Theorem nno 11603

Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nno	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Proof of Theorem nno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b3 9398	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
2		nnnn0 8984	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3		nn0o1gt2 11602	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
4	2, 3	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
5		eqneqall 2318	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
6	5	a1d 22	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
7		nn0z 9074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
8		peano2zm 9092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
10	9	ad2antlr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
11		2cn 8791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
12	11	mulid2i 7769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 x. 2 ) = 2
13		nnre 8727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. RR )
14	13	ltp1d 8688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N < ( N + 1 ) )
15	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> N < ( N + 1 ) )
16		2re 8790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
18		peano2nn 8732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
19	18	nnred 8733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. RR )
20		lttr 7838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. RR /\ ( N + 1 ) e. RR ) -> ( ( 2 < N /\ N < ( N + 1 ) ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
21	17, 13, 19, 20	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( ( 2 < N /\ N < ( N + 1 ) ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
22	21	expdimp 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( N < ( N + 1 ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
23	15, 22	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 2 < ( N + 1 ) )
24	12, 23	eqbrtrid 3963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) )
25		1red 7781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 1 e. RR )
26	19	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( N + 1 ) e. RR )
27		2pos 8811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
28	16, 27	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
30		ltmuldiv 8632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ ( N + 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) <-> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) <-> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
32	24, 31	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) )
33	19	rehalfcld 8966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. RR )
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. RR )
35	25, 34	posdifd 8294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) <-> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
36	32, 35	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
37	36	adantlr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
38		elnnz 9064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
39	10, 37, 38	sylanbrc 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN )
40		nncn 8728	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. CC )
41		xp1d2m1eqxm1d2 8972	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
43	42	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
45	44	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
46	39, 45	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )
47	46	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
48	47	expcom 115	. . . . . 6 |- ( 2 < N -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
49	6, 48	jaoi 705	. . . . 5 |- ( ( N = 1 \/ 2 < N ) -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
50	4, 49	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
51	50	impancom 258	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ N =/= 1 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
52	1, 51	sylbi 120	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
53	52	imp 123	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   < clt 7800   - cmin 7933   / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  nn0o  11604