Theorem nno 11639

Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nno	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Proof of Theorem nno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b3 9425	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
2		nnnn0 9008	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3		nn0o1gt2 11638	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
4	2, 3	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
5		eqneqall 2319	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
6	5	a1d 22	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
7		nn0z 9098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
8		peano2zm 9116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
10	9	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
11		2cn 8815	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
12	11	mulid2i 7793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 x. 2 ) = 2
13		nnre 8751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. RR )
14	13	ltp1d 8712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N < ( N + 1 ) )
15	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> N < ( N + 1 ) )
16		2re 8814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
18		peano2nn 8756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
19	18	nnred 8757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. RR )
20		lttr 7862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. RR /\ ( N + 1 ) e. RR ) -> ( ( 2 < N /\ N < ( N + 1 ) ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
21	17, 13, 19, 20	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( ( 2 < N /\ N < ( N + 1 ) ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
22	21	expdimp 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( N < ( N + 1 ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
23	15, 22	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 2 < ( N + 1 ) )
24	12, 23	eqbrtrid 3971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) )
25		1red 7805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 1 e. RR )
26	19	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( N + 1 ) e. RR )
27		2pos 8835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
28	16, 27	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
30		ltmuldiv 8656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ ( N + 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) <-> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) <-> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
32	24, 31	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) )
33	19	rehalfcld 8990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. RR )
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. RR )
35	25, 34	posdifd 8318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) <-> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
36	32, 35	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
37	36	adantlr 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
38		elnnz 9088	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
39	10, 37, 38	sylanbrc 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN )
40		nncn 8752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. CC )
41		xp1d2m1eqxm1d2 8996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
43	42	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
45	44	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
46	39, 45	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )
47	46	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
48	47	expcom 115	. . . . . 6 |- ( 2 < N -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
49	6, 48	jaoi 706	. . . . 5 |- ( ( N = 1 \/ 2 < N ) -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
50	4, 49	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
51	50	impancom 258	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ N =/= 1 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
52	1, 51	sylbi 120	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
53	52	imp 123	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   < clt 7824   - cmin 7957   / cdiv 8456   NNcn 8744   2c2 8795   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  nn0o  11640