Theorem modxp1i 13141

Description: Add one to an exponent in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	|- N e. NN
modxai.2	|- A e. NN
modxai.3	|- B e. NN0
modxai.4	|- D e. ZZ
modxai.5	|- K e. NN0
modxai.6	|- M e. NN0
modxp1i.9	|- ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N )
modxp1i.7	|- ( B + 1 ) = E
modxp1i.8	|- ( ( D x. N ) + M ) = ( K x. A )

Assertion

Ref	Expression
modxp1i	|- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( M mod N )

Proof of Theorem modxp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.1	. 2 |- N e. NN
2		modxai.2	. 2 |- A e. NN
3		modxai.3	. 2 |- B e. NN0
4		modxai.4	. 2 |- D e. ZZ
5		modxai.5	. 2 |- K e. NN0
6		modxai.6	. 2 |- M e. NN0
7		1nn0 9529	. 2 |- 1 e. NN0
8	2	nnnn0i 9521	. 2 |- A e. NN0
9		modxp1i.9	. 2 |- ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N )
10	2	nncni 9264	. . . 4 |- A e. CC
11		exp1 10931	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- ( A ^ 1 ) = A
13	12	oveq1i 6068	. 2 |- ( ( A ^ 1 ) mod N ) = ( A mod N )
14		modxp1i.7	. 2 |- ( B + 1 ) = E
15		modxp1i.8	. 2 |- ( ( D x. N ) + M ) = ( K x. A )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15	modxai 13139	1 |- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( M mod N )

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205  (class class class)co 6058   CCcc 8141   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   mod cmo 10708   ^cexp 10924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925

This theorem is referenced by: (None)