Theorem hashnncl 11047

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
2		nnne0 9161	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) ≠ 0)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ≠ 0)
4		fihasheq0 11045	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
5	4	necon3bid 2441	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	3, 6	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ ∅)
8	1, 7	2thd 175	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
9	2	necon2bi 2455	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
10	9	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
11	4	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → 𝐴 = ∅)
12		nner 2404	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
14	10, 13	2falsed 707	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15		hashcl 11033	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16		elnn0 9394	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
17	15, 16	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
18	8, 14, 17	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∅c0 3492  ‘cfv 5324  Fincfn 6904  0cc0 8022  ℕcn 9133  ℕ₀cn0 9392  ♯chash 11027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-ihash 11028

This theorem is referenced by:  fihashgt0  11059  1elfz0hash  11060  lennncl  11123  lswlgt0cl  11156  wrdind  11293  wrd2ind  11294  gsumwmhm  13571