Theorem imasvalstrd 13146

Description: An image structure value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvalstr.u	⊢ 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
imasvalstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
imasvalstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
imasvalstrd.m	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
imasvalstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
imasvalstrd.c	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
imasvalstrd.i	⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
imasvalstrd.t	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
imasvalstrd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
imasvalstrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
imasvalstrd	⊢ (𝜑 → 𝑈 Struct ⟨1, ;12⟩)

Proof of Theorem imasvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvalstr.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
2		eqid 2206	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
3		imasvalstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		imasvalstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		imasvalstrd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
6		imasvalstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
7		imasvalstrd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
8		imasvalstrd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 13052	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) Struct ⟨1, 8⟩)
10		imasvalstrd.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
11		imasvalstrd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
12		imasvalstrd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
13		9nn 9212	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
14		tsetndx 13062	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
15		9lt10 9641	. . . . 5 ⊢ 9 < ;10
16		10nn 9526	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
17		plendx 13076	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
18		1nn0 9318	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		0nn0 9317	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		2nn 9205	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
21		2pos 9134	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
22	18, 19, 20, 21	declt 9538	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;12
23	18, 20	decnncl 9530	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
24		dsndx 13091	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
25	13, 14, 15, 16, 17, 22, 23, 24	strle3g 12984	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑄 ∧ 𝐿 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
26	10, 11, 12, 25	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
27		8lt9 9241	. . . 4 ⊢ 8 < 9
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 8 < 9)
29	9, 26, 28	strleund 12979	. 2 ⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩)
30	1, 29	eqbrtrid 4082	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 Struct ⟨1, ;12⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ∪ cun 3165  {ctp 3636  ⟨cop 3637   class class class wbr 4047  ‘cfv 5276  0cc0 7932  1c1 7933   < clt 8114  2c2 9094  8c8 9100  9c9 9101  ;cdc 9511   Struct cstr 12872  ndxcnx 12873  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953  ._rcmulr 12954  Scalarcsca 12956   ·_𝑠 cvsca 12957  ·_𝑖cip 12958  TopSetcts 12959  lecple 12960  distcds 12962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-fz 10138  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-tset 12972  df-ple 12973  df-ds 12975

This theorem is referenced by:  prdsvalstrd  13147