ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iser3shft GIF version

Theorem iser3shft 11373
Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iser3shft.ex (𝜑𝐹𝑉)
iser3shft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iser3shft.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
iser3shft.fm ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iser3shft.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
iser3shft (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iser3shft
StepHypRef Expression
1 iser3shft.ex . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
2 iser3shft.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iser3shft.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zaddcld 9398 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
52zcnd 9395 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
63zcnd 9395 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
75, 6pncand 8288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
87fveq2d 5534 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)) = (ℤ𝑀))
98eleq2d 2259 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
109pm5.32i 454 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))) ↔ (𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
11 iser3shft.fm . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
1210, 11sylbi 121 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
13 iser3shft.pl . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
141, 4, 3, 12, 13seq3shft 10866 . . . 4 (𝜑 → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
157seqeq1d 10470 . . . . 5 (𝜑 → seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
1615oveq1d 5906 . . . 4 (𝜑 → (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
1714, 16eqtrd 2222 . . 3 (𝜑 → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
1817breq1d 4028 . 2 (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴))
19 seqex 10466 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
20 climshft 11331 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
213, 19, 20sylancl 413 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
2218, 21bitr2d 189 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2160  Vcvv 2752   class class class wbr 4018  cfv 5231  (class class class)co 5891   + caddc 7833  cmin 8147  cz 9272  cuz 9547  seqcseq 10464   shift cshi 10842  cli 11305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-fz 10028  df-seqfrec 10465  df-shft 10843  df-clim 11306
This theorem is referenced by:  isumshft  11517
  Copyright terms: Public domain W3C validator