Theorem negfcncf 15295

Description: The negative of a continuous complex function is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
negfcncf.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
negfcncf	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem negfcncf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 15266	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffvelcdmda 5772	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
3	1	feqmptd 5689	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
4		eqidd 2230	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦))
5		negeq 8350	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → -𝑦 = -(𝐹‘𝑥))
6	2, 3, 4, 5	fmptco 5803	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(𝐹‘𝑥)))
7		negfcncf.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(𝐹‘𝑥))
8	6, 7	eqtr4di 2280	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∘ 𝐹) = 𝐺)
9		id 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
10		ssid 3244	. . . 4 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
11		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦)
12	11	negcncf 15294	. . . 4 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
13	10, 12	mp1i 10	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
14	9, 13	cncfco 15280	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
15	8, 14	eqeltrrd 2307	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐺 ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197   ↦ cmpt 4145   ∘ ccom 4723  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  -cneg 8329  –cn→ccncf 15259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-map 6805  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-2 9180  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-cncf 15260

This theorem is referenced by:  ivthdec  15333