Theorem znf1o 15096

Description: The function F enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each n. When n = 0, ZZ / 0 ZZ = ZZ / { 0 } ~~ ZZ so we let W = ZZ; otherwise W = { 0 , ... , n - 1 } enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znf1o.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znf1o.b	|- B = ( Base ` Y )
znf1o.f	|- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
znf1o.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )

Assertion

Ref	Expression
znf1o	|- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> B )

Proof of Theorem znf1o

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znf1o.y	. . . . . . 7 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2	1	zncrng 15090	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
3		crngring 14420	. . . . . 6 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
4		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
5	4	zrhrhm 15068	. . . . . 6 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
6		zringbas 15041	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
7		znf1o.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` Y )
8	6, 7	rhmf 14580	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> B )
9	2, 3, 5, 8	4syl 18	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> B )
10		znf1o.w	. . . . . . . 8 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
12	11	iftrued 3647	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ZZ )
13	10, 12	eqtrid 2283	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> W = ZZ )
14		ssid 3268	. . . . . . 7 |- ZZ C_ ZZ
15	13, 14	eqsstrdi 3300	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ N = 0 ) -> W C_ ZZ )
16		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> -. N = 0 )
17	16	iffalsed 3650	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
18	10, 17	eqtrid 2283	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> W = ( 0..^ N ) )
19		elfzoelz 10572	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x e. ZZ )
20	19	ssriv 3252	. . . . . . 7 |- ( 0..^ N ) C_ ZZ
21	18, 20	eqsstrdi 3300	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ -. N = 0 ) -> W C_ ZZ )
22		nn0z 9676	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
23		0z 9667	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
24		zdceq 9732	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
25	22, 23, 24	sylancl 417	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> DECID N = 0 )
26		exmiddc 848	. . . . . . 7 |- (DECID N = 0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ -. N = 0 ) )
28	15, 21, 27	mpjaodan 810	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> W C_ ZZ )
29	9, 28	fssresd 5569	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) : W --> B )
30		znf1o.f	. . . . 5 |- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
31	30	feq1i 5529	. . . 4 |- ( F : W --> B <-> ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) : W --> B )
32	29, 31	sylibr 134	. . 3 |- ( N e. NN0 -> F : W --> B )
33	30	fveq1i 5699	. . . . . . . 8 |- ( F ` x ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` x )
34		fvres 5722	. . . . . . . . 9 |- ( x e. W -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
35	34	ad2antrl 494	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
36	33, 35	eqtrid 2283	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( F ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) )
37	30	fveq1i 5699	. . . . . . . 8 |- ( F ` y ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` y )
38		fvres 5722	. . . . . . . . 9 |- ( y e. W -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
39	38	ad2antll 495	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) |` W ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
40	37, 39	eqtrid 2283	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( F ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
41	36, 40	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) ) )
42		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. NN0 )
43	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> W C_ ZZ )
44		simprl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. W )
45	43, 44	sseldd 3249	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ZZ )
46		simprr 537	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. W )
47	43, 46	sseldd 3249	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ZZ )
48	1, 4	zndvds 15094	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) <-> N || ( x - y ) ) )
49	42, 45, 47, 48	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` x ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) <-> N || ( x - y ) ) )
50		elnn0 9577	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
51		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. NN )
52	51	nnnn0d 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. NN0 )
53	52, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> W C_ ZZ )
54		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. W )
55	53, 54	sseldd 3249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ZZ )
56		simprr 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. W )
57	53, 56	sseldd 3249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ZZ )
58		moddvds 12592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x mod N ) = ( y mod N ) <-> N || ( x - y ) ) )
59	51, 55, 57, 58	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( x mod N ) = ( y mod N ) <-> N || ( x - y ) ) )
60		zq 10043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. QQ )
61	55, 60	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. QQ )
62		nnq 10050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N e. QQ )
64		nnne0 9342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
65		ifnefalse 3651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N =/= 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ( 0..^ N ) )
67	10, 66	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> W = ( 0..^ N ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> W = ( 0..^ N ) )
69	54, 68	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ( 0..^ N ) )
70		elfzole1 10581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ x )
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> 0 <_ x )
72		elfzolt2 10582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0..^ N ) -> x < N )
73	69, 72	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x < N )
74		modqid 10808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ x /\ x < N ) ) -> ( x mod N ) = x )
75	61, 63, 71, 73, 74	syl22anc 1279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x mod N ) = x )
76		zq 10043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> y e. QQ )
77	57, 76	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. QQ )
78	56, 68	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ( 0..^ N ) )
79		elfzole1 10581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0..^ N ) -> 0 <_ y )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> 0 <_ y )
81		elfzolt2 10582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 0..^ N ) -> y < N )
82	78, 81	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y < N )
83		modqid 10808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. QQ /\ N e. QQ ) /\ ( 0 <_ y /\ y < N ) ) -> ( y mod N ) = y )
84	77, 63, 80, 82, 83	syl22anc 1279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( y mod N ) = y )
85	75, 84	eqeq12d 2253	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( x mod N ) = ( y mod N ) <-> x = y ) )
86	59, 85	bitr3d 190	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
87		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> N = 0 )
88	87	breq1d 4141	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> 0 || ( x - y ) ) )
89		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 0 -> N = 0 )
90		0nn0 9590	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
91	89, 90	eqeltrdi 2329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> N e. NN0 )
92	91, 45	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. ZZ )
93	91, 47	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. ZZ )
94	92, 93	zsubcld 9785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( x - y ) e. ZZ )
95		0dvds 12604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x - y ) e. ZZ -> ( 0 || ( x - y ) <-> ( x - y ) = 0 ) )
96	94, 95	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( 0 || ( x - y ) <-> ( x - y ) = 0 ) )
97	92	zcnd 9781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> x e. CC )
98	93	zcnd 9781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> y e. CC )
99	97, 98	subeq0ad 8655	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( x - y ) = 0 <-> x = y ) )
100	88, 96, 99	3bitrd 214	. . . . . . . 8 |- ( ( N = 0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
101	86, 100	jaoian 807	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN \/ N = 0 ) /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
102	50, 101	sylanb 284	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( N || ( x - y ) <-> x = y ) )
103	41, 49, 102	3bitrd 214	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> x = y ) )
104	103	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. W /\ y e. W ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
105	104	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( N e. NN0 -> A. x e. W A. y e. W ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
106		dff13 5977	. . 3 |- ( F : W -1-1-> B <-> ( F : W --> B /\ A. x e. W A. y e. W ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
107	32, 105, 106	sylanbrc 421	. 2 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-> B )
108		zmodfzo 10806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( z mod N ) e. ( 0..^ N ) )
109	108	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( z mod N ) e. ( 0..^ N ) )
110	67	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> W = ( 0..^ N ) )
111	109, 110	eleqtrrd 2318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( z mod N ) e. W )
112		zq 10043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ZZ -> z e. QQ )
113	112	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> z e. QQ )
114	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N e. QQ )
115		nngt0 9339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> 0 < N )
116	115	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> 0 < N )
117		modqabs2 10817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. QQ /\ N e. QQ /\ 0 < N ) -> ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) )
118	113, 114, 116, 117	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) )
119		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N e. NN )
120	20, 109	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( z mod N ) e. ZZ )
121		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> z e. ZZ )
122		moddvds 12592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( z mod N ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
123	119, 120, 121, 122	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( z mod N ) mod N ) = ( z mod N ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
124	118, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N || ( ( z mod N ) - z ) )
125		nnnn0 9582	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
126	125	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> N e. NN0 )
127	1, 4	zndvds 15094	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( z mod N ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
128	126, 120, 121, 127	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) <-> N || ( ( z mod N ) - z ) ) )
129	124, 128	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
130	129	eqcomd 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) )
131		fveq2 5698	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( z mod N ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) )
132	131	rspceeqv 2948	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z mod N ) e. W /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` ( z mod N ) ) ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
133	111, 130, 132	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
134		iftrue 3645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 0 -> if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) = ZZ )
135	134	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 0 -> ( z e. if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) <-> z e. ZZ ) )
136	135	biimpar 297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> z e. if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) ) )
137	136, 10	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> z e. W )
138		eqidd 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
139		fveq2 5698	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) )
140	139	rspceeqv 2948	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. W /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
141	137, 138, 140	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = 0 /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
142	133, 141	jaoian 807	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN \/ N = 0 ) /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
143	50, 142	sylanb 284	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
144	37, 38	eqtrid 2283	. . . . . . . . 9 |- ( y e. W -> ( F ` y ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
145	144	eqeq2d 2250	. . . . . . . 8 |- ( y e. W -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) ) )
146	145	rexbiia 2565	. . . . . . 7 |- ( E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) <-> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( ( ZRHom ` Y ) ` y ) )
147	143, 146	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ z e. ZZ ) -> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) )
148	147	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> A. z e. ZZ E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) )
149	1, 7, 4	znzrhfo 15093	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> B )
150		fofn 5620	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> B -> ( ZRHom ` Y ) Fn ZZ )
151		eqeq1 2245	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( x = ( F ` y ) <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
152	151	rexbidv 2551	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) -> ( E. y e. W x = ( F ` y ) <-> E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
153	152	ralrn 5849	. . . . . 6 |- ( ( ZRHom ` Y ) Fn ZZ -> ( A. x e. ran ( ZRHom ` Y ) E. y e. W x = ( F ` y ) <-> A. z e. ZZ E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
154	149, 150, 153	3syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( A. x e. ran ( ZRHom ` Y ) E. y e. W x = ( F ` y ) <-> A. z e. ZZ E. y e. W ( ( ZRHom ` Y ) ` z ) = ( F ` y ) ) )
155	148, 154	mpbird 167	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> A. x e. ran ( ZRHom ` Y ) E. y e. W x = ( F ` y ) )
156		forn 5621	. . . . 5 |- ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> B -> ran ( ZRHom ` Y ) = B )
157	149, 156	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ran ( ZRHom ` Y ) = B )
158	155, 157	raleqtrdv 2757	. . 3 |- ( N e. NN0 -> A. x e. B E. y e. W x = ( F ` y ) )
159		dffo3 5858	. . 3 |- ( F : W -onto-> B <-> ( F : W --> B /\ A. x e. B E. y e. W x = ( F ` y ) ) )
160	32, 158, 159	sylanbrc 421	. 2 |- ( N e. NN0 -> F : W -onto-> B )
161		df-f1o 5387	. 2 |- ( F : W -1-1-onto-> B <-> ( F : W -1-1-> B /\ F : W -onto-> B ) )
162	107, 160, 161	sylanbrc 421	1 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> B )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   ifcif 3638   class class class wbr 4131   ran crn 4777   |` cres 4778   Fn wfn 5375   -->wf 5376   -1-1->wf1 5377   -onto->wfo 5378   -1-1-onto->wf1o 5379   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8186   < clt 8367   <_ cle 8368   - cmin 8505   NNcn 9314   NN0cn0 9575   ZZcz 9656   QQcq 10036  ..^cfzo 10567   mod cmo 10781   || cdvds 12580   Basecbs 13411   Ringcrg 14408   CRingccrg 14409   RingHom crh 14567  ℤ_ringczring 15035   ZRHomczrh 15056  ℤ/nℤczn 15058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6520  df-recs 6580  df-frec 6666  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-map 6928  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-cj 11630  df-abs 11788  df-dvds 12581  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-starv 13506  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-tset 13510  df-ple 13511  df-ds 13513  df-unif 13514  df-0g 13672  df-topgen 13674  df-iimas 13684  df-qus 13685  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-mhm 13826  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-sbg 13870  df-mulg 13983  df-subg 14033  df-nsg 14034  df-eqg 14035  df-ghm 14104  df-cmn 14180  df-abl 14181  df-mgp 14326  df-rng 14340  df-ur 14371  df-srg 14376  df-ring 14410  df-cring 14411  df-oppr 14483  df-dvdsr 14505  df-rhm 14569  df-subrg 14637  df-lmod 14735  df-lssm 14800  df-lsp 14834  df-sra 14882  df-rgmod 14883  df-lidl 14916  df-rsp 14917  df-2idl 14947  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-fg 14996  df-metu 14997  df-cnfld 15004  df-zring 15036  df-zrh 15059  df-zn 15061

This theorem is used by:  znleval  15098  znfi  15100  znhash  15101