Theorem modsubi 13053

Description: Subtract from within a mod calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
modsubi.1	|- N e. NN
modsubi.2	|- A e. NN
modsubi.3	|- B e. NN0
modsubi.4	|- M e. NN0
modsubi.6	|- ( A mod N ) = ( K mod N )
modsubi.5	|- ( M + B ) = K

Assertion

Ref	Expression
modsubi	|- ( ( A - B ) mod N ) = ( M mod N )

Proof of Theorem modsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modsubi.2	. . . . 5 |- A e. NN
2		nnq 9910	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. QQ )
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> A e. QQ )
4		modsubi.5	. . . . . . 7 |- ( M + B ) = K
5		modsubi.4	. . . . . . . 8 |- M e. NN0
6		modsubi.3	. . . . . . . 8 |- B e. NN0
7	5, 6	nn0addcli 9482	. . . . . . 7 |- ( M + B ) e. NN0
8	4, 7	eqeltrri 2305	. . . . . 6 |- K e. NN0
9	8	nn0zi 9544	. . . . 5 |- K e. ZZ
10		zq 9903	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
11	9, 10	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> K e. QQ )
12	6	nn0negzi 9557	. . . . 5 |- -u B e. ZZ
13		zq 9903	. . . . 5 |- ( -u B e. ZZ -> -u B e. QQ )
14	12, 13	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> -u B e. QQ )
15		modsubi.1	. . . . 5 |- N e. NN
16		nnq 9910	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
17	15, 16	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> N e. QQ )
18		nngt0 9211	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 0 < N )
19	15, 18	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> 0 < N )
20		modsubi.6	. . . . 5 |- ( A mod N ) = ( K mod N )
21	20	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( A mod N ) = ( K mod N ) )
22	3, 11, 14, 17, 19, 21	modqadd1 10667	. . 3 |- ( T. -> ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( K + -u B ) mod N ) )
23	22	mptru 1407	. 2 |- ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( K + -u B ) mod N )
24	1	nncni 9196	. . . 4 |- A e. CC
25	6	nn0cni 9457	. . . 4 |- B e. CC
26	24, 25	negsubi 8500	. . 3 |- ( A + -u B ) = ( A - B )
27	26	oveq1i 6038	. 2 |- ( ( A + -u B ) mod N ) = ( ( A - B ) mod N )
28	7	nn0rei 9456	. . . . . . 7 |- ( M + B ) e. RR
29	4, 28	eqeltrri 2305	. . . . . 6 |- K e. RR
30	29	recni 8234	. . . . 5 |- K e. CC
31	30, 25	negsubi 8500	. . . 4 |- ( K + -u B ) = ( K - B )
32	5	nn0cni 9457	. . . . . 6 |- M e. CC
33	30, 25, 32	subadd2i 8510	. . . . 5 |- ( ( K - B ) = M <-> ( M + B ) = K )
34	4, 33	mpbir 146	. . . 4 |- ( K - B ) = M
35	31, 34	eqtri 2252	. . 3 |- ( K + -u B ) = M
36	35	oveq1i 6038	. 2 |- ( ( K + -u B ) mod N ) = ( M mod N )
37	23, 27, 36	3eqtr3i 2260	1 |- ( ( A - B ) mod N ) = ( M mod N )

Syntax hints:   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8074   0cc0 8075   + caddc 8078   < clt 8257   - cmin 8393   -ucneg 8394   NNcn 9186   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   QQcq 9896   mod cmo 10628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-q 9897  df-rp 9932  df-fl 10574  df-mod 10629

This theorem is referenced by: (None)