Theorem nno 12651

Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nno	|- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Proof of Theorem nno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b3 9983	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
2		nnnn0 9549	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
3		nn0o1gt2 12650	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
5		eqneqall 2430	. . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
6	5	a1d 22	. . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
7		nn0z 9643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
8		peano2zm 9661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
10	9	ad2antlr 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
11		2cn 9354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
12	11	mullidi 8319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 x. 2 ) = 2
13		nnre 9290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. RR )
14	13	ltp1d 9250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N < ( N + 1 ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> N < ( N + 1 ) )
16		2re 9353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> 2 e. RR )
18		peano2nn 9295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
19	18	nnred 9296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. RR )
20		lttr 8389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. RR /\ ( N + 1 ) e. RR ) -> ( ( 2 < N /\ N < ( N + 1 ) ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
21	17, 13, 19, 20	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( ( 2 < N /\ N < ( N + 1 ) ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
22	21	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( N < ( N + 1 ) -> 2 < ( N + 1 ) ) )
23	15, 22	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 2 < ( N + 1 ) )
24	12, 23	eqbrtrid 4160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) )
25		1red 8331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 1 e. RR )
26	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( N + 1 ) e. RR )
27		2pos 9374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
28	16, 27	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
30		ltmuldiv 9194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ ( N + 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) <-> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( ( 1 x. 2 ) < ( N + 1 ) <-> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
32	24, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) )
33	19	rehalfcld 9531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. RR )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. RR )
35	25, 34	posdifd 8850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> ( 1 < ( ( N + 1 ) / 2 ) <-> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
36	32, 35	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ 2 < N ) -> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
37	36	adantlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
38		elnnz 9633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
39	10, 37, 38	sylanbrc 421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN )
40		nncn 9291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. CC )
41		xp1d2m1eqxm1d2 9537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
43	42	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. NN <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
46	39, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )
47	46	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) /\ 2 < N ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
48	47	expcom 116	. . . . . 6 |- ( 2 < N -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
49	6, 48	jaoi 728	. . . . 5 |- ( ( N = 1 \/ 2 < N ) -> ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
50	4, 49	mpcom 36	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N =/= 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
51	50	impancom 260	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ N =/= 1 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
52	1, 51	sylbi 121	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
53	52	imp 124	1 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   - cmin 8487   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by:  nn0o  12652  gausslemma2dlem0b  16083