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Theorem nno 11910
Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nno  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )

Proof of Theorem nno
StepHypRef Expression
1 eluz2b3 9603 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )
2 nnnn0 9182 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 nn0o1gt2 11909 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =  1  \/  2  <  N
) )
42, 3sylan 283 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =  1  \/  2  <  N
) )
5 eqneqall 2357 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  ( N  =/=  1  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
65a1d 22 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
7 nn0z 9272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
8 peano2zm 9290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ )
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  -  1 )  e.  ZZ )
109ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
11 2cn 8989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
1211mullidi 7959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
13 nnre 8925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1413ltp1d 8886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
1514adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  ->  N  <  ( N  + 
1 ) )
16 2re 8988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
1716a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
18 peano2nn 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
1918nnred 8931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
20 lttr 8030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( N  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( 2  < 
N  /\  N  <  ( N  +  1 ) )  ->  2  <  ( N  +  1 ) ) )
2117, 13, 19, 20syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  <  N  /\  N  <  ( N  +  1 ) )  ->  2  <  ( N  +  1 ) ) )
2221expdimp 259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( N  <  ( N  +  1 )  ->  2  <  ( N  +  1 ) ) )
2315, 22mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
2  <  ( N  +  1 ) )
2412, 23eqbrtrid 4038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( 1  x.  2 )  <  ( N  +  1 ) )
25 1red 7971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
1  e.  RR )
2619adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( N  +  1 )  e.  RR )
27 2pos 9009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
2816, 27pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
2928a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
30 ltmuldiv 8830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( (
1  x.  2 )  <  ( N  + 
1 )  <->  1  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
3125, 26, 29, 30syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( ( 1  x.  2 )  <  ( N  +  1 )  <->  1  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) ) )
3224, 31mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
1  <  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )
3319rehalfcld 9164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  RR )
3433adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  RR )
3525, 34posdifd 8488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
( 1  <  (
( N  +  1 )  /  2 )  <->  0  <  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  -  1 ) ) )
3632, 35mpbid 147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  2  <  N )  -> 
0  <  ( (
( N  +  1 )  /  2 )  -  1 ) )
3736adantlr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  0  <  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 ) )
38 elnnz 9262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )
3910, 37, 38sylanbrc 417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN )
40 nncn 8926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
41 xp1d2m1eqxm1d2 9170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
4342eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4443adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  - 
1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4544adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( N  -  1 )  / 
2 )  e.  NN ) )
4639, 45mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( ( N  -  1 )  / 
2 )  e.  NN )
4746a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  2  <  N )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4847expcom 116 . . . . . 6  |-  ( 2  <  N  ->  (
( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
496, 48jaoi 716 . . . . 5  |-  ( ( N  =  1  \/  2  <  N )  ->  ( ( N  e.  NN  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
504, 49mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =/=  1  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
5150impancom 260 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN0  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
521, 51sylbi 121 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
5352imp 124 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    + caddc 7813    x. cmul 7815    < clt 7991    - cmin 8127    / cdiv 8628   NNcn 8918   2c2 8969   NN0cn0 9175   ZZcz 9252   ZZ>=cuz 9527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528
This theorem is referenced by:  nn0o  11911
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