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Theorem nno 11515
Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nno  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )

Proof of Theorem nno
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 9354 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )
2 nnnn0 8942 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 nn0o1gt2 11514 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =  1  \/  2  <  N
) )
42, 3sylan 281 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =  1  \/  2  <  N
) )
5 eqneqall 2295 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  ( N  =/=  1  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
65a1d 22 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
7 nn0z 9032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
8 peano2zm 9050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ )
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  -  1 )  e.  ZZ )
109ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
11 2cn 8755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
1211mulid2i 7737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
13 nnre 8691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1413ltp1d 8652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
1514adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  ->  N  <  ( N  + 
1 ) )
16 2re 8754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
1716a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
18 peano2nn 8696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
1918nnred 8697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
20 lttr 7806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( N  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( 2  < 
N  /\  N  <  ( N  +  1 ) )  ->  2  <  ( N  +  1 ) ) )
2117, 13, 19, 20syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  <  N  /\  N  <  ( N  +  1 ) )  ->  2  <  ( N  +  1 ) ) )
2221expdimp 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( N  <  ( N  +  1 )  ->  2  <  ( N  +  1 ) ) )
2315, 22mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
2  <  ( N  +  1 ) )
2412, 23eqbrtrid 3933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( 1  x.  2 )  <  ( N  +  1 ) )
25 1red 7749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
1  e.  RR )
2619adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( N  +  1 )  e.  RR )
27 2pos 8775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
2816, 27pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
2928a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
30 ltmuldiv 8596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
1  x.  2 )  <  ( N  + 
1 )  <->  1  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
3125, 26, 29, 30syl3anc 1201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( ( 1  x.  2 )  <  ( N  +  1 )  <->  1  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
3224, 31mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
1  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )
3319rehalfcld 8924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  RR )
3433adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  RR )
3525, 34posdifd 8261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( 1  <  (
( N  +  1 )  /  2 )  <->  0  <  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  -  1 ) ) )
3632, 35mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
0  <  ( (
( N  +  1 )  /  2 )  -  1 ) )
3736adantlr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  0  <  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 ) )
38 elnnz 9022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )
3910, 37, 38sylanbrc 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN )
40 nncn 8692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
41 xp1d2m1eqxm1d2 8930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
4342eleq1d 2186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4443adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4544adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  / 
2 )  e.  NN ) )
4639, 45mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( N  -  1 )  / 
2 )  e.  NN )
4746a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4847expcom 115 . . . . . 6  |-  ( 2  <  N  ->  (
( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
496, 48jaoi 690 . . . . 5  |-  ( ( N  =  1  \/  2  <  N )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
504, 49mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
5150impancom 258 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN0  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
521, 51sylbi 120 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
5352imp 123 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593    < clt 7768    - cmin 7901    / cdiv 8399   NNcn 8684   2c2 8735   NN0cn0 8935   ZZcz 9012   ZZ>=cuz 9282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-2 8743  df-3 8744  df-4 8745  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283
This theorem is referenced by:  nn0o  11516
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