Theorem modxai 13144

Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	|- N e. NN
modxai.2	|- A e. NN
modxai.3	|- B e. NN0
modxai.4	|- D e. ZZ
modxai.5	|- K e. NN0
modxai.6	|- M e. NN0
modxai.7	|- C e. NN0
modxai.8	|- L e. NN0
modxai.11	|- ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N )
modxai.12	|- ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N )
modxai.9	|- ( B + C ) = E
modxai.10	|- ( ( D x. N ) + M ) = ( K x. L )

Assertion

Ref	Expression
modxai	|- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( M mod N )

Proof of Theorem modxai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.9	. . . . 5 |- ( B + C ) = E
2	1	oveq2i 6070	. . . 4 |- ( A ^ ( B + C ) ) = ( A ^ E )
3		modxai.2	. . . . . 6 |- A e. NN
4	3	nncni 9268	. . . . 5 |- A e. CC
5		modxai.3	. . . . 5 |- B e. NN0
6		modxai.7	. . . . 5 |- C e. NN0
7		expadd 10971	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> ( A ^ ( B + C ) ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) )
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1374	. . . 4 |- ( A ^ ( B + C ) ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) )
9	2, 8	eqtr3i 2257	. . 3 |- ( A ^ E ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) )
10	9	oveq1i 6069	. 2 |- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N )
11		nnexpcl 10942	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN0 ) -> ( A ^ B ) e. NN )
12	3, 5, 11	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A ^ B ) e. NN
13	12	nnzi 9619	. . . . . . 7 |- ( A ^ B ) e. ZZ
14	13	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( A ^ B ) e. ZZ )
15		modxai.5	. . . . . . . 8 |- K e. NN0
16	15	nn0zi 9620	. . . . . . 7 |- K e. ZZ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> K e. ZZ )
18		nnexpcl 10942	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ C e. NN0 ) -> ( A ^ C ) e. NN )
19	3, 6, 18	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A ^ C ) e. NN
20	19	nnzi 9619	. . . . . . 7 |- ( A ^ C ) e. ZZ
21	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( A ^ C ) e. ZZ )
22		modxai.8	. . . . . . . 8 |- L e. NN0
23	22	nn0zi 9620	. . . . . . 7 |- L e. ZZ
24	23	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> L e. ZZ )
25		modxai.1	. . . . . . 7 |- N e. NN
26		nnq 9987	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
27	25, 26	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> N e. QQ )
28		nnrp 10018	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
29	25, 28	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( T. -> N e. RR+ )
30	29	rpgt0d 10054	. . . . . 6 |- ( T. -> 0 < N )
31		modxai.11	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N )
32	31	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N ) )
33		modxai.12	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N )
34	33	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N ) )
35	14, 17, 21, 24, 27, 30, 32, 34	modqmul12d 10768	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( K x. L ) mod N ) )
36	35	mptru 1407	. . . 4 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( K x. L ) mod N )
37		modxai.10	. . . . . 6 |- ( ( D x. N ) + M ) = ( K x. L )
38		modxai.4	. . . . . . . . 9 |- D e. ZZ
39		zcn 9603	. . . . . . . . 9 |- ( D e. ZZ -> D e. CC )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- D e. CC
41	25	nncni 9268	. . . . . . . 8 |- N e. CC
42	40, 41	mulcli 8296	. . . . . . 7 |- ( D x. N ) e. CC
43		modxai.6	. . . . . . . 8 |- M e. NN0
44	43	nn0cni 9529	. . . . . . 7 |- M e. CC
45	42, 44	addcomi 8435	. . . . . 6 |- ( ( D x. N ) + M ) = ( M + ( D x. N ) )
46	37, 45	eqtr3i 2257	. . . . 5 |- ( K x. L ) = ( M + ( D x. N ) )
47	46	oveq1i 6069	. . . 4 |- ( ( K x. L ) mod N ) = ( ( M + ( D x. N ) ) mod N )
48	36, 47	eqtri 2255	. . 3 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( M + ( D x. N ) ) mod N )
49		nn0z 9618	. . . . 5 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
50		zq 9980	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
51	43, 49, 50	mp2b 8	. . . 4 |- M e. QQ
52	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- N e. QQ
53	30	mptru 1407	. . . 4 |- 0 < N
54		modqcyc 10749	. . . 4 |- ( ( ( M e. QQ /\ D e. ZZ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( M + ( D x. N ) ) mod N ) = ( M mod N ) )
55	51, 38, 52, 53, 54	mp4an 427	. . 3 |- ( ( M + ( D x. N ) ) mod N ) = ( M mod N )
56	48, 55	eqtri 2255	. 2 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( M mod N )
57	10, 56	eqtri 2255	1 |- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( M mod N )

Syntax hints:   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6059   CCcc 8142   0cc0 8144   + caddc 8147   x. cmul 8149   < clt 8325   NNcn 9258   NN0cn0 9517   ZZcz 9598   QQcq 9973   RR+crp 10008   mod cmo 10712   ^cexp 10928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-frec 6636  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-n0 9518  df-z 9599  df-uz 9876  df-q 9974  df-rp 10009  df-fl 10658  df-mod 10713  df-seqfrec 10838  df-exp 10929

This theorem is referenced by:  mod2xi  13145  modxp1i  13146