Theorem exp1 10418

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
exp1	|- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )

Proof of Theorem exp1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8838	. . 3 |- 1 e. NN
2		expnnval 10415	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. NN ) -> ( A ^ 1 ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) )
3	1, 2	mpan2 422	. 2 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) )
4		1zzd 9188	. . 3 |- ( A e. CC -> 1 e. ZZ )
5		elnnuz 9469	. . . . 5 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
6		fvconst2g 5680	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { A } ) ` x ) = A )
7	5, 6	sylan2br 286	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { A } ) ` x ) = A )
8		simpl 108	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> A e. CC )
9	7, 8	eqeltrd 2234	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { A } ) ` x ) e. CC )
10		mulcl 7853	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
11	10	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
12	4, 9, 11	seq3-1 10352	. 2 |- ( A e. CC -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) )
13		fvconst2g 5680	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. NN ) -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
14	1, 13	mpan2 422	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
15	3, 12, 14	3eqtrd 2194	1 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   {csn 3560   X. cxp 4583   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   CCcc 7724   1c1 7727   x. cmul 7731   NNcn 8827   ZZ>=cuz 9433   seqcseq 10337   ^cexp 10411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-seqfrec 10338  df-exp 10412

This theorem is referenced by:  expp1  10419  expn1ap0  10422  expcllem  10423  expap0  10442  expp1zap  10461  expm1ap  10462  sqval  10470  expnbnd  10534  exp1d  10539  geoisum1  11409  ef4p  11584  efgt1p2  11585  efgt1p  11586  dvexp  13046  dveflem  13058