Theorem modxai 12783

Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	|- N e. NN
modxai.2	|- A e. NN
modxai.3	|- B e. NN0
modxai.4	|- D e. ZZ
modxai.5	|- K e. NN0
modxai.6	|- M e. NN0
modxai.7	|- C e. NN0
modxai.8	|- L e. NN0
modxai.11	|- ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N )
modxai.12	|- ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N )
modxai.9	|- ( B + C ) = E
modxai.10	|- ( ( D x. N ) + M ) = ( K x. L )

Assertion

Ref	Expression
modxai	|- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( M mod N )

Proof of Theorem modxai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.9	. . . . 5 |- ( B + C ) = E
2	1	oveq2i 5962	. . . 4 |- ( A ^ ( B + C ) ) = ( A ^ E )
3		modxai.2	. . . . . 6 |- A e. NN
4	3	nncni 9053	. . . . 5 |- A e. CC
5		modxai.3	. . . . 5 |- B e. NN0
6		modxai.7	. . . . 5 |- C e. NN0
7		expadd 10733	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> ( A ^ ( B + C ) ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) )
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1350	. . . 4 |- ( A ^ ( B + C ) ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) )
9	2, 8	eqtr3i 2229	. . 3 |- ( A ^ E ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) )
10	9	oveq1i 5961	. 2 |- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N )
11		nnexpcl 10704	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN0 ) -> ( A ^ B ) e. NN )
12	3, 5, 11	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A ^ B ) e. NN
13	12	nnzi 9400	. . . . . . 7 |- ( A ^ B ) e. ZZ
14	13	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( A ^ B ) e. ZZ )
15		modxai.5	. . . . . . . 8 |- K e. NN0
16	15	nn0zi 9401	. . . . . . 7 |- K e. ZZ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> K e. ZZ )
18		nnexpcl 10704	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ C e. NN0 ) -> ( A ^ C ) e. NN )
19	3, 6, 18	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A ^ C ) e. NN
20	19	nnzi 9400	. . . . . . 7 |- ( A ^ C ) e. ZZ
21	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( A ^ C ) e. ZZ )
22		modxai.8	. . . . . . . 8 |- L e. NN0
23	22	nn0zi 9401	. . . . . . 7 |- L e. ZZ
24	23	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> L e. ZZ )
25		modxai.1	. . . . . . 7 |- N e. NN
26		nnq 9761	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
27	25, 26	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> N e. QQ )
28		nnrp 9792	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
29	25, 28	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( T. -> N e. RR+ )
30	29	rpgt0d 9828	. . . . . 6 |- ( T. -> 0 < N )
31		modxai.11	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N )
32	31	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N ) )
33		modxai.12	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N )
34	33	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N ) )
35	14, 17, 21, 24, 27, 30, 32, 34	modqmul12d 10530	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( K x. L ) mod N ) )
36	35	mptru 1382	. . . 4 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( K x. L ) mod N )
37		modxai.10	. . . . . 6 |- ( ( D x. N ) + M ) = ( K x. L )
38		modxai.4	. . . . . . . . 9 |- D e. ZZ
39		zcn 9384	. . . . . . . . 9 |- ( D e. ZZ -> D e. CC )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- D e. CC
41	25	nncni 9053	. . . . . . . 8 |- N e. CC
42	40, 41	mulcli 8084	. . . . . . 7 |- ( D x. N ) e. CC
43		modxai.6	. . . . . . . 8 |- M e. NN0
44	43	nn0cni 9314	. . . . . . 7 |- M e. CC
45	42, 44	addcomi 8223	. . . . . 6 |- ( ( D x. N ) + M ) = ( M + ( D x. N ) )
46	37, 45	eqtr3i 2229	. . . . 5 |- ( K x. L ) = ( M + ( D x. N ) )
47	46	oveq1i 5961	. . . 4 |- ( ( K x. L ) mod N ) = ( ( M + ( D x. N ) ) mod N )
48	36, 47	eqtri 2227	. . 3 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( M + ( D x. N ) ) mod N )
49		nn0z 9399	. . . . 5 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
50		zq 9754	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
51	43, 49, 50	mp2b 8	. . . 4 |- M e. QQ
52	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- N e. QQ
53	30	mptru 1382	. . . 4 |- 0 < N
54		modqcyc 10511	. . . 4 |- ( ( ( M e. QQ /\ D e. ZZ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( M + ( D x. N ) ) mod N ) = ( M mod N ) )
55	51, 38, 52, 53, 54	mp4an 427	. . 3 |- ( ( M + ( D x. N ) ) mod N ) = ( M mod N )
56	48, 55	eqtri 2227	. 2 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( M mod N )
57	10, 56	eqtri 2227	1 |- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( M mod N )

Syntax hints:   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2177   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951   CCcc 7930   0cc0 7932   + caddc 7935   x. cmul 7937   < clt 8114   NNcn 9043   NN0cn0 9302   ZZcz 9379   QQcq 9747   RR+crp 9782   mod cmo 10474   ^cexp 10690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fl 10420  df-mod 10475  df-seqfrec 10600  df-exp 10691

This theorem is referenced by:  mod2xi  12784  modxp1i  12785