Theorem negfcncf 14025

Description: The negative of a continuous complex function is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
negfcncf.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
negfcncf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem negfcncf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 14000	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffvelcdmda 5651	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
3	1	feqmptd 5569	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
4		eqidd 2178	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦))
5		negeq 8149	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → -𝑦 = -(𝐹‘𝑥))
6	2, 3, 4, 5	fmptco 5682	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(𝐹‘𝑥)))
7		negfcncf.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(𝐹‘𝑥))
8	6, 7	eqtr4di 2228	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∘ 𝐹) = 𝐺)
9		id 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
10		ssid 3175	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
11		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦)
12	11	negcncf 14024	. . . 4 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
13	10, 12	mp1i 10	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
14	9, 13	cncfco 14014	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
15	8, 14	eqeltrrd 2255	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3129   ↦ cmpt 4064   ∘ ccom 4630  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  -cneg 8128  –cn→ccncf 13993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-map 6649  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-2 8977  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-cncf 13994

This theorem is referenced by:  ivthdec  14058