Theorem modsubi 12997

Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modsubi.1	|- N e. NN
modsubi.2	|- A e. NN
modsubi.3	|- B e. NN0
modsubi.4	|- M e. NN0
modsubi.6	|- ( A mod N ) = ( K mod N )
modsubi.5	|- ( M + B ) = K

Assertion

Ref	Expression
modsubi	|- ( ( A - B ) mod N ) = ( M mod N )

Proof of Theorem modsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modsubi.2	. . . . 5 |- A e. NN
2		nnq 9867	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. QQ )
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> A e. QQ )
4		modsubi.5	. . . . . . 7 |- ( M + B ) = K
5		modsubi.4	. . . . . . . 8 |- M e. NN0
6		modsubi.3	. . . . . . . 8 |- B e. NN0
7	5, 6	nn0addcli 9439	. . . . . . 7 |- ( M + B ) e. NN0
8	4, 7	eqeltrri 2305	. . . . . 6 |- K e. NN0
9	8	nn0zi 9501	. . . . 5 |- K e. ZZ
10		zq 9860	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
11	9, 10	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> K e. QQ )
12	6	nn0negzi 9514	. . . . 5 |- -u B e. ZZ
13		zq 9860	. . . . 5 |- ( -u B e. ZZ -> -u B e. QQ )
14	12, 13	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> -u B e. QQ )
15		modsubi.1	. . . . 5 |- N e. NN
16		nnq 9867	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
17	15, 16	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> N e. QQ )
18		nngt0 9168	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
19	15, 18	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> 0 < N )
20		modsubi.6	. . . . 5 |- ( A mod N ) = ( K mod N )
21	20	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( A mod N ) = ( K mod N ) )
22	3, 11, 14, 17, 19, 21	modqadd1 10624	. . 3 |- ( T. -> ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( K + -u B ) mod N ) )
23	22	mptru 1406	. 2 |- ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( K + -u B ) mod N )
24	1	nncni 9153	. . . 4 |- A e. CC
25	6	nn0cni 9414	. . . 4 |- B e. CC
26	24, 25	negsubi 8457	. . 3 |- ( A + -u B ) = ( A - B )
27	26	oveq1i 6028	. 2 |- ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( A - B ) mod N )
28	7	nn0rei 9413	. . . . . . 7 |- ( M + B ) e. RR
29	4, 28	eqeltrri 2305	. . . . . 6 |- K e. RR
30	29	recni 8191	. . . . 5 |- K e. CC
31	30, 25	negsubi 8457	. . . 4 |- ( K + -u B ) = ( K - B )
32	5	nn0cni 9414	. . . . . 6 |- M e. CC
33	30, 25, 32	subadd2i 8467	. . . . 5 |- ( ( K - B ) = M <-> ( M + B ) = K )
34	4, 33	mpbir 146	. . . 4 |- ( K - B ) = M
35	31, 34	eqtri 2252	. . 3 |- ( K + -u B ) = M
36	35	oveq1i 6028	. 2 |- ( ( K + -u B ) mod N ) = ( M mod N )
37	23, 27, 36	3eqtr3i 2260	1 |- ( ( A - B ) mod N ) = ( M mod N )

Syntax hints:   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   RRcr 8031   0cc0 8032   + caddc 8035   < clt 8214   - cmin 8350   -ucneg 8351   NNcn 9143   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   QQcq 9853   mod cmo 10585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-q 9854  df-rp 9889  df-fl 10531  df-mod 10586

This theorem is referenced by: (None)