Theorem n2dvds1 12293

Description: 2 does not divide 1 (common case). That means 1 is odd. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
n2dvds1	|- -. 2 || 1

Proof of Theorem n2dvds1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2 9221	. . 3 |- 1 < 2
2		1z 9413	. . . 4 |- 1 e. ZZ
3		2z 9415	. . . 4 |- 2 e. ZZ
4		zltnle 9433	. . . 4 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 1 < 2 <-> -. 2 <_ 1 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . 3 |- ( 1 < 2 <-> -. 2 <_ 1 )
6	1, 5	mpbi 145	. 2 |- -. 2 <_ 1
7		1nn 9062	. . 3 |- 1 e. NN
8		dvdsle 12225	. . 3 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 1 e. NN ) -> ( 2 || 1 -> 2 <_ 1 ) )
9	3, 7, 8	mp2an 426	. 2 |- ( 2 || 1 -> 2 <_ 1 )
10	6, 9	mto 664	1 |- -. 2 || 1

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2177   class class class wbr 4050   1c1 7941   < clt 8122   <_ cle 8123   NNcn 9051   2c2 9102   ZZcz 9387   || cdvds 12168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-n0 9311  df-z 9388  df-q 9756  df-dvds 12169

This theorem is referenced by:  bitsfzolem  12335  bitsinv1lem  12342  divgcdodd  12535  oddprm  12652  perfectlem1  15541  lgsquad2lem2  15629  2lgsoddprmlem3  15658