Theorem nno 12250

Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nno	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Proof of Theorem nno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b3 9727	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
2		nnnn0 9304	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3		nn0o1gt2 12249	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
5		eqneqall 2386	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
6	5	a1d 22	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
7		nn0z 9394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
8		peano2zm 9412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
10	9	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
11		2cn 9109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
12	11	mullidi 8077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 x. 2 ) = 2
13		nnre 9045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. RR )
14	13	ltp1d 9005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N < ( N + 1 ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> N < ( N + 1 ) )
16		2re 9108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
18		peano2nn 9050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
19	18	nnred 9051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. RR )
20		lttr 8148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. RR /\ ( N + 1 ) e. RR ) -> ( ( 2 < N /\ N < ( N + 1 ) ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
21	17, 13, 19, 20	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( ( 2 < N /\ N < ( N + 1 ) ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
22	21	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( N < ( N + 1 ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
23	15, 22	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 2 < ( N + 1 ) )
24	12, 23	eqbrtrid 4080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) )
25		1red 8089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 1 e. RR )
26	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( N + 1 ) e. RR )
27		2pos 9129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
28	16, 27	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
30		ltmuldiv 8949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ ( N + 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) <-> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) <-> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
32	24, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) )
33	19	rehalfcld 9286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. RR )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. RR )
35	25, 34	posdifd 8607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) <-> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
36	32, 35	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
37	36	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
38		elnnz 9384	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
39	10, 37, 38	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN )
40		nncn 9046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. CC )
41		xp1d2m1eqxm1d2 9292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
43	42	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
46	39, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )
47	46	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
48	47	expcom 116	. . . . . 6 |- ( 2 < N -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
49	6, 48	jaoi 718	. . . . 5 |- ( ( N = 1 \/ 2 < N ) -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
50	4, 49	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
51	50	impancom 260	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ N =/= 1 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
52	1, 51	sylbi 121	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
53	52	imp 124	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   CCcc 7925   RRcr 7926   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   x. cmul 7932   < clt 8109   - cmin 8245   / cdiv 8747   NNcn 9038   2c2 9089   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651

This theorem is referenced by:  nn0o  12251  gausslemma2dlem0b  15560