Theorem 2lgsoddprmlem3 15268

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) )

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsdir2lem3 15187	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( N mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
2		eleq1 2256	. . . . 5 |- ( ( N mod 8 ) = R -> ( ( N mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
3	2	eqcoms 2196	. . . 4 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( ( N mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) ) )
4		elun 3301	. . . . . 6 |- ( R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> ( R e. { 1 , 7 } \/ R e. { 3 , 5 } ) )
5		elpri 3642	. . . . . . . 8 |- ( R e. { 3 , 5 } -> ( R = 3 \/ R = 5 ) )
6		oveq1 5926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R = 3 -> ( R ^ 2 ) = ( 3 ^ 2 ) )
7	6	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R = 3 -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 3 ^ 2 ) - 1 ) )
8	7	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = 3 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 3 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
9		2lgsoddprmlem3b 15265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 3 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 1
10	8, 9	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 3 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 1 )
11	10	breq2d 4042	. . . . . . . . . 10 |- ( R = 3 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || 1 ) )
12		n2dvds1 12056	. . . . . . . . . . 11 |- -. 2 || 1
13	12	pm2.21i 647	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 || 1 -> R e. { 1 , 7 } )
14	11, 13	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 |- ( R = 3 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
15		oveq1 5926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R = 5 -> ( R ^ 2 ) = ( 5 ^ 2 ) )
16	15	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R = 5 -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) )
17	16	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R = 5 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
18	17	breq2d 4042	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 5 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) ) )
19		2lgsoddprmlem3c 15266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 3
20	19	breq2i 4038	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 || ( ( ( 5 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || 3 )
21	18, 20	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 |- ( R = 5 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> 2 || 3 ) )
22		n2dvds3 12059	. . . . . . . . . . 11 |- -. 2 || 3
23	22	pm2.21i 647	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 || 3 -> R e. { 1 , 7 } )
24	21, 23	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 |- ( R = 5 -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
25	14, 24	jaoi 717	. . . . . . . 8 |- ( ( R = 3 \/ R = 5 ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
26	5, 25	syl 14	. . . . . . 7 |- ( R e. { 3 , 5 } -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
27	26	jao1i 797	. . . . . 6 |- ( ( R e. { 1 , 7 } \/ R e. { 3 , 5 } ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
28	4, 27	sylbi 121	. . . . 5 |- ( R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) -> R e. { 1 , 7 } ) )
29		elpri 3642	. . . . . 6 |- ( R e. { 1 , 7 } -> ( R = 1 \/ R = 7 ) )
30		z0even 12055	. . . . . . . 8 |- 2 || 0
31		oveq1 5926	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 1 -> ( R ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
32	31	oveq1d 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( R = 1 -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 1 ^ 2 ) - 1 ) )
33	32	oveq1d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( R = 1 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 1 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
34		2lgsoddprmlem3a 15264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2242	. . . . . . . 8 |- ( R = 1 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = 0 )
36	30, 35	breqtrrid 4068	. . . . . . 7 |- ( R = 1 -> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
37		2z 9348	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
38		3z 9349	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
39		dvdsmul1 11959	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. 3 ) )
40	37, 38, 39	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- 2 || ( 2 x. 3 )
41		oveq1 5926	. . . . . . . . . . 11 |- ( R = 7 -> ( R ^ 2 ) = ( 7 ^ 2 ) )
42	41	oveq1d 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( R = 7 -> ( ( R ^ 2 ) - 1 ) = ( ( 7 ^ 2 ) - 1 ) )
43	42	oveq1d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( R = 7 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( ( ( 7 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
44		2lgsoddprmlem3d 15267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 7 ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( 2 x. 3 )
45	43, 44	eqtrdi 2242	. . . . . . . 8 |- ( R = 7 -> ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) = ( 2 x. 3 ) )
46	40, 45	breqtrrid 4068	. . . . . . 7 |- ( R = 7 -> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
47	36, 46	jaoi 717	. . . . . 6 |- ( ( R = 1 \/ R = 7 ) -> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
48	29, 47	syl 14	. . . . 5 |- ( R e. { 1 , 7 } -> 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) )
49	28, 48	impbid1 142	. . . 4 |- ( R e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) )
50	3, 49	biimtrdi 163	. . 3 |- ( R = ( N mod 8 ) -> ( ( N mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) ) )
51	1, 50	syl5com 29	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( R = ( N mod 8 ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) ) )
52	51	3impia 1202	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ R = ( N mod 8 ) ) -> ( 2 || ( ( ( R ^ 2 ) - 1 ) / 8 ) <-> R e. { 1 , 7 } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3152   {cpr 3620   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   0cc0 7874   1c1 7875   x. cmul 7879   - cmin 8192   / cdiv 8693   2c2 9035   3c3 9036   5c5 9038   7c7 9040   8c8 9041   ZZcz 9320   mod cmo 10396   ^cexp 10612   || cdvds 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-dvds 11934

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  15269