Theorem ledivmul 8749

Description: 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ledivmul	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) <_ B <-> A <_ ( C x. B ) ) )

Proof of Theorem ledivmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1010	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> C e. RR )
2		simp2 983	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> B e. RR )
3	1, 2	remulcld 7909	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( C x. B ) e. RR )
4		lediv1 8741	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ ( C x. B ) e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ ( C x. B ) <-> ( A / C ) <_ ( ( C x. B ) / C ) ) )
5	3, 4	syld3an2 1267	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A <_ ( C x. B ) <-> ( A / C ) <_ ( ( C x. B ) / C ) ) )
6	2	recnd 7907	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> B e. CC )
7	1	recnd 7907	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> C e. CC )
8		simp3r 1011	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> 0 < C )
9	1, 8	gt0ap0d 8505	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> C # 0 )
10	6, 7, 9	divcanap3d 8669	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( C x. B ) / C ) = B )
11	10	breq2d 3978	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) <_ ( ( C x. B ) / C ) <-> ( A / C ) <_ B ) )
12	5, 11	bitr2d 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / C ) <_ B <-> A <_ ( C x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 2128   class class class wbr 3966  (class class class)co 5825   RRcr 7732   0cc0 7733   x. cmul 7738   < clt 7913   <_ cle 7914   / cdiv 8546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547

This theorem is referenced by:  ledivmul2  8752  ledivmuld  9658  divelunit  9907  faclbnd2  10620  eftlub  11591  eflegeo  11602  oddge22np1  11776  sinhalfpilem  13154  sincosq1lem  13188