Theorem modsubi 13142

Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modsubi.1	|- N e. NN
modsubi.2	|- A e. NN
modsubi.3	|- B e. NN0
modsubi.4	|- M e. NN0
modsubi.6	|- ( A mod N ) = ( K mod N )
modsubi.5	|- ( M + B ) = K

Assertion

Ref	Expression
modsubi	|- ( ( A - B ) mod N ) = ( M mod N )

Proof of Theorem modsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modsubi.2	. . . . 5 |- A e. NN
2		nnq 9983	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. QQ )
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> A e. QQ )
4		modsubi.5	. . . . . . 7 |- ( M + B ) = K
5		modsubi.4	. . . . . . . 8 |- M e. NN0
6		modsubi.3	. . . . . . . 8 |- B e. NN0
7	5, 6	nn0addcli 9550	. . . . . . 7 |- ( M + B ) e. NN0
8	4, 7	eqeltrri 2308	. . . . . 6 |- K e. NN0
9	8	nn0zi 9616	. . . . 5 |- K e. ZZ
10		zq 9976	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
11	9, 10	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> K e. QQ )
12	6	nn0negzi 9629	. . . . 5 |- -u B e. ZZ
13		zq 9976	. . . . 5 |- ( -u B e. ZZ -> -u B e. QQ )
14	12, 13	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> -u B e. QQ )
15		modsubi.1	. . . . 5 |- N e. NN
16		nnq 9983	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
17	15, 16	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> N e. QQ )
18		nngt0 9279	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
19	15, 18	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> 0 < N )
20		modsubi.6	. . . . 5 |- ( A mod N ) = ( K mod N )
21	20	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( A mod N ) = ( K mod N ) )
22	3, 11, 14, 17, 19, 21	modqadd1 10747	. . 3 |- ( T. -> ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( K + -u B ) mod N ) )
23	22	mptru 1407	. 2 |- ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( K + -u B ) mod N )
24	1	nncni 9264	. . . 4 |- A e. CC
25	6	nn0cni 9525	. . . 4 |- B e. CC
26	24, 25	negsubi 8567	. . 3 |- ( A + -u B ) = ( A - B )
27	26	oveq1i 6068	. 2 |- ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( A - B ) mod N )
28	7	nn0rei 9524	. . . . . . 7 |- ( M + B ) e. RR
29	4, 28	eqeltrri 2308	. . . . . 6 |- K e. RR
30	29	recni 8302	. . . . 5 |- K e. CC
31	30, 25	negsubi 8567	. . . 4 |- ( K + -u B ) = ( K - B )
32	5	nn0cni 9525	. . . . . 6 |- M e. CC
33	30, 25, 32	subadd2i 8577	. . . . 5 |- ( ( K - B ) = M <-> ( M + B ) = K )
34	4, 33	mpbir 146	. . . 4 |- ( K - B ) = M
35	31, 34	eqtri 2255	. . 3 |- ( K + -u B ) = M
36	35	oveq1i 6068	. 2 |- ( ( K + -u B ) mod N ) = ( M mod N )
37	23, 27, 36	3eqtr3i 2263	1 |- ( ( A - B ) mod N ) = ( M mod N )

Syntax hints:   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   + caddc 8146   < clt 8324   - cmin 8460   -ucneg 8461   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   QQcq 9969   mod cmo 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-q 9970  df-rp 10005  df-fl 10654  df-mod 10709

This theorem is referenced by: (None)