Theorem imasvalstrd 13177

Description: An image structure value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvalstr.u	⊢ 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
imasvalstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
imasvalstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
imasvalstrd.m	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
imasvalstrd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
imasvalstrd.c	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
imasvalstrd.i	⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
imasvalstrd.t	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
imasvalstrd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
imasvalstrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
imasvalstrd	⊢ (𝜑 → 𝑈 Struct ⟨1, ;12⟩)

Proof of Theorem imasvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvalstr.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
2		eqid 2206	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
3		imasvalstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		imasvalstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		imasvalstrd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑋)
6		imasvalstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
7		imasvalstrd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑍)
8		imasvalstrd.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → , ∈ 𝑃)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ipsstrd 13083	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) Struct ⟨1, 8⟩)
10		imasvalstrd.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑄)
11		imasvalstrd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
12		imasvalstrd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
13		9nn 9225	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
14		tsetndx 13093	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
15		9lt10 9654	. . . . 5 ⊢ 9 < ;10
16		10nn 9539	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
17		plendx 13107	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
18		1nn0 9331	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
19		0nn0 9330	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		2nn 9218	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
21		2pos 9147	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
22	18, 19, 20, 21	declt 9551	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;12
23	18, 20	decnncl 9543	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
24		dsndx 13122	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
25	13, 14, 15, 16, 17, 22, 23, 24	strle3g 13015	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑄 ∧ 𝐿 ∈ 𝑅 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
26	10, 11, 12, 25	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
27		8lt9 9254	. . . 4 ⊢ 8 < 9
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 8 < 9)
29	9, 26, 28	strleund 13010	. 2 ⊢ (𝜑 → (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑆⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝑂⟩, ⟨(le‘ndx), 𝐿⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩)
30	1, 29	eqbrtrid 4086	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 Struct ⟨1, ;12⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ∪ cun 3168  {ctp 3640  ⟨cop 3641   class class class wbr 4051  ‘cfv 5280  0cc0 7945  1c1 7946   < clt 8127  2c2 9107  8c8 9113  9c9 9114  ;cdc 9524   Struct cstr 12903  ndxcnx 12904  Basecbs 12907  +_gcplusg 12984  ._rcmulr 12985  Scalarcsca 12987   ·_𝑠 cvsca 12988  ·_𝑖cip 12989  TopSetcts 12990  lecple 12991  distcds 12993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-z 9393  df-dec 9525  df-uz 9669  df-fz 10151  df-struct 12909  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-ip 13002  df-tset 13003  df-ple 13004  df-ds 13006

This theorem is referenced by:  prdsvalstrd  13178