Theorem imasvalstrd 13565

Description: An image structure value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvalstr.u	⊢ 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
imasvalstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
imasvalstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
imasvalstrd.m	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
imasvalstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
imasvalstrd.c	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
imasvalstrd.i	⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
imasvalstrd.t	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
imasvalstrd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
imasvalstrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
imasvalstrd	⊢ (𝜑 → 𝑈 Struct ⟨1, ;12⟩)

Proof of Theorem imasvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvalstr.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
2		eqid 2234	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
3		imasvalstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		imasvalstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		imasvalstrd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
6		imasvalstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
7		imasvalstrd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
8		imasvalstrd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 13476	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) Struct ⟨1, 8⟩)
10		imasvalstrd.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
11		imasvalstrd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
12		imasvalstrd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
13		9nn 9426	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
14		tsetndx 13486	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
15		9lt10 9860	. . . . 5 ⊢ 9 < ;10
16		10nn 9745	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
17		plendx 13500	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
18		1nn0 9532	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		0nn0 9531	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		2nn 9419	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
21		2pos 9348	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
22	18, 19, 20, 21	declt 9757	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;12
23	18, 20	decnncl 9749	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
24		dsndx 13515	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
25	13, 14, 15, 16, 17, 22, 23, 24	strle3g 13408	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑄 ∧ 𝐿 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
26	10, 11, 12, 25	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
27		8lt9 9455	. . . 4 ⊢ 8 < 9
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 8 < 9)
29	9, 26, 28	strleund 13403	. 2 ⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩)
30	1, 29	eqbrtrid 4149	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 Struct ⟨1, ;12⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3212  {ctp 3696  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  0cc0 8143  1c1 8144   < clt 8324  2c2 9308  8c8 9314  9c9 9315  ;cdc 9730   Struct cstr 13295  ndxcnx 13296  Basecbs 13299  +_gcplusg 13377  ._rcmulr 13378  Scalarcsca 13380   ·_𝑠 cvsca 13381  ·_𝑖cip 13382  TopSetcts 13383  lecple 13384  distcds 13386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-dec 9731  df-uz 9875  df-fz 10365  df-struct 13301  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-ip 13395  df-tset 13396  df-ple 13397  df-ds 13399

This theorem is referenced by:  prdsvalstrd  13566