Theorem modxai 12561

Description: Add exponents in a power mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
modxai.1	|- N e. NN
modxai.2	|- A e. NN
modxai.3	|- B e. NN0
modxai.4	|- D e. ZZ
modxai.5	|- K e. NN0
modxai.6	|- M e. NN0
modxai.7	|- C e. NN0
modxai.8	|- L e. NN0
modxai.11	|- ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N )
modxai.12	|- ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N )
modxai.9	|- ( B + C ) = E
modxai.10	|- ( ( D x. N ) + M ) = ( K x. L )

Assertion

Ref	Expression
modxai	|- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( M mod N )

Proof of Theorem modxai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modxai.9	. . . . 5 |- ( B + C ) = E
2	1	oveq2i 5933	. . . 4 |- ( A ^ ( B + C ) ) = ( A ^ E )
3		modxai.2	. . . . . 6 |- A e. NN
4	3	nncni 8997	. . . . 5 |- A e. CC
5		modxai.3	. . . . 5 |- B e. NN0
6		modxai.7	. . . . 5 |- C e. NN0
7		expadd 10658	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> ( A ^ ( B + C ) ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) )
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1348	. . . 4 |- ( A ^ ( B + C ) ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) )
9	2, 8	eqtr3i 2219	. . 3 |- ( A ^ E ) = ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) )
10	9	oveq1i 5932	. 2 |- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N )
11		nnexpcl 10629	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN0 ) -> ( A ^ B ) e. NN )
12	3, 5, 11	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A ^ B ) e. NN
13	12	nnzi 9344	. . . . . . 7 |- ( A ^ B ) e. ZZ
14	13	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( A ^ B ) e. ZZ )
15		modxai.5	. . . . . . . 8 |- K e. NN0
16	15	nn0zi 9345	. . . . . . 7 |- K e. ZZ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> K e. ZZ )
18		nnexpcl 10629	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ C e. NN0 ) -> ( A ^ C ) e. NN )
19	3, 6, 18	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( A ^ C ) e. NN
20	19	nnzi 9344	. . . . . . 7 |- ( A ^ C ) e. ZZ
21	20	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( A ^ C ) e. ZZ )
22		modxai.8	. . . . . . . 8 |- L e. NN0
23	22	nn0zi 9345	. . . . . . 7 |- L e. ZZ
24	23	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> L e. ZZ )
25		modxai.1	. . . . . . 7 |- N e. NN
26		nnq 9704	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
27	25, 26	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> N e. QQ )
28		nnrp 9735	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
29	25, 28	mp1i 10	. . . . . . 7 |- ( T. -> N e. RR+ )
30	29	rpgt0d 9771	. . . . . 6 |- ( T. -> 0 < N )
31		modxai.11	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N )
32	31	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( A ^ B ) mod N ) = ( K mod N ) )
33		modxai.12	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N )
34	33	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( A ^ C ) mod N ) = ( L mod N ) )
35	14, 17, 21, 24, 27, 30, 32, 34	modqmul12d 10455	. . . . 5 |- ( T. -> ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( K x. L ) mod N ) )
36	35	mptru 1373	. . . 4 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( K x. L ) mod N )
37		modxai.10	. . . . . 6 |- ( ( D x. N ) + M ) = ( K x. L )
38		modxai.4	. . . . . . . . 9 |- D e. ZZ
39		zcn 9328	. . . . . . . . 9 |- ( D e. ZZ -> D e. CC )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- D e. CC
41	25	nncni 8997	. . . . . . . 8 |- N e. CC
42	40, 41	mulcli 8029	. . . . . . 7 |- ( D x. N ) e. CC
43		modxai.6	. . . . . . . 8 |- M e. NN0
44	43	nn0cni 9258	. . . . . . 7 |- M e. CC
45	42, 44	addcomi 8168	. . . . . 6 |- ( ( D x. N ) + M ) = ( M + ( D x. N ) )
46	37, 45	eqtr3i 2219	. . . . 5 |- ( K x. L ) = ( M + ( D x. N ) )
47	46	oveq1i 5932	. . . 4 |- ( ( K x. L ) mod N ) = ( ( M + ( D x. N ) ) mod N )
48	36, 47	eqtri 2217	. . 3 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( ( M + ( D x. N ) ) mod N )
49		nn0z 9343	. . . . 5 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
50		zq 9697	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
51	43, 49, 50	mp2b 8	. . . 4 |- M e. QQ
52	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 |- N e. QQ
53	30	mptru 1373	. . . 4 |- 0 < N
54		modqcyc 10436	. . . 4 |- ( ( ( M e. QQ /\ D e. ZZ ) /\ ( N e. QQ /\ 0 < N ) ) -> ( ( M + ( D x. N ) ) mod N ) = ( M mod N ) )
55	51, 38, 52, 53, 54	mp4an 427	. . 3 |- ( ( M + ( D x. N ) ) mod N ) = ( M mod N )
56	48, 55	eqtri 2217	. 2 |- ( ( ( A ^ B ) x. ( A ^ C ) ) mod N ) = ( M mod N )
57	10, 56	eqtri 2217	1 |- ( ( A ^ E ) mod N ) = ( M mod N )

Syntax hints:   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   CCcc 7875   0cc0 7877   + caddc 7880   x. cmul 7882   < clt 8059   NNcn 8987   NN0cn0 9246   ZZcz 9323   QQcq 9690   RR+crp 9725   mod cmo 10399   ^cexp 10615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995  ax-arch 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-q 9691  df-rp 9726  df-fl 10345  df-mod 10400  df-seqfrec 10525  df-exp 10616

This theorem is referenced by:  mod2xi  12562  modxp1i  12563