Theorem nno 11894

Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nno	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Proof of Theorem nno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b3 9593	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
2		nnnn0 9172	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3		nn0o1gt2 11893	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
5		eqneqall 2357	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
6	5	a1d 22	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
7		nn0z 9262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
8		peano2zm 9280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
10	9	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
11		2cn 8979	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
12	11	mulid2i 7951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 x. 2 ) = 2
13		nnre 8915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. RR )
14	13	ltp1d 8876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N < ( N + 1 ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> N < ( N + 1 ) )
16		2re 8978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
18		peano2nn 8920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
19	18	nnred 8921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. RR )
20		lttr 8021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. RR /\ ( N + 1 ) e. RR ) -> ( ( 2 < N /\ N < ( N + 1 ) ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
21	17, 13, 19, 20	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( ( 2 < N /\ N < ( N + 1 ) ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
22	21	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( N < ( N + 1 ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
23	15, 22	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 2 < ( N + 1 ) )
24	12, 23	eqbrtrid 4035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) )
25		1red 7963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 1 e. RR )
26	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( N + 1 ) e. RR )
27		2pos 8999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
28	16, 27	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
30		ltmuldiv 8820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ ( N + 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) <-> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) <-> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
32	24, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) )
33	19	rehalfcld 9154	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. RR )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. RR )
35	25, 34	posdifd 8479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) <-> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
36	32, 35	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
37	36	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
38		elnnz 9252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
39	10, 37, 38	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN )
40		nncn 8916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. CC )
41		xp1d2m1eqxm1d2 9160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
43	42	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
46	39, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )
47	46	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
48	47	expcom 116	. . . . . 6 |- ( 2 < N -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
49	6, 48	jaoi 716	. . . . 5 |- ( ( N = 1 \/ 2 < N ) -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
50	4, 49	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
51	50	impancom 260	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ N =/= 1 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
52	1, 51	sylbi 121	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
53	52	imp 124	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   x. cmul 7807   < clt 7982   - cmin 8118   / cdiv 8618   NNcn 8908   2c2 8959   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518

This theorem is referenced by:  nn0o  11895