 16sylib 121 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
188, 14, 17mpjaodan 787 1 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  c0 3363  cfv 5123  Fincfn 6634  0cc0 7627  cn 8727  0cn0 8984  chash 10528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-ihash 10529
This theorem is referenced by:  1elfz0hash  10559
  Copyright terms: Public domain W3C validator