Theorem 2lgsoddprmlem3 16435

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) )

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsdir2lem3 16354	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( N mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
2		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( ( N mod 8 ) = R -> ( ( N mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
3	2	eqcoms 2241	. . . 4 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( ( N mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
4		elun 3370	. . . . . 6 |- ( R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> ( R e. { 1 , 7 } \/ R e. { 3 , 5 } ) )
5		elpri 3732	. . . . . . . 8 |- ( R e. { 3 , 5 } -> ( R = 3 \/ R = 5 ) )
6		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R = 3 -> ( R ^ 2 ) = ( 3 ^ 2 ) )
7	6	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R = 3 -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 3 ^ 2 ) - 1 ) )
8	7	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = 3 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 3 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
9		2lgsoddprmlem3b 16432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 3 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 1
10	8, 9	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 3 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 1 )
11	10	breq2d 4143	. . . . . . . . . 10 |- ( R = 3 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || 1 ) )
12		n2dvds1 12704	. . . . . . . . . . 11 |- -. 2 || 1
13	12	pm2.21i 655	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 || 1 -> R e. { 1 , 7 } )
14	11, 13	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 |- ( R = 3 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
15		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R = 5 -> ( R ^ 2 ) = ( 5 ^ 2 ) )
16	15	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R = 5 -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) )
17	16	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = 5 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
18	17	breq2d 4143	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 5 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
19		2lgsoddprmlem3c 16433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 3
20	19	breq2i 4139	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 || ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || 3 )
21	18, 20	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 |- ( R = 5 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || 3 ) )
22		n2dvds3 12707	. . . . . . . . . . 11 |- -. 2 || 3
23	22	pm2.21i 655	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 || 3 -> R e. { 1 , 7 } )
24	21, 23	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 |- ( R = 5 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
25	14, 24	jaoi 728	. . . . . . . 8 |- ( ( R = 3 \/ R = 5 ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
26	5, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( R e. { 3 , 5 } -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
27	26	jao1i 808	. . . . . 6 |- ( ( R e. { 1 , 7 } \/ R e. { 3 , 5 } ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
28	4, 27	sylbi 121	. . . . 5 |- ( R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
29		elpri 3732	. . . . . 6 |- ( R e. { 1 , 7 } -> ( R = 1 \/ R = 7 ) )
30		z0even 12703	. . . . . . . 8 |- 2 || 0
31		oveq1 6095	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 1 -> ( R ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
32	31	oveq1d 6103	. . . . . . . . . 10 |- ( R = 1 -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 1 ^ 2 ) - 1 ) )
33	32	oveq1d 6103	. . . . . . . . 9 |- ( R = 1 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 1 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
34		2lgsoddprmlem3a 16431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( R = 1 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 0 )
36	30, 35	breqtrrid 4169	. . . . . . 7 |- ( R = 1 -> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
37		2z 9683	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
38		3z 9684	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
39		dvdsmul1 12605	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. 3 ) )
40	37, 38, 39	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- 2 || ( 2 x. 3 )
41		oveq1 6095	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 7 -> ( R ^ 2 ) = ( 7 ^ 2 ) )
42	41	oveq1d 6103	. . . . . . . . . 10 |- ( R = 7 -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 7 ^ 2 ) - 1 ) )
43	42	oveq1d 6103	. . . . . . . . 9 |- ( R = 7 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 7 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
44		2lgsoddprmlem3d 16434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 7 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( 2 x. 3 )
45	43, 44	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( R = 7 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( 2 x. 3 ) )
46	40, 45	breqtrrid 4169	. . . . . . 7 |- ( R = 7 -> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
47	36, 46	jaoi 728	. . . . . 6 |- ( ( R = 1 \/ R = 7 ) -> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
48	29, 47	syl 14	. . . . 5 |- ( R e. { 1 , 7 } -> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
49	28, 48	impbid1 142	. . . 4 |- ( R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) )
50	3, 49	biimtrdi 163	. . 3 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( ( N mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) ) )
51	1, 50	syl5com 29	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( R = ( N mod 8 ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) ) )
52	51	3impia 1231	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   {cpr 3710   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   0cc0 8185   1c1 8186   x. cmul 8190   - cmin 8504   / cdiv 9010   2c2 9364   3c3 9365   5c5 9367   7c7 9369   8c8 9370   ZZcz 9655   mod cmo 10780   ^cexp 10996   || cdvds 12579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-dvds 12580

This theorem is used by:  2lgsoddprmlem4  16436