Theorem negfcncf 14092

Description: The negative of a continuous complex function is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
negfcncf.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
negfcncf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem negfcncf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 14067	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffvelcdmda 5652	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
3	1	feqmptd 5570	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
4		eqidd 2178	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦))
5		negeq 8150	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → -𝑦 = -(𝐹‘𝑥))
6	2, 3, 4, 5	fmptco 5683	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(𝐹‘𝑥)))
7		negfcncf.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(𝐹‘𝑥))
8	6, 7	eqtr4di 2228	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∘ 𝐹) = 𝐺)
9		id 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
10		ssid 3176	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
11		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦)
12	11	negcncf 14091	. . . 4 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
13	10, 12	mp1i 10	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
14	9, 13	cncfco 14081	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
15	8, 14	eqeltrrd 2255	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3130   ↦ cmpt 4065   ∘ ccom 4631  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  -cneg 8129  –cn→ccncf 14060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-map 6650  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-2 8978  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-cncf 14061

This theorem is referenced by:  ivthdec  14125