Theorem iser3shft 11357

Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iser3shft.ex	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
iser3shft.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iser3shft.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
iser3shft.fm	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iser3shft.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iser3shft	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iser3shft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iser3shft.ex	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		iser3shft.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		iser3shft.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zaddcld 9382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
5	2	zcnd 9379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
6	3	zcnd 9379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
7	5, 6	pncand 8272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
8	7	fveq2d 5521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
9	8	eleq2d 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
10	9	pm5.32i 454	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
11		iser3shft.fm	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
12	10, 11	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
13		iser3shft.pl	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
14	1, 4, 3, 12, 13	seq3shft 10850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
15	7	seqeq1d 10454	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
16	15	oveq1d 5893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
17	14, 16	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
18	17	breq1d 4015	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴))
19		seqex 10450	. . 3 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
20		climshft 11315	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
21	3, 19, 20	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
22	18, 21	bitr2d 189	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878   + caddc 7817   − cmin 8131  ℤcz 9256  ℤ_≥cuz 9531  seqcseq 10448   shift cshi 10826   ⇝ cli 11289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012  df-seqfrec 10449  df-shft 10827  df-clim 11290

This theorem is referenced by:  isumshft  11501