ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iser3shft GIF version

Theorem iser3shft 11367
Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iser3shft.ex (𝜑𝐹𝑉)
iser3shft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iser3shft.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
iser3shft.fm ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iser3shft.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
iser3shft (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iser3shft
StepHypRef Expression
1 iser3shft.ex . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
2 iser3shft.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iser3shft.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zaddcld 9392 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
52zcnd 9389 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
63zcnd 9389 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
75, 6pncand 8282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
87fveq2d 5531 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)) = (ℤ𝑀))
98eleq2d 2257 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
109pm5.32i 454 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))) ↔ (𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
11 iser3shft.fm . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
1210, 11sylbi 121 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
13 iser3shft.pl . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
141, 4, 3, 12, 13seq3shft 10860 . . . 4 (𝜑 → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
157seqeq1d 10464 . . . . 5 (𝜑 → seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
1615oveq1d 5903 . . . 4 (𝜑 → (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
1714, 16eqtrd 2220 . . 3 (𝜑 → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
1817breq1d 4025 . 2 (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴))
19 seqex 10460 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
20 climshft 11325 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
213, 19, 20sylancl 413 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
2218, 21bitr2d 189 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2158  Vcvv 2749   class class class wbr 4015  cfv 5228  (class class class)co 5888   + caddc 7827  cmin 8141  cz 9266  cuz 9541  seqcseq 10458   shift cshi 10836  cli 11299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-seqfrec 10459  df-shft 10837  df-clim 11300
This theorem is referenced by:  isumshft  11511
  Copyright terms: Public domain W3C validator