Theorem imasvalstrd 13621

Description: An image structure value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvalstr.u	⊢ 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
imasvalstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
imasvalstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
imasvalstrd.m	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
imasvalstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
imasvalstrd.c	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
imasvalstrd.i	⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
imasvalstrd.t	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
imasvalstrd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
imasvalstrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
imasvalstrd	⊢ (𝜑 → 𝑈 Struct ⟨1, ;12⟩)

Proof of Theorem imasvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvalstr.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
3		imasvalstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		imasvalstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		imasvalstrd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
6		imasvalstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
7		imasvalstrd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
8		imasvalstrd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 13532	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) Struct ⟨1, 8⟩)
10		imasvalstrd.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
11		imasvalstrd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
12		imasvalstrd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
13		9nn 9475	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
14		tsetndx 13542	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
15		9lt10 9909	. . . . 5 ⊢ 9 < ;10
16		10nn 9794	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
17		plendx 13556	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
18		1nn0 9581	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		0nn0 9580	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		2nn 9468	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
21		2pos 9396	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
22	18, 19, 20, 21	declt 9806	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;12
23	18, 20	decnncl 9798	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
24		dsndx 13571	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
25	13, 14, 15, 16, 17, 22, 23, 24	strle3g 13464	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑄 ∧ 𝐿 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
26	10, 11, 12, 25	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
27		8lt9 9504	. . . 4 ⊢ 8 < 9
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 8 < 9)
29	9, 26, 28	strleund 13459	. 2 ⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩)
30	1, 29	eqbrtrid 4165	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 Struct ⟨1, ;12⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  {ctp 3711  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  0cc0 8179  1c1 8180   < clt 8360  2c2 9356  8c8 9362  9c9 9363  ;cdc 9779   Struct cstr 13350  ndxcnx 13351  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433  ._rcmulr 13434  Scalarcsca 13436   ·_𝑠 cvsca 13437  ·_𝑖cip 13438  TopSetcts 13439  lecple 13440  distcds 13442

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-fz 10414  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455

This theorem is used by:  prdsvalstrd  13622