Theorem modxai 12947

Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	|- N e. NN
modxai.2	|- A e. NN
modxai.3	|- B e. NN0
modxai.4	|- D e. ZZ
modxai.5	|- K e. NN0
modxai.6	|- M e. NN0
modxai.7	|- C e. NN0
modxai.8	|- L e. NN0
modxai.11	|- ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N )
modxai.12	|- ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N )
modxai.9	|- ( B + C ) = E
modxai.10	|- ( ( D x. N ) + M ) = ( K x. L )

Assertion

Ref	Expression
modxai	|- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( M mod N )

Proof of Theorem modxai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.9	. . . . 5 |- ( B + C ) = E
2	1	oveq2i 6018	. . . 4 |- ( A ^ ( B + C ) ) = ( A ^ E )
3		modxai.2	. . . . . 6 |- A e. NN
4	3	nncni 9128	. . . . 5 |- A e. CC
5		modxai.3	. . . . 5 |- B e. NN0
6		modxai.7	. . . . 5 |- C e. NN0
7		expadd 10811	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> ( A ^ ( B + C ) ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) )
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1371	. . . 4 |- ( A ^ ( B + C ) ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) )
9	2, 8	eqtr3i 2252	. . 3 |- ( A ^ E ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) )
10	9	oveq1i 6017	. 2 |- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N )
11		nnexpcl 10782	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN0 ) -> ( A ^ B ) e. NN )
12	3, 5, 11	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A ^ B ) e. NN
13	12	nnzi 9475	. . . . . . 7 |- ( A ^ B ) e. ZZ
14	13	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( A ^ B ) e. ZZ )
15		modxai.5	. . . . . . . 8 |- K e. NN0
16	15	nn0zi 9476	. . . . . . 7 |- K e. ZZ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> K e. ZZ )
18		nnexpcl 10782	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ C e. NN0 ) -> ( A ^ C ) e. NN )
19	3, 6, 18	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A ^ C ) e. NN
20	19	nnzi 9475	. . . . . . 7 |- ( A ^ C ) e. ZZ
21	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( A ^ C ) e. ZZ )
22		modxai.8	. . . . . . . 8 |- L e. NN0
23	22	nn0zi 9476	. . . . . . 7 |- L e. ZZ
24	23	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> L e. ZZ )
25		modxai.1	. . . . . . 7 |- N e. NN
26		nnq 9836	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
27	25, 26	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> N e. QQ )
28		nnrp 9867	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
29	25, 28	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( T. -> N e. RR+ )
30	29	rpgt0d 9903	. . . . . 6 |- ( T. -> 0 < N )
31		modxai.11	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N )
32	31	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N ) )
33		modxai.12	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N )
34	33	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N ) )
35	14, 17, 21, 24, 27, 30, 32, 34	modqmul12d 10608	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( K x. L ) mod N ) )
36	35	mptru 1404	. . . 4 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( K x. L ) mod N )
37		modxai.10	. . . . . 6 |- ( ( D x. N ) + M ) = ( K x. L )
38		modxai.4	. . . . . . . . 9 |- D e. ZZ
39		zcn 9459	. . . . . . . . 9 |- ( D e. ZZ -> D e. CC )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- D e. CC
41	25	nncni 9128	. . . . . . . 8 |- N e. CC
42	40, 41	mulcli 8159	. . . . . . 7 |- ( D x. N ) e. CC
43		modxai.6	. . . . . . . 8 |- M e. NN0
44	43	nn0cni 9389	. . . . . . 7 |- M e. CC
45	42, 44	addcomi 8298	. . . . . 6 |- ( ( D x. N ) + M ) = ( M + ( D x. N ) )
46	37, 45	eqtr3i 2252	. . . . 5 |- ( K x. L ) = ( M + ( D x. N ) )
47	46	oveq1i 6017	. . . 4 |- ( ( K x. L ) mod N ) = ( ( M + ( D x. N ) ) mod N )
48	36, 47	eqtri 2250	. . 3 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( M + ( D x. N ) ) mod N )
49		nn0z 9474	. . . . 5 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
50		zq 9829	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
51	43, 49, 50	mp2b 8	. . . 4 |- M e. QQ
52	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- N e. QQ
53	30	mptru 1404	. . . 4 |- 0 < N
54		modqcyc 10589	. . . 4 |- ( ( ( M e. QQ /\ D e. ZZ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( M + ( D x. N ) ) mod N ) = ( M mod N ) )
55	51, 38, 52, 53, 54	mp4an 427	. . 3 |- ( ( M + ( D x. N ) ) mod N ) = ( M mod N )
56	48, 55	eqtri 2250	. 2 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( M mod N )
57	10, 56	eqtri 2250	1 |- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( M mod N )

Syntax hints:   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007   CCcc 8005   0cc0 8007   + caddc 8010   x. cmul 8012   < clt 8189   NNcn 9118   NN0cn0 9377   ZZcz 9454   QQcq 9822   RR+crp 9857   mod cmo 10552   ^cexp 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769

This theorem is referenced by:  mod2xi  12948  modxp1i  12949