Theorem n2dvds1 12444

Description: 2 does not divide 1 (common case). That means 1 is odd. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
n2dvds1	⊢ ¬ 2 ∥ 1

Proof of Theorem n2dvds1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2 9296	. . 3 ⊢ 1 < 2
2		1z 9488	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		2z 9490	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		zltnle 9508	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . 3 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
6	1, 5	mpbi 145	. 2 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
7		1nn 9137	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
8		dvdsle 12376	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (2 ∥ 1 → 2 ≤ 1))
9	3, 7, 8	mp2an 426	. 2 ⊢ (2 ∥ 1 → 2 ≤ 1)
10	6, 9	mto 666	1 ⊢ ¬ 2 ∥ 1

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  1c1 8016   < clt 8197   ≤ cle 8198  ℕcn 9126  2c2 9177  ℤcz 9462   ∥ cdvds 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-q 9832  df-dvds 12320

This theorem is referenced by:  bitsfzolem  12486  bitsinv1lem  12493  divgcdodd  12686  oddprm  12803  perfectlem1  15694  lgsquad2lem2  15782  2lgsoddprmlem3  15811