Theorem msf 12636

Description: The distance function of a metric space is a function into the real numbers. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
msf.x	|- X = ( Base ` M )
msf.d	|- D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) )

Assertion

Ref	Expression
msf	|- ( M e. MetSp -> D : ( X X. X ) --> RR )

Proof of Theorem msf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msf.x	. . 3 |- X = ( Base ` M )
2		msf.d	. . 3 |- D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) )
3	1, 2	msmet 12635	. 2 |- ( M e. MetSp -> D e. ( Met ` X ) )
4		metf 12525	. 2 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR )
5	3, 4	syl 14	1 |- ( M e. MetSp -> D : ( X X. X ) --> RR )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   X. cxp 4537   |` cres 4541   -->wf 5119   ` cfv 5123   RRcr 7624   Basecbs 11964   distcds 12035   Metcmet 12155   MetSpcms 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7716  ax-resscn 7717  ax-1cn 7718  ax-1re 7719  ax-icn 7720  ax-addcl 7721  ax-addrcl 7722  ax-mulcl 7723  ax-mulrcl 7724  ax-addcom 7725  ax-mulcom 7726  ax-addass 7727  ax-mulass 7728  ax-distr 7729  ax-i2m1 7730  ax-0lt1 7731  ax-1rid 7732  ax-0id 7733  ax-rnegex 7734  ax-precex 7735  ax-cnre 7736  ax-pre-ltirr 7737  ax-pre-ltwlin 7738  ax-pre-lttrn 7739  ax-pre-apti 7740  ax-pre-ltadd 7741  ax-pre-mulgt0 7742  ax-pre-mulext 7743  ax-arch 7744  ax-caucvg 7745

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7807  df-mnf 7808  df-xr 7809  df-ltxr 7810  df-le 7811  df-sub 7940  df-neg 7941  df-reap 8342  df-ap 8349  df-div 8438  df-inn 8726  df-2 8784  df-3 8785  df-4 8786  df-5 8787  df-6 8788  df-7 8789  df-8 8790  df-9 8791  df-n0 8983  df-z 9060  df-uz 9332  df-q 9417  df-rp 9447  df-xneg 9564  df-xadd 9565  df-seqfrec 10224  df-exp 10298  df-cj 10619  df-re 10620  df-im 10621  df-rsqrt 10775  df-abs 10776  df-ndx 11967  df-slot 11968  df-base 11970  df-tset 12045  df-rest 12127  df-topn 12128  df-topgen 12146  df-psmet 12161  df-xmet 12162  df-met 12163  df-bl 12164  df-mopn 12165  df-top 12170  df-topon 12183  df-topsp 12203  df-bases 12215  df-xms 12513  df-ms 12514

This theorem is referenced by: (None)