Theorem nnindnn 8208

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). This is a counterpart to nnind 9253 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 8215). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nntopi.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
nnindnn.1	|- ( z = 1 -> ( ph <-> ps ) )
nnindnn.y	|- ( z = k -> ( ph <-> ch ) )
nnindnn.y1	|- ( z = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
nnindnn.a	|- ( z = A -> ( ph <-> ta ) )
nnindnn.basis	|- ps
nnindnn.step	|- ( k e. N -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
nnindnn	|- ( A e. N -> ta )

Distinct variable groups:   x, y   z, k   z, A   ps, z   ch, z   th, z   ta, z   ph, k   k, N, y, z   x, N, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y, k)   ch( x, y, k)   th( x, y, k)   ta( x, y, k)   A( x, y, k)

Proof of Theorem nnindnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntopi.n	. . . . . . 7 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2	1	peano1nnnn 8167	. . . . . 6 |- 1 e. N
3		nnindnn.basis	. . . . . 6 |- ps
4		nnindnn.1	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> ( ph <-> ps ) )
5	4	elrab 2973	. . . . . 6 |- ( 1 e. { z e. N | ph } <-> ( 1 e. N /\ ps ) )
6	2, 3, 5	mpbir2an 951	. . . . 5 |- 1 e. { z e. N | ph }
7		elrabi 2970	. . . . . . 7 |- ( k e. { z e. N | ph } -> k e. N )
8	1	peano2nnnn 8168	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. N -> ( k + 1 ) e. N )
9	8	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( k e. N -> ( k e. N -> ( k + 1 ) e. N ) )
10		nnindnn.step	. . . . . . . . 9 |- ( k e. N -> ( ch -> th ) )
11	9, 10	anim12d 335	. . . . . . . 8 |- ( k e. N -> ( ( k e. N /\ ch ) -> ( ( k + 1 ) e. N /\ th ) ) )
12		nnindnn.y	. . . . . . . . 9 |- ( z = k -> ( ph <-> ch ) )
13	12	elrab 2973	. . . . . . . 8 |- ( k e. { z e. N | ph } <-> ( k e. N /\ ch ) )
14		nnindnn.y1	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
15	14	elrab 2973	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } <-> ( ( k + 1 ) e. N /\ th ) )
16	11, 13, 15	3imtr4g 205	. . . . . . 7 |- ( k e. N -> ( k e. { z e. N | ph } -> ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } ) )
17	7, 16	mpcom 36	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. N | ph } -> ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } )
18	17	rgen 2595	. . . . 5 |- A. k e. { z e. N | ph } ( k + 1 ) e. { z e. N | ph }
19	1	peano5nnnn 8207	. . . . 5 |- ( ( 1 e. { z e. N | ph } /\ A. k e. { z e. N | ph } ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } ) -> N C_ { z e. N | ph } )
20	6, 18, 19	mp2an 426	. . . 4 |- N C_ { z e. N | ph }
21	20	sseli 3234	. . 3 |- ( A e. N -> A e. { z e. N | ph } )
22		nnindnn.a	. . . 4 |- ( z = A -> ( ph <-> ta ) )
23	22	elrab 2973	. . 3 |- ( A e. { z e. N | ph } <-> ( A e. N /\ ta ) )
24	21, 23	sylib 122	. 2 |- ( A e. N -> ( A e. N /\ ta ) )
25	24	simprd 114	1 |- ( A e. N -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   A.wral 2520   {crab 2524   C_ wss 3211   |^|cint 3949  (class class class)co 6050   1c1 8128   + caddc 8130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-i1p 7782  df-iplp 7783  df-enr 8041  df-nr 8042  df-plr 8043  df-0r 8046  df-1r 8047  df-c 8133  df-1 8135  df-r 8137  df-add 8138

This theorem is referenced by:  nntopi  8209