Theorem hashnncl 10866

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
2		nnne0 9010	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (♯‘𝐴) ≠ 0)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘𝐴) ≠ 0)
4		fihasheq0 10864	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
5	4	necon3bid 2405	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	3, 6	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ ∅)
8	1, 7	2thd 175	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
9	2	necon2bi 2419	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
10	9	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
11	4	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → 𝐴 = ∅)
12		nner 2368	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → ¬ 𝐴 ≠ ∅)
14	10, 13	2falsed 703	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐴) = 0) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
15		hashcl 10852	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16		elnn0 9242	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
17	15, 16	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (♯‘𝐴) = 0))
18	8, 14, 17	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∅c0 3446  ‘cfv 5254  Fincfn 6794  0cc0 7872  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240  ♯chash 10846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-ihash 10847

This theorem is referenced by:  1elfz0hash  10877  lennncl  10934  gsumwmhm  13070