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Theorem nno 11592
Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nno  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )

Proof of Theorem nno
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 9391 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )
2 nnnn0 8977 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 nn0o1gt2 11591 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =  1  \/  2  <  N
) )
42, 3sylan 281 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =  1  \/  2  <  N
) )
5 eqneqall 2316 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  ( N  =/=  1  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
65a1d 22 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
7 nn0z 9067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
8 peano2zm 9085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ )
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  -  1 )  e.  ZZ )
109ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
11 2cn 8784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
1211mulid2i 7762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
13 nnre 8720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1413ltp1d 8681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
1514adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  ->  N  <  ( N  + 
1 ) )
16 2re 8783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
1716a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
18 peano2nn 8725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
1918nnred 8726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
20 lttr 7831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( N  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( 2  < 
N  /\  N  <  ( N  +  1 ) )  ->  2  <  ( N  +  1 ) ) )
2117, 13, 19, 20syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  <  N  /\  N  <  ( N  +  1 ) )  ->  2  <  ( N  +  1 ) ) )
2221expdimp 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( N  <  ( N  +  1 )  ->  2  <  ( N  +  1 ) ) )
2315, 22mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
2  <  ( N  +  1 ) )
2412, 23eqbrtrid 3958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( 1  x.  2 )  <  ( N  +  1 ) )
25 1red 7774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
1  e.  RR )
2619adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( N  +  1 )  e.  RR )
27 2pos 8804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
2816, 27pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
2928a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
30 ltmuldiv 8625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
1  x.  2 )  <  ( N  + 
1 )  <->  1  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
3125, 26, 29, 30syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( ( 1  x.  2 )  <  ( N  +  1 )  <->  1  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
3224, 31mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
1  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )
3319rehalfcld 8959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  RR )
3433adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  RR )
3525, 34posdifd 8287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( 1  <  (
( N  +  1 )  /  2 )  <->  0  <  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  -  1 ) ) )
3632, 35mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
0  <  ( (
( N  +  1 )  /  2 )  -  1 ) )
3736adantlr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  0  <  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 ) )
38 elnnz 9057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )
3910, 37, 38sylanbrc 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN )
40 nncn 8721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
41 xp1d2m1eqxm1d2 8965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
4342eleq1d 2206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4443adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4544adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  / 
2 )  e.  NN ) )
4639, 45mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( N  -  1 )  / 
2 )  e.  NN )
4746a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4847expcom 115 . . . . . 6  |-  ( 2  <  N  ->  (
( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
496, 48jaoi 705 . . . . 5  |-  ( ( N  =  1  \/  2  <  N )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
504, 49mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
5150impancom 258 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN0  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
521, 51sylbi 120 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
5352imp 123 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2306   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614    + caddc 7616    x. cmul 7618    < clt 7793    - cmin 7926    / cdiv 8425   NNcn 8713   2c2 8764   NN0cn0 8970   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320
This theorem is referenced by:  nn0o  11593
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