Theorem exp1 10292

Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
exp1	|- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )

Proof of Theorem exp1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 8724	. . 3 |- 1 e. NN
2		expnnval 10289	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. NN ) -> ( A ^ 1 ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) )
3	1, 2	mpan2 421	. 2 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) )
4		1zzd 9074	. . 3 |- ( A e. CC -> 1 e. ZZ )
5		elnnuz 9355	. . . . 5 |- ( x e. NN <-> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
6		fvconst2g 5627	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { A } ) ` x ) = A )
7	5, 6	sylan2br 286	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { A } ) ` x ) = A )
8		simpl 108	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> A e. CC )
9	7, 8	eqeltrd 2214	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { A } ) ` x ) e. CC )
10		mulcl 7740	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
11	10	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
12	4, 9, 11	seq3-1 10226	. 2 |- ( A e. CC -> ( seq 1 ( x. , ( NN X. { A } ) ) ` 1 ) = ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) )
13		fvconst2g 5627	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. NN ) -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
14	1, 13	mpan2 421	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( NN X. { A } ) ` 1 ) = A )
15	3, 12, 14	3eqtrd 2174	1 |- ( A e. CC -> ( A ^ 1 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3522   X. cxp 4532   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   1c1 7614   x. cmul 7618   NNcn 8713   ZZ>=cuz 9319   seqcseq 10211   ^cexp 10285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-seqfrec 10212  df-exp 10286

This theorem is referenced by:  expp1  10293  expn1ap0  10296  expcllem  10297  expap0  10316  expp1zap  10335  expm1ap  10336  sqval  10344  expnbnd  10408  exp1d  10412  geoisum1  11281  ef4p  11389  efgt1p2  11390  efgt1p  11391  dvexp  12833  dveflem  12844