Theorem modsubi 12613

Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modsubi.1	|- N e. NN
modsubi.2	|- A e. NN
modsubi.3	|- B e. NN0
modsubi.4	|- M e. NN0
modsubi.6	|- ( A mod N ) = ( K mod N )
modsubi.5	|- ( M + B ) = K

Assertion

Ref	Expression
modsubi	|- ( ( A - B ) mod N ) = ( M mod N )

Proof of Theorem modsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modsubi.2	. . . . 5 |- A e. NN
2		nnq 9724	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. QQ )
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> A e. QQ )
4		modsubi.5	. . . . . . 7 |- ( M + B ) = K
5		modsubi.4	. . . . . . . 8 |- M e. NN0
6		modsubi.3	. . . . . . . 8 |- B e. NN0
7	5, 6	nn0addcli 9303	. . . . . . 7 |- ( M + B ) e. NN0
8	4, 7	eqeltrri 2270	. . . . . 6 |- K e. NN0
9	8	nn0zi 9365	. . . . 5 |- K e. ZZ
10		zq 9717	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
11	9, 10	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> K e. QQ )
12	6	nn0negzi 9378	. . . . 5 |- -u B e. ZZ
13		zq 9717	. . . . 5 |- ( -u B e. ZZ -> -u B e. QQ )
14	12, 13	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> -u B e. QQ )
15		modsubi.1	. . . . 5 |- N e. NN
16		nnq 9724	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
17	15, 16	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> N e. QQ )
18		nngt0 9032	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
19	15, 18	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> 0 < N )
20		modsubi.6	. . . . 5 |- ( A mod N ) = ( K mod N )
21	20	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( A mod N ) = ( K mod N ) )
22	3, 11, 14, 17, 19, 21	modqadd1 10470	. . 3 |- ( T. -> ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( K + -u B ) mod N ) )
23	22	mptru 1373	. 2 |- ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( K + -u B ) mod N )
24	1	nncni 9017	. . . 4 |- A e. CC
25	6	nn0cni 9278	. . . 4 |- B e. CC
26	24, 25	negsubi 8321	. . 3 |- ( A + -u B ) = ( A - B )
27	26	oveq1i 5935	. 2 |- ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( A - B ) mod N )
28	7	nn0rei 9277	. . . . . . 7 |- ( M + B ) e. RR
29	4, 28	eqeltrri 2270	. . . . . 6 |- K e. RR
30	29	recni 8055	. . . . 5 |- K e. CC
31	30, 25	negsubi 8321	. . . 4 |- ( K + -u B ) = ( K - B )
32	5	nn0cni 9278	. . . . . 6 |- M e. CC
33	30, 25, 32	subadd2i 8331	. . . . 5 |- ( ( K - B ) = M <-> ( M + B ) = K )
34	4, 33	mpbir 146	. . . 4 |- ( K - B ) = M
35	31, 34	eqtri 2217	. . 3 |- ( K + -u B ) = M
36	35	oveq1i 5935	. 2 |- ( ( K + -u B ) mod N ) = ( M mod N )
37	23, 27, 36	3eqtr3i 2225	1 |- ( ( A - B ) mod N ) = ( M mod N )

Syntax hints:   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   RRcr 7895   0cc0 7896   + caddc 7899   < clt 8078   - cmin 8214   -ucneg 8215   NNcn 9007   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   QQcq 9710   mod cmo 10431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-q 9711  df-rp 9746  df-fl 10377  df-mod 10432

This theorem is referenced by: (None)