Theorem modxai 13178

Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	|- N e. NN
modxai.2	|- A e. NN
modxai.3	|- B e. NN0
modxai.4	|- D e. ZZ
modxai.5	|- K e. NN0
modxai.6	|- M e. NN0
modxai.7	|- C e. NN0
modxai.8	|- L e. NN0
modxai.11	|- ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N )
modxai.12	|- ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N )
modxai.9	|- ( B + C ) = E
modxai.10	|- ( ( D x. N ) + M ) = ( K x. L )

Assertion

Ref	Expression
modxai	|- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( M mod N )

Proof of Theorem modxai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.9	. . . . 5 |- ( B + C ) = E
2	1	oveq2i 6090	. . . 4 |- ( A ^ ( B + C ) ) = ( A ^ E )
3		modxai.2	. . . . . 6 |- A e. NN
4	3	nncni 9297	. . . . 5 |- A e. CC
5		modxai.3	. . . . 5 |- B e. NN0
6		modxai.7	. . . . 5 |- C e. NN0
7		expadd 11001	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> ( A ^ ( B + C ) ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) )
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1378	. . . 4 |- ( A ^ ( B + C ) ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) )
9	2, 8	eqtr3i 2261	. . 3 |- ( A ^ E ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) )
10	9	oveq1i 6089	. 2 |- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N )
11		nnexpcl 10972	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN0 ) -> ( A ^ B ) e. NN )
12	3, 5, 11	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- ( A ^ B ) e. NN
13	12	nnzi 9648	. . . . . . 7 |- ( A ^ B ) e. ZZ
14	13	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( A ^ B ) e. ZZ )
15		modxai.5	. . . . . . . 8 |- K e. NN0
16	15	nn0zi 9649	. . . . . . 7 |- K e. ZZ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> K e. ZZ )
18		nnexpcl 10972	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ C e. NN0 ) -> ( A ^ C ) e. NN )
19	3, 6, 18	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- ( A ^ C ) e. NN
20	19	nnzi 9648	. . . . . . 7 |- ( A ^ C ) e. ZZ
21	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( A ^ C ) e. ZZ )
22		modxai.8	. . . . . . . 8 |- L e. NN0
23	22	nn0zi 9649	. . . . . . 7 |- L e. ZZ
24	23	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> L e. ZZ )
25		modxai.1	. . . . . . 7 |- N e. NN
26		nnq 10016	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
27	25, 26	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> N e. QQ )
28		nnrp 10047	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
29	25, 28	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( T. -> N e. RR+ )
30	29	rpgt0d 10083	. . . . . 6 |- ( T. -> 0 < N )
31		modxai.11	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N )
32	31	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N ) )
33		modxai.12	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N )
34	33	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N ) )
35	14, 17, 21, 24, 27, 30, 32, 34	modqmul12d 10798	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( K x. L ) mod N ) )
36	35	mptru 1411	. . . 4 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( K x. L ) mod N )
37		modxai.10	. . . . . 6 |- ( ( D x. N ) + M ) = ( K x. L )
38		modxai.4	. . . . . . . . 9 |- D e. ZZ
39		zcn 9632	. . . . . . . . 9 |- ( D e. ZZ -> D e. CC )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- D e. CC
41	25	nncni 9297	. . . . . . . 8 |- N e. CC
42	40, 41	mulcli 8325	. . . . . . 7 |- ( D x. N ) e. CC
43		modxai.6	. . . . . . . 8 |- M e. NN0
44	43	nn0cni 9558	. . . . . . 7 |- M e. CC
45	42, 44	addcomi 8464	. . . . . 6 |- ( ( D x. N ) + M ) = ( M + ( D x. N ) )
46	37, 45	eqtr3i 2261	. . . . 5 |- ( K x. L ) = ( M + ( D x. N ) )
47	46	oveq1i 6089	. . . 4 |- ( ( K x. L ) mod N ) = ( ( M + ( D x. N ) ) mod N )
48	36, 47	eqtri 2259	. . 3 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( M + ( D x. N ) ) mod N )
49		nn0z 9647	. . . . 5 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
50		zq 10009	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
51	43, 49, 50	mp2b 8	. . . 4 |- M e. QQ
52	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- N e. QQ
53	30	mptru 1411	. . . 4 |- 0 < N
54		modqcyc 10779	. . . 4 |- ( ( ( M e. QQ /\ D e. ZZ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( M + ( D x. N ) ) mod N ) = ( M mod N ) )
55	51, 38, 52, 53, 54	mp4an 431	. . 3 |- ( ( M + ( D x. N ) ) mod N ) = ( M mod N )
56	48, 55	eqtri 2259	. 2 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( M mod N )
57	10, 56	eqtri 2259	1 |- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( M mod N )

Syntax hints:   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   CCcc 8171   0cc0 8173   + caddc 8176   x. cmul 8178   < clt 8354   NNcn 9287   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   QQcq 10002   RR+crp 10037   mod cmo 10742   ^cexp 10958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959

This theorem is referenced by:  mod2xi  13179  modxp1i  13180