ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iser3shft GIF version

Theorem iser3shft 11357
Description: Index shift of the limit of an infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iser3shft.ex (𝜑𝐹𝑉)
iser3shft.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iser3shft.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
iser3shft.fm ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iser3shft.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
iser3shft (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iser3shft
StepHypRef Expression
1 iser3shft.ex . . . . 5 (𝜑𝐹𝑉)
2 iser3shft.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iser3shft.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
42, 3zaddcld 9382 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
52zcnd 9379 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
63zcnd 9379 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
75, 6pncand 8272 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
87fveq2d 5521 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)) = (ℤ𝑀))
98eleq2d 2247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
109pm5.32i 454 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))) ↔ (𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
11 iser3shft.fm . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
1210, 11sylbi 121 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
13 iser3shft.pl . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
141, 4, 3, 12, 13seq3shft 10850 . . . 4 (𝜑 → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁))
157seqeq1d 10454 . . . . 5 (𝜑 → seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) = seq𝑀( + , 𝐹))
1615oveq1d 5893 . . . 4 (𝜑 → (seq((𝑀 + 𝑁) − 𝑁)( + , 𝐹) shift 𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
1714, 16eqtrd 2210 . . 3 (𝜑 → seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) = (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁))
1817breq1d 4015 . 2 (𝜑 → (seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴))
19 seqex 10450 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
20 climshft 11315 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
213, 19, 20sylancl 413 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹) shift 𝑁) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
2218, 21bitr2d 189 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴 ↔ seq(𝑀 + 𝑁)( + , (𝐹 shift 𝑁)) ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wcel 2148  Vcvv 2739   class class class wbr 4005  cfv 5218  (class class class)co 5878   + caddc 7817  cmin 8131  cz 9256  cuz 9531  seqcseq 10448   shift cshi 10826  cli 11289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-fz 10012  df-seqfrec 10449  df-shft 10827  df-clim 11290
This theorem is referenced by:  isumshft  11501
  Copyright terms: Public domain W3C validator