Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negfcncf GIF version

Theorem negfcncf 12833
 Description: The negative of a continuous complex function is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
negfcncf.1 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ -(𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
negfcncf (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐺 ∈ (𝐴cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem negfcncf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 12808 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
21ffvelrnda 5567 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
31feqmptd 5486 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
4 eqidd 2142 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦))
5 negeq 8008 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝑥) → -𝑦 = -(𝐹𝑥))
62, 3, 4, 5fmptco 5598 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ -(𝐹𝑥)))
7 negfcncf.1 . . 3 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ -(𝐹𝑥))
86, 7eqtr4di 2192 . 2 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∘ 𝐹) = 𝐺)
9 id 19 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
10 ssid 3124 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
11 eqid 2141 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦)
1211negcncf 12832 . . . 4 (ℂ ⊆ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1310, 12mp1i 10 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
149, 13cncfco 12822 . 2 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ -𝑦) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ))
158, 14eqeltrrd 2219 1 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐺 ∈ (𝐴cn→ℂ))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3078   ↦ cmpt 3999   ∘ ccom 4555  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786  ℂcc 7671  -cneg 7987  –cn→ccncf 12801 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-map 6556  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-2 8832  df-cj 10675  df-re 10676  df-im 10677  df-rsqrt 10831  df-abs 10832  df-cncf 12802 This theorem is referenced by:  ivthdec  12866
 Copyright terms: Public domain W3C validator