Theorem znf1o 14689

Description: The function F enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each n. When n = 0, ZZ / 0 ZZ = ZZ / { 0 } ~~ ZZ so we let W = ZZ; otherwise W = { 0 , ... , n - 1 } enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znf1o.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znf1o.b	|- B = ( Base ` Y )
znf1o.f	|- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
znf1o.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )

Assertion

Ref	Expression
znf1o	|- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem znf1o

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znf1o.y	. . . . . . 7 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2	1	zncrng 14683	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
3		crngring 14045	. . . . . 6 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
4		eqid 2230	. . . . . . 7 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
5	4	zrhrhm 14661	. . . . . 6 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
6		zringbas 14634	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
7		znf1o.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` Y )
8	6, 7	rhmf 14201	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> B )
9	2, 3, 5, 8	4syl 18	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> B )
10		znf1o.w	. . . . . . . 8 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
12	11	iftrued 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ZZ )
13	10, 12	eqtrid 2275	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> W = ZZ )
14		ssid 3246	. . . . . . 7 |- ZZ C_ ZZ
15	13, 14	eqsstrdi 3278	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> W C_ ZZ )
16		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
17	16	iffalsed 3616	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
18	10, 17	eqtrid 2275	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> W = ( 0..^ N ) )
19		elfzoelz 10387	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x e. ZZ )
20	19	ssriv 3230	. . . . . . 7 |- ( 0..^ N ) C_ ZZ
21	18, 20	eqsstrdi 3278	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> W C_ ZZ )
22		nn0z 9504	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
23		0z 9495	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
24		zdceq 9560	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
25	22, 23, 24	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> DECID N = 0 )
26		exmiddc 843	. . . . . . 7 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
28	15, 21, 27	mpjaodan 805	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> W C_ ZZ )
29	9, 28	fssresd 5515	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) : W --> B )
30		znf1o.f	. . . . 5 |- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
31	30	feq1i 5477	. . . 4 |- ( F : W --> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) : W --> B )
32	29, 31	sylibr 134	. . 3 |- ( N e. NN0 -> F : W --> B )
33	30	fveq1i 5643	. . . . . . . 8 |- ( F ` x ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` x )
34		fvres 5666	. . . . . . . . 9 |- ( x e. W -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
36	33, 35	eqtrid 2275	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( F ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
37	30	fveq1i 5643	. . . . . . . 8 |- ( F ` y ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` y )
38		fvres 5666	. . . . . . . . 9 |- ( y e. W -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
39	38	ad2antll 491	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
40	37, 39	eqtrid 2275	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( F ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
41	36, 40	eqeq12d 2245	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) ) )
42		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. NN0 )
43	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> W C_ ZZ )
44		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. W )
45	43, 44	sseldd 3227	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ZZ )
46		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. W )
47	43, 46	sseldd 3227	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ZZ )
48	1, 4	zndvds 14687	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) <-> N || ( x - y ) ) )
49	42, 45, 47, 48	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) <-> N || ( x - y ) ) )
50		elnn0 9409	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
51		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. NN )
52	51	nnnn0d 9460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. NN0 )
53	52, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> W C_ ZZ )
54		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. W )
55	53, 54	sseldd 3227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ZZ )
56		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. W )
57	53, 56	sseldd 3227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ZZ )
58		moddvds 12383	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x mod N ) = ( y mod N ) <-> N || ( x - y ) ) )
59	51, 55, 57, 58	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( x mod N ) = ( y mod N ) <-> N || ( x - y ) ) )
60		zq 9865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. QQ )
61	55, 60	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. QQ )
62		nnq 9872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. QQ )
64		nnne0 9176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
65		ifnefalse 3617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
67	10, 66	eqtrid 2275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> W = ( 0..^ N ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> W = ( 0..^ N ) )
69	54, 68	eleqtrd 2309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ( 0..^ N ) )
70		elfzole1 10396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ x )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> 0 <_ x )
72		elfzolt2 10397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x < N )
73	69, 72	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x < N )
74		modqid 10617	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ x /\ x < N ) ) -> ( x mod N ) = x )
75	61, 63, 71, 73, 74	syl22anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x mod N ) = x )
76		zq 9865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
77	57, 76	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. QQ )
78	56, 68	eleqtrd 2309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ( 0..^ N ) )
79		elfzole1 10396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ y )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> 0 <_ y )
81		elfzolt2 10397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0..^ N ) -> y < N )
82	78, 81	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y < N )
83		modqid 10617	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( y mod N ) = y )
84	77, 63, 80, 82, 83	syl22anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( y mod N ) = y )
85	75, 84	eqeq12d 2245	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( x mod N ) = ( y mod N ) <-> x = y ) )
86	59, 85	bitr3d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
87		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N = 0 )
88	87	breq1d 4099	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> 0 || ( x - y ) ) )
89		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 0 -> N = 0 )
90		0nn0 9422	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
91	89, 90	eqeltrdi 2321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> N e. NN0 )
92	91, 45	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ZZ )
93	91, 47	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ZZ )
94	92, 93	zsubcld 9612	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x - y ) e. ZZ )
95		0dvds 12395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x - y ) e. ZZ -> ( 0 || ( x - y ) <-> ( x - y ) = 0 ) )
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( 0 || ( x - y ) <-> ( x - y ) = 0 ) )
97	92	zcnd 9608	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. CC )
98	93	zcnd 9608	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. CC )
99	97, 98	subeq0ad 8505	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( x - y ) = 0 <-> x = y ) )
100	88, 96, 99	3bitrd 214	. . . . . . . 8 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
101	86, 100	jaoian 802	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN \/ N = 0 ) /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
102	50, 101	sylanb 284	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
103	41, 49, 102	3bitrd 214	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> x = y ) )
104	103	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
105	104	ralrimivva 2613	. . 3 |- ( N e. NN0 -> A. x e. W A. y e. W ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
106		dff13 5914	. . 3 |- ( F : W -1-1-> B <-> ( F : W --> B /\ A. x e. W A. y e. W ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
107	32, 105, 106	sylanbrc 417	. 2 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-> B )
108		zmodfzo 10615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( z mod N ) e. ( 0..^ N ) )
109	108	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( z mod N ) e. ( 0..^ N ) )
110	67	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> W = ( 0..^ N ) )
111	109, 110	eleqtrrd 2310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( z mod N ) e. W )
112		zq 9865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
113	112	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> z e. QQ )
114	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N e. QQ )
115		nngt0 9173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> 0 < N )
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> 0 < N )
117		modqabs2 10626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) )
118	113, 114, 116, 117	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) )
119		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N e. NN )
120	20, 109	sselid 3224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( z mod N ) e. ZZ )
121		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
122		moddvds 12383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( z mod N ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
123	119, 120, 121, 122	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
124	118, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N || ( ( z mod N ) - z ) )
125		nnnn0 9414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
126	125	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N e. NN0 )
127	1, 4	zndvds 14687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( z mod N ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
128	126, 120, 121, 127	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
129	124, 128	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
130	129	eqcomd 2236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) )
131		fveq2 5642	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( z mod N ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) )
132	131	rspceeqv 2927	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z mod N ) e. W /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
133	111, 130, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
134		iftrue 3611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ZZ )
135	134	eleq2d 2300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> ( z e. if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) <-> z e. ZZ ) )
136	135	biimpar 297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> z e. if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
137	136, 10	eleqtrrdi 2324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> z e. W )
138		eqidd 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
139		fveq2 5642	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
140	139	rspceeqv 2927	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. W /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
141	137, 138, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
142	133, 141	jaoian 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN \/ N = 0 ) /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
143	50, 142	sylanb 284	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
144	37, 38	eqtrid 2275	. . . . . . . . 9 |- ( y e. W -> ( F ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
145	144	eqeq2d 2242	. . . . . . . 8 |- ( y e. W -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) ) )
146	145	rexbiia 2546	. . . . . . 7 |- ( E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) <-> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
147	143, 146	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) )
148	147	ralrimiva 2604	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> A. z e. ZZ E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) )
149	1, 7, 4	znzrhfo 14686	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> B )
150		fofn 5564	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> B -> ( ZRHom ` Y ) Fn ZZ )
151		eqeq1 2237	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( x = ( F ` y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
152	151	rexbidv 2532	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( E. y e. W x = ( F ` y ) <-> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
153	152	ralrn 5788	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` Y ) Fn ZZ -> ( A. x e. ran ( ZRHom ` Y ) E. y e. W x = ( F ` y ) <-> A. z e. ZZ E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
154	149, 150, 153	3syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( A. x e. ran ( ZRHom ` Y ) E. y e. W x = ( F ` y ) <-> A. z e. ZZ E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
155	148, 154	mpbird 167	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> A. x e. ran ( ZRHom ` Y ) E. y e. W x = ( F ` y ) )
156		forn 5565	. . . . 5 |- ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> B -> ran ( ZRHom ` Y ) = B )
157	149, 156	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ran ( ZRHom ` Y ) = B )
158	155, 157	raleqtrdv 2737	. . 3 |- ( N e. NN0 -> A. x e. B E. y e. W x = ( F ` y ) )
159		dffo3 5797	. . 3 |- ( F : W -onto-> B <-> ( F : W --> B /\ A. x e. B E. y e. W x = ( F ` y ) ) )
160	32, 158, 159	sylanbrc 417	. 2 |- ( N e. NN0 -> F : W -onto-> B )
161		df-f1o 5335	. 2 |- ( F : W -1-1-onto-> B <-> ( F : W -1-1-> B /\ F : W -onto-> B ) )
162	107, 160, 161	sylanbrc 417	1 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2201   =/= wne 2401   A.wral 2509   E.wrex 2510   C_ wss 3199   ifcif 3604   class class class wbr 4089   ran crn 4728   |` cres 4729   Fn wfn 5323   -->wf 5324   -1-1->wf1 5325   -onto->wfo 5326   -1-1-onto->wf1o 5327   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   0cc0 8037   < clt 8219   <_ cle 8220   - cmin 8355   NNcn 9148   NN0cn0 9407   ZZcz 9484   QQcq 9858  ..^cfzo 10382   mod cmo 10590   || cdvds 12371   Basecbs 13105   Ringcrg 14033   CRingccrg 14034   RingHom crh 14188  ℤ_ringczring 14628   ZRHomczrh 14649  ℤ/nℤczn 14651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-addf 8159  ax-mulf 8160

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6416  df-recs 6476  df-frec 6562  df-er 6707  df-ec 6709  df-qs 6713  df-map 6824  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-fl 10536  df-mod 10591  df-seqfrec 10716  df-cj 11425  df-abs 11582  df-dvds 12372  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-starv 13198  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-tset 13202  df-ple 13203  df-ds 13205  df-unif 13206  df-0g 13364  df-topgen 13366  df-iimas 13408  df-qus 13409  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-mhm 13565  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-sbg 13611  df-mulg 13730  df-subg 13780  df-nsg 13781  df-eqg 13782  df-ghm 13851  df-cmn 13896  df-abl 13897  df-mgp 13958  df-rng 13970  df-ur 13997  df-srg 14001  df-ring 14035  df-cring 14036  df-oppr 14105  df-dvdsr 14126  df-rhm 14190  df-subrg 14257  df-lmod 14327  df-lssm 14391  df-lsp 14425  df-sra 14473  df-rgmod 14474  df-lidl 14507  df-rsp 14508  df-2idl 14538  df-bl 14584  df-mopn 14585  df-fg 14587  df-metu 14588  df-cnfld 14595  df-zring 14629  df-zrh 14652  df-zn 14654

This theorem is referenced by:  znleval  14691  znfi  14693  znhash  14694