Theorem znf1o 14580

Description: The function F enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each n. When n = 0, ZZ / 0 ZZ = ZZ / { 0 } ~~ ZZ so we let W = ZZ; otherwise W = { 0 , ... , n - 1 } enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znf1o.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znf1o.b	|- B = ( Base ` Y )
znf1o.f	|- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
znf1o.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )

Assertion

Ref	Expression
znf1o	|- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem znf1o

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znf1o.y	. . . . . . 7 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2	1	zncrng 14574	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
3		crngring 13937	. . . . . 6 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
4		eqid 2209	. . . . . . 7 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
5	4	zrhrhm 14552	. . . . . 6 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
6		zringbas 14525	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
7		znf1o.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` Y )
8	6, 7	rhmf 14092	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> B )
9	2, 3, 5, 8	4syl 18	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> B )
10		znf1o.w	. . . . . . . 8 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
12	11	iftrued 3589	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ZZ )
13	10, 12	eqtrid 2254	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> W = ZZ )
14		ssid 3224	. . . . . . 7 |- ZZ C_ ZZ
15	13, 14	eqsstrdi 3256	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> W C_ ZZ )
16		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
17	16	iffalsed 3592	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
18	10, 17	eqtrid 2254	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> W = ( 0..^ N ) )
19		elfzoelz 10311	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x e. ZZ )
20	19	ssriv 3208	. . . . . . 7 |- ( 0..^ N ) C_ ZZ
21	18, 20	eqsstrdi 3256	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> W C_ ZZ )
22		nn0z 9434	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
23		0z 9425	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
24		zdceq 9490	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
25	22, 23, 24	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> DECID N = 0 )
26		exmiddc 840	. . . . . . 7 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
28	15, 21, 27	mpjaodan 802	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> W C_ ZZ )
29	9, 28	fssresd 5478	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) : W --> B )
30		znf1o.f	. . . . 5 |- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
31	30	feq1i 5442	. . . 4 |- ( F : W --> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) : W --> B )
32	29, 31	sylibr 134	. . 3 |- ( N e. NN0 -> F : W --> B )
33	30	fveq1i 5604	. . . . . . . 8 |- ( F ` x ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` x )
34		fvres 5627	. . . . . . . . 9 |- ( x e. W -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
36	33, 35	eqtrid 2254	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( F ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
37	30	fveq1i 5604	. . . . . . . 8 |- ( F ` y ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` y )
38		fvres 5627	. . . . . . . . 9 |- ( y e. W -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
39	38	ad2antll 491	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
40	37, 39	eqtrid 2254	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( F ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
41	36, 40	eqeq12d 2224	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) ) )
42		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. NN0 )
43	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> W C_ ZZ )
44		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. W )
45	43, 44	sseldd 3205	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ZZ )
46		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. W )
47	43, 46	sseldd 3205	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ZZ )
48	1, 4	zndvds 14578	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) <-> N || ( x - y ) ) )
49	42, 45, 47, 48	syl3anc 1252	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) <-> N || ( x - y ) ) )
50		elnn0 9339	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
51		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. NN )
52	51	nnnn0d 9390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. NN0 )
53	52, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> W C_ ZZ )
54		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. W )
55	53, 54	sseldd 3205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ZZ )
56		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. W )
57	53, 56	sseldd 3205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ZZ )
58		moddvds 12276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x mod N ) = ( y mod N ) <-> N || ( x - y ) ) )
59	51, 55, 57, 58	syl3anc 1252	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( x mod N ) = ( y mod N ) <-> N || ( x - y ) ) )
60		zq 9789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. QQ )
61	55, 60	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. QQ )
62		nnq 9796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. QQ )
64		nnne0 9106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
65		ifnefalse 3593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
67	10, 66	eqtrid 2254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> W = ( 0..^ N ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> W = ( 0..^ N ) )
69	54, 68	eleqtrd 2288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ( 0..^ N ) )
70		elfzole1 10320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ x )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> 0 <_ x )
72		elfzolt2 10321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x < N )
73	69, 72	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x < N )
74		modqid 10538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ x /\ x < N ) ) -> ( x mod N ) = x )
75	61, 63, 71, 73, 74	syl22anc 1253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x mod N ) = x )
76		zq 9789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
77	57, 76	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. QQ )
78	56, 68	eleqtrd 2288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ( 0..^ N ) )
79		elfzole1 10320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ y )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> 0 <_ y )
81		elfzolt2 10321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0..^ N ) -> y < N )
82	78, 81	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y < N )
83		modqid 10538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( y mod N ) = y )
84	77, 63, 80, 82, 83	syl22anc 1253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( y mod N ) = y )
85	75, 84	eqeq12d 2224	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( x mod N ) = ( y mod N ) <-> x = y ) )
86	59, 85	bitr3d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
87		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N = 0 )
88	87	breq1d 4072	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> 0 || ( x - y ) ) )
89		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 0 -> N = 0 )
90		0nn0 9352	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
91	89, 90	eqeltrdi 2300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> N e. NN0 )
92	91, 45	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ZZ )
93	91, 47	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ZZ )
94	92, 93	zsubcld 9542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x - y ) e. ZZ )
95		0dvds 12288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x - y ) e. ZZ -> ( 0 || ( x - y ) <-> ( x - y ) = 0 ) )
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( 0 || ( x - y ) <-> ( x - y ) = 0 ) )
97	92	zcnd 9538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. CC )
98	93	zcnd 9538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. CC )
99	97, 98	subeq0ad 8435	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( x - y ) = 0 <-> x = y ) )
100	88, 96, 99	3bitrd 214	. . . . . . . 8 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
101	86, 100	jaoian 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN \/ N = 0 ) /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
102	50, 101	sylanb 284	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
103	41, 49, 102	3bitrd 214	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> x = y ) )
104	103	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
105	104	ralrimivva 2592	. . 3 |- ( N e. NN0 -> A. x e. W A. y e. W ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
106		dff13 5865	. . 3 |- ( F : W -1-1-> B <-> ( F : W --> B /\ A. x e. W A. y e. W ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
107	32, 105, 106	sylanbrc 417	. 2 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-> B )
108		zmodfzo 10536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( z mod N ) e. ( 0..^ N ) )
109	108	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( z mod N ) e. ( 0..^ N ) )
110	67	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> W = ( 0..^ N ) )
111	109, 110	eleqtrrd 2289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( z mod N ) e. W )
112		zq 9789	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
113	112	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> z e. QQ )
114	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N e. QQ )
115		nngt0 9103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> 0 < N )
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> 0 < N )
117		modqabs2 10547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) )
118	113, 114, 116, 117	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) )
119		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N e. NN )
120	20, 109	sselid 3202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( z mod N ) e. ZZ )
121		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
122		moddvds 12276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( z mod N ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
123	119, 120, 121, 122	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
124	118, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N || ( ( z mod N ) - z ) )
125		nnnn0 9344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
126	125	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N e. NN0 )
127	1, 4	zndvds 14578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( z mod N ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
128	126, 120, 121, 127	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
129	124, 128	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
130	129	eqcomd 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) )
131		fveq2 5603	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( z mod N ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) )
132	131	rspceeqv 2905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z mod N ) e. W /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
133	111, 130, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
134		iftrue 3587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ZZ )
135	134	eleq2d 2279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> ( z e. if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) <-> z e. ZZ ) )
136	135	biimpar 297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> z e. if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
137	136, 10	eleqtrrdi 2303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> z e. W )
138		eqidd 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
139		fveq2 5603	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
140	139	rspceeqv 2905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. W /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
141	137, 138, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
142	133, 141	jaoian 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN \/ N = 0 ) /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
143	50, 142	sylanb 284	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
144	37, 38	eqtrid 2254	. . . . . . . . 9 |- ( y e. W -> ( F ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
145	144	eqeq2d 2221	. . . . . . . 8 |- ( y e. W -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) ) )
146	145	rexbiia 2525	. . . . . . 7 |- ( E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) <-> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
147	143, 146	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) )
148	147	ralrimiva 2583	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> A. z e. ZZ E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) )
149	1, 7, 4	znzrhfo 14577	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> B )
150		fofn 5526	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> B -> ( ZRHom ` Y ) Fn ZZ )
151		eqeq1 2216	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( x = ( F ` y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
152	151	rexbidv 2511	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( E. y e. W x = ( F ` y ) <-> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
153	152	ralrn 5746	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` Y ) Fn ZZ -> ( A. x e. ran ( ZRHom ` Y ) E. y e. W x = ( F ` y ) <-> A. z e. ZZ E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
154	149, 150, 153	3syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( A. x e. ran ( ZRHom ` Y ) E. y e. W x = ( F ` y ) <-> A. z e. ZZ E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
155	148, 154	mpbird 167	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> A. x e. ran ( ZRHom ` Y ) E. y e. W x = ( F ` y ) )
156		forn 5527	. . . . 5 |- ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> B -> ran ( ZRHom ` Y ) = B )
157	149, 156	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ran ( ZRHom ` Y ) = B )
158	155, 157	raleqtrdv 2716	. . 3 |- ( N e. NN0 -> A. x e. B E. y e. W x = ( F ` y ) )
159		dffo3 5755	. . 3 |- ( F : W -onto-> B <-> ( F : W --> B /\ A. x e. B E. y e. W x = ( F ` y ) ) )
160	32, 158, 159	sylanbrc 417	. 2 |- ( N e. NN0 -> F : W -onto-> B )
161		df-f1o 5301	. 2 |- ( F : W -1-1-onto-> B <-> ( F : W -1-1-> B /\ F : W -onto-> B ) )
162	107, 160, 161	sylanbrc 417	1 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 712  DECID wdc 838   = wceq 1375   e. wcel 2180   =/= wne 2380   A.wral 2488   E.wrex 2489   C_ wss 3177   ifcif 3582   class class class wbr 4062   ran crn 4697   |` cres 4698   Fn wfn 5289   -->wf 5290   -1-1->wf1 5291   -onto->wfo 5292   -1-1-onto->wf1o 5293   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   0cc0 7967   < clt 8149   <_ cle 8150   - cmin 8285   NNcn 9078   NN0cn0 9337   ZZcz 9414   QQcq 9782  ..^cfzo 10306   mod cmo 10511   || cdvds 12264   Basecbs 12998   Ringcrg 13925   CRingccrg 13926   RingHom crh 14079  ℤ_ringczring 14519   ZRHomczrh 14540  ℤ/nℤczn 14542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-addf 8089  ax-mulf 8090

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-tpos 6361  df-recs 6421  df-frec 6507  df-er 6650  df-ec 6652  df-qs 6656  df-map 6767  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-fl 10457  df-mod 10512  df-seqfrec 10637  df-cj 11319  df-abs 11476  df-dvds 12265  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-starv 13091  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-unif 13099  df-0g 13257  df-topgen 13259  df-iimas 13301  df-qus 13302  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-mhm 13458  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-sbg 13504  df-mulg 13623  df-subg 13673  df-nsg 13674  df-eqg 13675  df-ghm 13744  df-cmn 13789  df-abl 13790  df-mgp 13850  df-rng 13862  df-ur 13889  df-srg 13893  df-ring 13927  df-cring 13928  df-oppr 13997  df-dvdsr 14018  df-rhm 14081  df-subrg 14148  df-lmod 14218  df-lssm 14282  df-lsp 14316  df-sra 14364  df-rgmod 14365  df-lidl 14398  df-rsp 14399  df-2idl 14429  df-bl 14475  df-mopn 14476  df-fg 14478  df-metu 14479  df-cnfld 14486  df-zring 14520  df-zrh 14543  df-zn 14545

This theorem is referenced by:  znleval  14582  znfi  14584  znhash  14585