Theorem znf1o 14139

Description: The function F enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each n. When n = 0, ZZ / 0 ZZ = ZZ / { 0 } ~~ ZZ so we let W = ZZ; otherwise W = { 0 , ... , n - 1 } enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znf1o.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znf1o.b	|- B = ( Base ` Y )
znf1o.f	|- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
znf1o.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )

Assertion

Ref	Expression
znf1o	|- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem znf1o

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znf1o.y	. . . . . . 7 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2	1	zncrng 14133	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
3		crngring 13504	. . . . . 6 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
4		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
5	4	zrhrhm 14111	. . . . . 6 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
6		zringbas 14084	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
7		znf1o.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` Y )
8	6, 7	rhmf 13659	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> B )
9	2, 3, 5, 8	4syl 18	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> B )
10		znf1o.w	. . . . . . . 8 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
12	11	iftrued 3564	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ZZ )
13	10, 12	eqtrid 2238	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> W = ZZ )
14		ssid 3199	. . . . . . 7 |- ZZ C_ ZZ
15	13, 14	eqsstrdi 3231	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> W C_ ZZ )
16		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
17	16	iffalsed 3567	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
18	10, 17	eqtrid 2238	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> W = ( 0..^ N ) )
19		elfzoelz 10213	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x e. ZZ )
20	19	ssriv 3183	. . . . . . 7 |- ( 0..^ N ) C_ ZZ
21	18, 20	eqsstrdi 3231	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> W C_ ZZ )
22		nn0z 9337	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
23		0z 9328	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
24		zdceq 9392	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
25	22, 23, 24	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> DECID N = 0 )
26		exmiddc 837	. . . . . . 7 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
28	15, 21, 27	mpjaodan 799	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> W C_ ZZ )
29	9, 28	fssresd 5430	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) : W --> B )
30		znf1o.f	. . . . 5 |- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
31	30	feq1i 5396	. . . 4 |- ( F : W --> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) : W --> B )
32	29, 31	sylibr 134	. . 3 |- ( N e. NN0 -> F : W --> B )
33	30	fveq1i 5555	. . . . . . . 8 |- ( F ` x ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` x )
34		fvres 5578	. . . . . . . . 9 |- ( x e. W -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
36	33, 35	eqtrid 2238	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( F ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
37	30	fveq1i 5555	. . . . . . . 8 |- ( F ` y ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` y )
38		fvres 5578	. . . . . . . . 9 |- ( y e. W -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
39	38	ad2antll 491	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
40	37, 39	eqtrid 2238	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( F ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
41	36, 40	eqeq12d 2208	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) ) )
42		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. NN0 )
43	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> W C_ ZZ )
44		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. W )
45	43, 44	sseldd 3180	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ZZ )
46		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. W )
47	43, 46	sseldd 3180	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ZZ )
48	1, 4	zndvds 14137	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) <-> N || ( x - y ) ) )
49	42, 45, 47, 48	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) <-> N || ( x - y ) ) )
50		elnn0 9242	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
51		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. NN )
52	51	nnnn0d 9293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. NN0 )
53	52, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> W C_ ZZ )
54		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. W )
55	53, 54	sseldd 3180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ZZ )
56		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. W )
57	53, 56	sseldd 3180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ZZ )
58		moddvds 11942	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x mod N ) = ( y mod N ) <-> N || ( x - y ) ) )
59	51, 55, 57, 58	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( x mod N ) = ( y mod N ) <-> N || ( x - y ) ) )
60		zq 9691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. QQ )
61	55, 60	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. QQ )
62		nnq 9698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. QQ )
64		nnne0 9010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
65		ifnefalse 3568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
67	10, 66	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> W = ( 0..^ N ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> W = ( 0..^ N ) )
69	54, 68	eleqtrd 2272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ( 0..^ N ) )
70		elfzole1 10222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ x )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> 0 <_ x )
72		elfzolt2 10223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x < N )
73	69, 72	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x < N )
74		modqid 10420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ x /\ x < N ) ) -> ( x mod N ) = x )
75	61, 63, 71, 73, 74	syl22anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x mod N ) = x )
76		zq 9691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
77	57, 76	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. QQ )
78	56, 68	eleqtrd 2272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ( 0..^ N ) )
79		elfzole1 10222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ y )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> 0 <_ y )
81		elfzolt2 10223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0..^ N ) -> y < N )
82	78, 81	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y < N )
83		modqid 10420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( y mod N ) = y )
84	77, 63, 80, 82, 83	syl22anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( y mod N ) = y )
85	75, 84	eqeq12d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( x mod N ) = ( y mod N ) <-> x = y ) )
86	59, 85	bitr3d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
87		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N = 0 )
88	87	breq1d 4039	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> 0 || ( x - y ) ) )
89		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 0 -> N = 0 )
90		0nn0 9255	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
91	89, 90	eqeltrdi 2284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> N e. NN0 )
92	91, 45	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ZZ )
93	91, 47	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ZZ )
94	92, 93	zsubcld 9444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x - y ) e. ZZ )
95		0dvds 11954	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x - y ) e. ZZ -> ( 0 || ( x - y ) <-> ( x - y ) = 0 ) )
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( 0 || ( x - y ) <-> ( x - y ) = 0 ) )
97	92	zcnd 9440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. CC )
98	93	zcnd 9440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. CC )
99	97, 98	subeq0ad 8340	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( x - y ) = 0 <-> x = y ) )
100	88, 96, 99	3bitrd 214	. . . . . . . 8 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
101	86, 100	jaoian 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN \/ N = 0 ) /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
102	50, 101	sylanb 284	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
103	41, 49, 102	3bitrd 214	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> x = y ) )
104	103	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
105	104	ralrimivva 2576	. . 3 |- ( N e. NN0 -> A. x e. W A. y e. W ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
106		dff13 5811	. . 3 |- ( F : W -1-1-> B <-> ( F : W --> B /\ A. x e. W A. y e. W ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
107	32, 105, 106	sylanbrc 417	. 2 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-> B )
108		zmodfzo 10418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( z mod N ) e. ( 0..^ N ) )
109	108	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( z mod N ) e. ( 0..^ N ) )
110	67	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> W = ( 0..^ N ) )
111	109, 110	eleqtrrd 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( z mod N ) e. W )
112		zq 9691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
113	112	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> z e. QQ )
114	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N e. QQ )
115		nngt0 9007	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> 0 < N )
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> 0 < N )
117		modqabs2 10429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) )
118	113, 114, 116, 117	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) )
119		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N e. NN )
120	20, 109	sselid 3177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( z mod N ) e. ZZ )
121		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
122		moddvds 11942	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( z mod N ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
123	119, 120, 121, 122	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
124	118, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N || ( ( z mod N ) - z ) )
125		nnnn0 9247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
126	125	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N e. NN0 )
127	1, 4	zndvds 14137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( z mod N ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
128	126, 120, 121, 127	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
129	124, 128	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
130	129	eqcomd 2199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) )
131		fveq2 5554	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( z mod N ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) )
132	131	rspceeqv 2882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z mod N ) e. W /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
133	111, 130, 132	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
134		iftrue 3562	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ZZ )
135	134	eleq2d 2263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> ( z e. if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) <-> z e. ZZ ) )
136	135	biimpar 297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> z e. if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
137	136, 10	eleqtrrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> z e. W )
138		eqidd 2194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
139		fveq2 5554	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
140	139	rspceeqv 2882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. W /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
141	137, 138, 140	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
142	133, 141	jaoian 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN \/ N = 0 ) /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
143	50, 142	sylanb 284	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
144	37, 38	eqtrid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( y e. W -> ( F ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
145	144	eqeq2d 2205	. . . . . . . 8 |- ( y e. W -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) ) )
146	145	rexbiia 2509	. . . . . . 7 |- ( E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) <-> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
147	143, 146	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) )
148	147	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> A. z e. ZZ E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) )
149	1, 7, 4	znzrhfo 14136	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> B )
150		fofn 5478	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> B -> ( ZRHom ` Y ) Fn ZZ )
151		eqeq1 2200	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( x = ( F ` y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
152	151	rexbidv 2495	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( E. y e. W x = ( F ` y ) <-> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
153	152	ralrn 5696	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` Y ) Fn ZZ -> ( A. x e. ran ( ZRHom ` Y ) E. y e. W x = ( F ` y ) <-> A. z e. ZZ E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
154	149, 150, 153	3syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( A. x e. ran ( ZRHom ` Y ) E. y e. W x = ( F ` y ) <-> A. z e. ZZ E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
155	148, 154	mpbird 167	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> A. x e. ran ( ZRHom ` Y ) E. y e. W x = ( F ` y ) )
156		forn 5479	. . . . 5 |- ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> B -> ran ( ZRHom ` Y ) = B )
157	149, 156	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ran ( ZRHom ` Y ) = B )
158	155, 157	raleqtrdv 2698	. . 3 |- ( N e. NN0 -> A. x e. B E. y e. W x = ( F ` y ) )
159		dffo3 5705	. . 3 |- ( F : W -onto-> B <-> ( F : W --> B /\ A. x e. B E. y e. W x = ( F ` y ) ) )
160	32, 158, 159	sylanbrc 417	. 2 |- ( N e. NN0 -> F : W -onto-> B )
161		df-f1o 5261	. 2 |- ( F : W -1-1-onto-> B <-> ( F : W -1-1-> B /\ F : W -onto-> B ) )
162	107, 160, 161	sylanbrc 417	1 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3153   ifcif 3557   class class class wbr 4029   ran crn 4660   |` cres 4661   Fn wfn 5249   -->wf 5250   -1-1->wf1 5251   -onto->wfo 5252   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   0cc0 7872   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   NNcn 8982   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   QQcq 9684  ..^cfzo 10208   mod cmo 10393   || cdvds 11930   Basecbs 12618   Ringcrg 13492   CRingccrg 13493   RingHom crh 13646  ℤ_ringczring 14078   ZRHomczrh 14099  ℤ/nℤczn 14101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-tpos 6298  df-recs 6358  df-frec 6444  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-cj 10986  df-dvds 11931  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-starv 12710  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-ple 12715  df-0g 12869  df-iimas 12885  df-qus 12886  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mhm 13031  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-mulg 13190  df-subg 13240  df-nsg 13241  df-eqg 13242  df-ghm 13311  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-rng 13429  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-cring 13495  df-oppr 13564  df-dvdsr 13585  df-rhm 13648  df-subrg 13715  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-lsp 13883  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-lidl 13965  df-rsp 13966  df-2idl 13996  df-icnfld 14048  df-zring 14079  df-zrh 14102  df-zn 14104

This theorem is referenced by:  znleval  14141  znfi  14143  znhash  14144