Theorem lgsquad2lem2 15726

Description: Lemma for lgsquad2 15727. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsquad2.1	|- ( ph -> M e. NN )
lgsquad2.2	|- ( ph -> -. 2 || M )
lgsquad2.3	|- ( ph -> N e. NN )
lgsquad2.4	|- ( ph -> -. 2 || N )
lgsquad2.5	|- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
lgsquad2lem2.f	|- ( ( ph /\ ( m e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( m gcd N ) = 1 ) ) -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
lgsquad2lem2.s	|- ( ps <-> A. x e. ( 1 ... k ) ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsquad2lem2	|- ( ph -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   m, M   x, m, N   ph, m, x

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( x, k, m)   M( x, k)   N( k)

Proof of Theorem lgsquad2lem2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsquad2.1	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
2		2nn 9240	. . . . 5 |- 2 e. NN
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN )
4		lgsquad2.3	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
5	1	nnzd 9536	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
6		2z 9442	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
7		gcdcom 12460	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( M gcd 2 ) = ( 2 gcd M ) )
8	5, 6, 7	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ph -> ( M gcd 2 ) = ( 2 gcd M ) )
9		lgsquad2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> -. 2 || M )
10		2prm 12615	. . . . . . 7 |- 2 e. Prime
11		coprm 12632	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. Prime /\ M e. ZZ ) -> ( -. 2 || M <-> ( 2 gcd M ) = 1 ) )
12	10, 5, 11	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. 2 || M <-> ( 2 gcd M ) = 1 ) )
13	9, 12	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 gcd M ) = 1 )
14	8, 13	eqtrd 2242	. . . 4 |- ( ph -> ( M gcd 2 ) = 1 )
15		rpmulgcd 12513	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ 2 e. NN /\ N e. NN ) /\ ( M gcd 2 ) = 1 ) -> ( M gcd ( 2 x. N ) ) = ( M gcd N ) )
16	1, 3, 4, 14, 15	syl31anc 1255	. . 3 |- ( ph -> ( M gcd ( 2 x. N ) ) = ( M gcd N ) )
17		lgsquad2.5	. . 3 |- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
18	16, 17	eqtrd 2242	. 2 |- ( ph -> ( M gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
19		oveq1 5981	. . . . . . . 8 |- ( m = 1 -> ( m /L N ) = ( 1 /L N ) )
20		oveq2 5982	. . . . . . . 8 |- ( m = 1 -> ( N /L m ) = ( N /L 1 ) )
21	19, 20	oveq12d 5992	. . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) )
22		oveq1 5981	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = 1 -> ( m - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
23		1m1e0 9147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 - 1 ) = 0
24	22, 23	eqtrdi 2258	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = 1 -> ( m - 1 ) = 0 )
25	24	oveq1d 5989	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 1 -> ( ( m - 1 ) / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
26		2cn 9149	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
27		2ap0 9171	. . . . . . . . . . 11 |- 2 # 0
28	26, 27	div0api 8861	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 / 2 ) = 0
29	25, 28	eqtrdi 2258	. . . . . . . . 9 |- ( m = 1 -> ( ( m - 1 ) / 2 ) = 0 )
30	29	oveq1d 5989	. . . . . . . 8 |- ( m = 1 -> ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
31	30	oveq2d 5990	. . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
32	21, 31	eqeq12d 2224	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
33	32	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( m = 1 -> ( ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) <-> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
34	33	imbi2d 230	. . . 4 |- ( m = 1 -> ( ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
35		oveq1 5981	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = ( x gcd ( 2 x. N ) ) )
36	35	eqeq1d 2218	. . . . . 6 |- ( m = x -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 <-> ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) )
37		oveq1 5981	. . . . . . . 8 |- ( m = x -> ( m /L N ) = ( x /L N ) )
38		oveq2 5982	. . . . . . . 8 |- ( m = x -> ( N /L m ) = ( N /L x ) )
39	37, 38	oveq12d 5992	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) )
40		oveq1 5981	. . . . . . . . . 10 |- ( m = x -> ( m - 1 ) = ( x - 1 ) )
41	40	oveq1d 5989	. . . . . . . . 9 |- ( m = x -> ( ( m - 1 ) / 2 ) = ( ( x - 1 ) / 2 ) )
42	41	oveq1d 5989	. . . . . . . 8 |- ( m = x -> ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
43	42	oveq2d 5990	. . . . . . 7 |- ( m = x -> ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
44	39, 43	eqeq12d 2224	. . . . . 6 |- ( m = x -> ( ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
45	36, 44	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( m = x -> ( ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) <-> ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
46	45	imbi2d 230	. . . 4 |- ( m = x -> ( ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
47		oveq1 5981	. . . . . . 7 |- ( m = y -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = ( y gcd ( 2 x. N ) ) )
48	47	eqeq1d 2218	. . . . . 6 |- ( m = y -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 <-> ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) )
49		oveq1 5981	. . . . . . . 8 |- ( m = y -> ( m /L N ) = ( y /L N ) )
50		oveq2 5982	. . . . . . . 8 |- ( m = y -> ( N /L m ) = ( N /L y ) )
51	49, 50	oveq12d 5992	. . . . . . 7 |- ( m = y -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) )
52		oveq1 5981	. . . . . . . . . 10 |- ( m = y -> ( m - 1 ) = ( y - 1 ) )
53	52	oveq1d 5989	. . . . . . . . 9 |- ( m = y -> ( ( m - 1 ) / 2 ) = ( ( y - 1 ) / 2 ) )
54	53	oveq1d 5989	. . . . . . . 8 |- ( m = y -> ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
55	54	oveq2d 5990	. . . . . . 7 |- ( m = y -> ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
56	51, 55	eqeq12d 2224	. . . . . 6 |- ( m = y -> ( ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
57	48, 56	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( m = y -> ( ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) <-> ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
58	57	imbi2d 230	. . . 4 |- ( m = y -> ( ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
59		oveq1 5981	. . . . . . 7 |- ( m = ( x x. y ) -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) )
60	59	eqeq1d 2218	. . . . . 6 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 <-> ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) )
61		oveq1 5981	. . . . . . . 8 |- ( m = ( x x. y ) -> ( m /L N ) = ( ( x x. y ) /L N ) )
62		oveq2 5982	. . . . . . . 8 |- ( m = ( x x. y ) -> ( N /L m ) = ( N /L ( x x. y ) ) )
63	61, 62	oveq12d 5992	. . . . . . 7 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) )
64		oveq1 5981	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( x x. y ) -> ( m - 1 ) = ( ( x x. y ) - 1 ) )
65	64	oveq1d 5989	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( m - 1 ) / 2 ) = ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) )
66	65	oveq1d 5989	. . . . . . . 8 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
67	66	oveq2d 5990	. . . . . . 7 |- ( m = ( x x. y ) -> ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
68	63, 67	eqeq12d 2224	. . . . . 6 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
69	60, 68	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) <-> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
70	69	imbi2d 230	. . . 4 |- ( m = ( x x. y ) -> ( ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
71		oveq1 5981	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = ( M gcd ( 2 x. N ) ) )
72	71	eqeq1d 2218	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 <-> ( M gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) )
73		oveq1 5981	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( m /L N ) = ( M /L N ) )
74		oveq2 5982	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( N /L m ) = ( N /L M ) )
75	73, 74	oveq12d 5992	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) )
76		oveq1 5981	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( m - 1 ) = ( M - 1 ) )
77	76	oveq1d 5989	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( ( m - 1 ) / 2 ) = ( ( M - 1 ) / 2 ) )
78	77	oveq1d 5989	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
79	78	oveq2d 5990	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
80	75, 79	eqeq12d 2224	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) <-> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
81	72, 80	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) <-> ( ( M gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
82	81	imbi2d 230	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( M gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
83		1t1e1 9231	. . . . . . 7 |- ( 1 x. 1 ) = 1
84		neg1cn 9183	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. CC
85		exp0 10732	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 e. CC -> ( -u 1 ^ 0 ) = 1 )
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( -u 1 ^ 0 ) = 1
87	83, 86	eqtr4i 2233	. . . . . 6 |- ( 1 x. 1 ) = ( -u 1 ^ 0 )
88		sq1 10822	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
89	88	oveq1i 5984	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ^ 2 ) /L N ) = ( 1 /L N )
90		1z 9440	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
91		1ne0 9146	. . . . . . . . . 10 |- 1 =/= 0
92	90, 91	pm3.2i 272	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ /\ 1 =/= 0 )
93	4	nnzd 9536	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
94		1gcd 12479	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( 1 gcd N ) = 1 )
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 gcd N ) = 1 )
96		lgssq 15684	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ 1 =/= 0 ) /\ N e. ZZ /\ ( 1 gcd N ) = 1 ) -> ( ( 1 ^ 2 ) /L N ) = 1 )
97	92, 93, 95, 96	mp3an2i 1357	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 ^ 2 ) /L N ) = 1 )
98	89, 97	eqtr3id 2256	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 /L N ) = 1 )
99	88	oveq2i 5985	. . . . . . . 8 |- ( N /L ( 1 ^ 2 ) ) = ( N /L 1 )
100		1nn 9089	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
101	100	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. NN )
102		gcd1 12474	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( N gcd 1 ) = 1 )
103	93, 102	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N gcd 1 ) = 1 )
104		lgssq2 15685	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. NN /\ ( N gcd 1 ) = 1 ) -> ( N /L ( 1 ^ 2 ) ) = 1 )
105	93, 101, 103, 104	syl3anc 1252	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N /L ( 1 ^ 2 ) ) = 1 )
106	99, 105	eqtr3id 2256	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N /L 1 ) = 1 )
107	98, 106	oveq12d 5992	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) = ( 1 x. 1 ) )
108		nnm1nn0 9378	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
109	4, 108	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
110	109	nn0cnd 9392	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. CC )
111	110	halfcld 9324	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. CC )
112	111	mul02d 8506	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) = 0 )
113	112	oveq2d 5990	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ 0 ) )
114	87, 107, 113	3eqtr4a 2268	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
115	114	a1d 22	. . . 4 |- ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( 1 /L N ) x. ( N /L 1 ) ) = ( -u 1 ^ ( 0 x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
116		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> m e. Prime )
117		prmz 12599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. Prime -> m e. ZZ )
118	117	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> m e. ZZ )
119	6	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> 2 e. ZZ )
120	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> N e. NN )
121	120	nnzd 9536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> N e. ZZ )
122		zmulcl 9468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
123	6, 121, 122	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
124		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
125		dvdsmul1 12290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 2 || ( 2 x. N ) )
126	6, 121, 125	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> 2 || ( 2 x. N ) )
127		rpdvds 12587	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) /\ ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ 2 || ( 2 x. N ) ) ) -> ( m gcd 2 ) = 1 )
128	118, 119, 123, 124, 126, 127	syl32anc 1260	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( m gcd 2 ) = 1 )
129		prmrp 12633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( m gcd 2 ) = 1 <-> m =/= 2 ) )
130	116, 10, 129	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( ( m gcd 2 ) = 1 <-> m =/= 2 ) )
131	128, 130	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> m =/= 2 )
132		eldifsn 3774	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( m e. Prime /\ m =/= 2 ) )
133	116, 131, 132	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> m e. ( Prime \ { 2 } ) )
134		prmnn 12598	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. Prime -> m e. NN )
135	134	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> m e. NN )
136	2	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> 2 e. NN )
137		rpmulgcd 12513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m e. NN /\ 2 e. NN /\ N e. NN ) /\ ( m gcd 2 ) = 1 ) -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = ( m gcd N ) )
138	135, 136, 120, 128, 137	syl31anc 1255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( m gcd ( 2 x. N ) ) = ( m gcd N ) )
139	138, 124	eqtr3d 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( m gcd N ) = 1 )
140	133, 139	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( m e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( m gcd N ) = 1 ) )
141		lgsquad2lem2.f	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( m gcd N ) = 1 ) ) -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
142	140, 141	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. Prime /\ ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) ) -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
143	142	exp32 365	. . . . 5 |- ( ph -> ( m e. Prime -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
144	143	com12 30	. . . 4 |- ( m e. Prime -> ( ph -> ( ( m gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( m /L N ) x. ( N /L m ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( m - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
145		jcab 605	. . . . 5 |- ( ( ph -> ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ph -> ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) /\ ( ph -> ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
146		simplrl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` 2 ) )
147		eluz2nn 9729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> x e. NN )
148	146, 147	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> x e. NN )
149		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
150		eluz2nn 9729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. NN )
151	149, 150	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> y e. NN )
152	148, 151	nnmulcld 9127	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( x x. y ) e. NN )
153		n2dvds1 12389	. . . . . . . . . . . 12 |- -. 2 || 1
154	93	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> N e. ZZ )
155	6, 154, 125	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> 2 || ( 2 x. N ) )
156		eluzelz 9699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) -> x e. ZZ )
157		eluzelz 9699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. ZZ )
158	156, 157	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) )
159	158	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) )
160		zmulcl 9468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
161	159, 160	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( x x. y ) e. ZZ )
162	6, 154, 122	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
163		dvdsgcd 12499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( x x. y ) e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) -> ( ( 2 || ( x x. y ) /\ 2 || ( 2 x. N ) ) -> 2 || ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) ) )
164	6, 161, 162, 163	mp3an2i 1357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( 2 || ( x x. y ) /\ 2 || ( 2 x. N ) ) -> 2 || ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) ) )
165	155, 164	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( 2 || ( x x. y ) -> 2 || ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) ) )
166		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
167	166	breq2d 4074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( 2 || ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) <-> 2 || 1 ) )
168	165, 167	sylibd 149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( 2 || ( x x. y ) -> 2 || 1 ) )
169	153, 168	mtoi 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> -. 2 || ( x x. y ) )
170	169	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> -. 2 || ( x x. y ) )
171	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> N e. NN )
172		lgsquad2.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. 2 || N )
173	172	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> -. 2 || N )
174		dvdsmul2 12291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( 2 x. N ) )
175	6, 154, 174	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> N || ( 2 x. N ) )
176		rpdvds 12587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x x. y ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( 2 x. N ) e. ZZ ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ N || ( 2 x. N ) ) ) -> ( ( x x. y ) gcd N ) = 1 )
177	161, 154, 162, 166, 175, 176	syl32anc 1260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( x x. y ) gcd N ) = 1 )
178	177	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( x x. y ) gcd N ) = 1 )
179		eqidd 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( x x. y ) = ( x x. y ) )
180	159	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> x e. ZZ )
181	180, 162	gcdcomd 12461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( x gcd ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. N ) gcd x ) )
182	162, 161	gcdcomd 12461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( 2 x. N ) gcd ( x x. y ) ) = ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) )
183	182, 166	eqtrd 2242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( 2 x. N ) gcd ( x x. y ) ) = 1 )
184		dvdsmul1 12290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x || ( x x. y ) )
185	159, 184	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> x || ( x x. y ) )
186		rpdvds 12587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ x e. ZZ /\ ( x x. y ) e. ZZ ) /\ ( ( ( 2 x. N ) gcd ( x x. y ) ) = 1 /\ x || ( x x. y ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) gcd x ) = 1 )
187	162, 180, 161, 183, 185, 186	syl32anc 1260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( 2 x. N ) gcd x ) = 1 )
188	181, 187	eqtrd 2242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
189	188	adantrr 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
190		simprrl 539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
191	189, 190	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
192	159	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> y e. ZZ )
193	192, 162	gcdcomd 12461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( y gcd ( 2 x. N ) ) = ( ( 2 x. N ) gcd y ) )
194		dvdsmul2 12291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> y || ( x x. y ) )
195	159, 194	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> y || ( x x. y ) )
196		rpdvds 12587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ y e. ZZ /\ ( x x. y ) e. ZZ ) /\ ( ( ( 2 x. N ) gcd ( x x. y ) ) = 1 /\ y || ( x x. y ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) gcd y ) = 1 )
197	162, 192, 161, 183, 195, 196	syl32anc 1260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( ( 2 x. N ) gcd y ) = 1 )
198	193, 197	eqtrd 2242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 ) -> ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
199	198	adantrr 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 )
200		simprrr 540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
201	199, 200	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
202	152, 170, 171, 173, 178, 148, 151, 179, 191, 201	lgsquad2lem1 15725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) /\ ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 /\ ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) ) -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
203	202	exp32 365	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) -> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
204	203	com23 78	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) ) -> ( ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
205	204	expcom 116	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ph -> ( ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
206	205	a2d 26	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ph -> ( ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) /\ ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
207	145, 206	biimtrrid 153	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ y e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( ph -> ( ( x gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( x /L N ) x. ( N /L x ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( x - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) /\ ( ph -> ( ( y gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( y /L N ) x. ( N /L y ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( y - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( ( x x. y ) gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( ( x x. y ) /L N ) x. ( N /L ( x x. y ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( ( x x. y ) - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) ) )
208	34, 46, 58, 70, 82, 115, 144, 207	prmind 12609	. . 3 |- ( M e. NN -> ( ph -> ( ( M gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) ) )
209	1, 208	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( ( M gcd ( 2 x. N ) ) = 1 -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
210	18, 209	mpd 13	1 |- ( ph -> ( ( M /L N ) x. ( N /L M ) ) = ( -u 1 ^ ( ( ( M - 1 ) / 2 ) x. ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1375   e. wcel 2180   =/= wne 2380   A.wral 2488   \ cdif 3174   {csn 3646   class class class wbr 4062   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   CCcc 7965   0cc0 7967   1c1 7968   x. cmul 7972   - cmin 8285   -ucneg 8286   / cdiv 8787   NNcn 9078   2c2 9129   NN0cn0 9337   ZZcz 9414   ZZ>=cuz 9690   ...cfz 10172   ^cexp 10727   || cdvds 12264   gcd cgcd 12440   Primecprime 12595   /Lclgs 15641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 835  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-xor 1398  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-2o 6533  df-oadd 6536  df-er 6650  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-sup 7119  df-inf 7120  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-fl 10457  df-mod 10512  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-proddc 12028  df-dvds 12265  df-gcd 12441  df-prm 12596  df-phi 12699  df-pc 12774  df-lgs 15642

This theorem is referenced by:  lgsquad2  15727