Theorem 2lgsoddprmlem3 14912

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) )

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsdir2lem3 14884	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( N mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
2		eleq1 2252	. . . . 5 |- ( ( N mod 8 ) = R -> ( ( N mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
3	2	eqcoms 2192	. . . 4 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( ( N mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
4		elun 3291	. . . . . 6 |- ( R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> ( R e. { 1 , 7 } \/ R e. { 3 , 5 } ) )
5		elpri 3630	. . . . . . . 8 |- ( R e. { 3 , 5 } -> ( R = 3 \/ R = 5 ) )
6		oveq1 5902	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R = 3 -> ( R ^ 2 ) = ( 3 ^ 2 ) )
7	6	oveq1d 5910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R = 3 -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 3 ^ 2 ) - 1 ) )
8	7	oveq1d 5910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = 3 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 3 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
9		2lgsoddprmlem3b 14909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 3 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 1
10	8, 9	eqtrdi 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 3 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 1 )
11	10	breq2d 4030	. . . . . . . . . 10 |- ( R = 3 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || 1 ) )
12		n2dvds1 11948	. . . . . . . . . . 11 |- -. 2 || 1
13	12	pm2.21i 647	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 || 1 -> R e. { 1 , 7 } )
14	11, 13	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 |- ( R = 3 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
15		oveq1 5902	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R = 5 -> ( R ^ 2 ) = ( 5 ^ 2 ) )
16	15	oveq1d 5910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R = 5 -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) )
17	16	oveq1d 5910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = 5 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
18	17	breq2d 4030	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 5 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
19		2lgsoddprmlem3c 14910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 3
20	19	breq2i 4026	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 || ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || 3 )
21	18, 20	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 |- ( R = 5 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || 3 ) )
22		n2dvds3 11951	. . . . . . . . . . 11 |- -. 2 || 3
23	22	pm2.21i 647	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 || 3 -> R e. { 1 , 7 } )
24	21, 23	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 |- ( R = 5 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
25	14, 24	jaoi 717	. . . . . . . 8 |- ( ( R = 3 \/ R = 5 ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
26	5, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( R e. { 3 , 5 } -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
27	26	jao1i 797	. . . . . 6 |- ( ( R e. { 1 , 7 } \/ R e. { 3 , 5 } ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
28	4, 27	sylbi 121	. . . . 5 |- ( R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
29		elpri 3630	. . . . . 6 |- ( R e. { 1 , 7 } -> ( R = 1 \/ R = 7 ) )
30		z0even 11947	. . . . . . . 8 |- 2 || 0
31		oveq1 5902	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 1 -> ( R ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
32	31	oveq1d 5910	. . . . . . . . . 10 |- ( R = 1 -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 1 ^ 2 ) - 1 ) )
33	32	oveq1d 5910	. . . . . . . . 9 |- ( R = 1 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 1 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
34		2lgsoddprmlem3a 14908	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2238	. . . . . . . 8 |- ( R = 1 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 0 )
36	30, 35	breqtrrid 4056	. . . . . . 7 |- ( R = 1 -> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
37		2z 9310	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
38		3z 9311	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
39		dvdsmul1 11851	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. 3 ) )
40	37, 38, 39	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- 2 || ( 2 x. 3 )
41		oveq1 5902	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 7 -> ( R ^ 2 ) = ( 7 ^ 2 ) )
42	41	oveq1d 5910	. . . . . . . . . 10 |- ( R = 7 -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 7 ^ 2 ) - 1 ) )
43	42	oveq1d 5910	. . . . . . . . 9 |- ( R = 7 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 7 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
44		2lgsoddprmlem3d 14911	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 7 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( 2 x. 3 )
45	43, 44	eqtrdi 2238	. . . . . . . 8 |- ( R = 7 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( 2 x. 3 ) )
46	40, 45	breqtrrid 4056	. . . . . . 7 |- ( R = 7 -> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
47	36, 46	jaoi 717	. . . . . 6 |- ( ( R = 1 \/ R = 7 ) -> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
48	29, 47	syl 14	. . . . 5 |- ( R e. { 1 , 7 } -> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
49	28, 48	impbid1 142	. . . 4 |- ( R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) )
50	3, 49	biimtrdi 163	. . 3 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( ( N mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) ) )
51	1, 50	syl5com 29	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( R = ( N mod 8 ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) ) )
52	51	3impia 1202	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   u. cun 3142   {cpr 3608   class class class wbr 4018  (class class class)co 5895   0cc0 7840   1c1 7841   x. cmul 7845   - cmin 8157   / cdiv 8658   2c2 8999   3c3 9000   5c5 9002   7c7 9004   8c8 9005   ZZcz 9282   mod cmo 10352   ^cexp 10549   || cdvds 11825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-frec 6415  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-7 9012  df-8 9013  df-9 9014  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-q 9649  df-rp 9683  df-fz 10038  df-fl 10300  df-mod 10353  df-seqfrec 10476  df-exp 10550  df-dvds 11826

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  14913