Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iser3shft GIF version

Theorem iser3shft 11066
 Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iser3shft.ex (𝜑𝐹𝑉)
iser3shft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iser3shft.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
iser3shft.fm ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iser3shft.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
iser3shft (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iser3shft
StepHypRef Expression
1 iser3shft.ex . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
2 iser3shft.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iser3shft.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zaddcld 9131 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
52zcnd 9128 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
63zcnd 9128 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
75, 6pncand 8038 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
87fveq2d 5391 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)) = (ℤ𝑀))
98eleq2d 2185 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
109pm5.32i 447 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))) ↔ (𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
11 iser3shft.fm . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
1210, 11sylbi 120 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
13 iser3shft.pl . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
141, 4, 3, 12, 13seq3shft 10561 . . . 4 (𝜑 → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
157seqeq1d 10175 . . . . 5 (𝜑 → seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
1615oveq1d 5755 . . . 4 (𝜑 → (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
1714, 16eqtrd 2148 . . 3 (𝜑 → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
1817breq1d 3907 . 2 (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴))
19 seqex 10171 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
20 climshft 11024 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
213, 19, 20sylancl 407 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
2218, 21bitr2d 188 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1463  Vcvv 2658   class class class wbr 3897  ‘cfv 5091  (class class class)co 5740   + caddc 7587   − cmin 7897  ℤcz 9008  ℤ≥cuz 9278  seqcseq 10169   shift cshi 10537   ⇝ cli 10998 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742  df-seqfrec 10170  df-shft 10538  df-clim 10999 This theorem is referenced by:  isumshft  11210
 Copyright terms: Public domain W3C validator