ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0o GIF version

Theorem nn0o 11904
Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0o
StepHypRef Expression
1 nn0o1gt2 11902 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
2 1m1e0 8984 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
32oveq1i 5882 . . . . . . 7 ((1 − 1) / 2) = (0 / 2)
4 2cn 8986 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
5 2ap0 9008 . . . . . . . 8 2 # 0
64, 5div0api 8699 . . . . . . 7 (0 / 2) = 0
73, 6eqtri 2198 . . . . . 6 ((1 − 1) / 2) = 0
8 0nn0 9187 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
97, 8eqeltri 2250 . . . . 5 ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0
10 oveq1 5879 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
1110oveq1d 5887 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = ((1 − 1) / 2))
1211eleq1d 2246 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
1312adantr 276 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
149, 13mpbiri 168 . . . 4 ((𝑁 = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
1514ex 115 . . 3 (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
16 2z 9277 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
1716a1i 9 . . . . . . 7 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℤ)
18 nn0z 9269 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
1918ad2antrl 490 . . . . . . 7 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 2re 8985 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
21 nn0re 9181 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
22 ltle 8041 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
2320, 21, 22sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
2423adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
2524impcom 125 . . . . . . 7 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 2 ≤ 𝑁)
26 eluz2 9530 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
2717, 19, 25, 26syl3anbrc 1181 . . . . . 6 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
28 simprr 531 . . . . . 6 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
2927, 28jca 306 . . . . 5 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
30 nno 11903 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
31 nnnn0 9179 . . . . 5 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
3229, 30, 313syl 17 . . . 4 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
3332ex 115 . . 3 (2 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
3415, 33jaoi 716 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
351, 34mpcom 36 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4002  cfv 5215  (class class class)co 5872  cr 7807  0cc0 7808  1c1 7809   + caddc 7811   < clt 7988  cle 7989  cmin 8124   / cdiv 8625  cn 8915  2c2 8966  0cn0 9172  cz 9249  cuz 9524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525
This theorem is referenced by:  nn0ob  11905
  Copyright terms: Public domain W3C validator