Theorem iser3shft 12114

Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iser3shft.ex	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
iser3shft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iser3shft.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
iser3shft.fm	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iser3shft.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iser3shft	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem iser3shft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iser3shft.ex	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		iser3shft.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iser3shft.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zaddcld 9774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
5	2	zcnd 9771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
6	3	zcnd 9771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
7	5, 6	pncand 8638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
8	7	fveq2d 5699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
9	8	eleq2d 2308	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
10	9	pm5.32i 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
11		iser3shft.fm	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
12	10, 11	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
13		iser3shft.pl	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
14	1, 4, 3, 12, 13	seq3shft 11605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
15	7	seqeq1d 10892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
16	15	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
17	14, 16	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
18	17	breq1d 4140	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴))
19		seqex 10888	. . 3 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
20		climshft 12072	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
21	3, 19, 20	sylancl 417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
22	18, 21	bitr2d 189	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   + caddc 8182   − cmin 8497  ℤcz 9646  ℤ_≥cuz 9923  seqcseq 10886   shift cshi 11581   ⇝ cli 12046

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414  df-seqfrec 10887  df-shft 11582  df-clim 12047

This theorem is used by:  isumshft  12259