Theorem imasvalstrd 13324

Description: An image structure value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvalstr.u	⊢ 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
imasvalstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
imasvalstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
imasvalstrd.m	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
imasvalstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
imasvalstrd.c	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
imasvalstrd.i	⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
imasvalstrd.t	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
imasvalstrd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
imasvalstrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
imasvalstrd	⊢ (𝜑 → 𝑈 Struct ⟨1, ;12⟩)

Proof of Theorem imasvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvalstr.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
2		eqid 2229	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
3		imasvalstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		imasvalstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		imasvalstrd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
6		imasvalstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
7		imasvalstrd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
8		imasvalstrd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 13230	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) Struct ⟨1, 8⟩)
10		imasvalstrd.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
11		imasvalstrd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
12		imasvalstrd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
13		9nn 9295	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
14		tsetndx 13240	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
15		9lt10 9724	. . . . 5 ⊢ 9 < ;10
16		10nn 9609	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
17		plendx 13254	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
18		1nn0 9401	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		0nn0 9400	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		2nn 9288	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
21		2pos 9217	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
22	18, 19, 20, 21	declt 9621	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;12
23	18, 20	decnncl 9613	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
24		dsndx 13269	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
25	13, 14, 15, 16, 17, 22, 23, 24	strle3g 13162	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑄 ∧ 𝐿 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
26	10, 11, 12, 25	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
27		8lt9 9324	. . . 4 ⊢ 8 < 9
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 8 < 9)
29	9, 26, 28	strleund 13157	. 2 ⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩)
30	1, 29	eqbrtrid 4118	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 Struct ⟨1, ;12⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195  {ctp 3668  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  0cc0 8015  1c1 8016   < clt 8197  2c2 9177  8c8 9183  9c9 9184  ;cdc 9594   Struct cstr 13049  ndxcnx 13050  Basecbs 13053  +_gcplusg 13131  ._rcmulr 13132  Scalarcsca 13134   ·_𝑠 cvsca 13135  ·_𝑖cip 13136  TopSetcts 13137  lecple 13138  distcds 13140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-fz 10222  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-ip 13149  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153

This theorem is referenced by:  prdsvalstrd  13325