Theorem nnindnn 8224

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). This is a counterpart to nnind 9270 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 8231). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nntopi.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
nnindnn.1	|- ( z = 1 -> ( ph <-> ps ) )
nnindnn.y	|- ( z = k -> ( ph <-> ch ) )
nnindnn.y1	|- ( z = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
nnindnn.a	|- ( z = A -> ( ph <-> ta ) )
nnindnn.basis	|- ps
nnindnn.step	|- ( k e. N -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
nnindnn	|- ( A e. N -> ta )

Distinct variable groups:   x, y   z, k   z, A   ps, z   ch, z   th, z   ta, z   ph, k   k, N, y, z   x, N, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y, k)   ch( x, y, k)   th( x, y, k)   ta( x, y, k)   A( x, y, k)

Proof of Theorem nnindnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntopi.n	. . . . . . 7 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2	1	peano1nnnn 8183	. . . . . 6 |- 1 e. N
3		nnindnn.basis	. . . . . 6 |- ps
4		nnindnn.1	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> ( ph <-> ps ) )
5	4	elrab 2976	. . . . . 6 |- ( 1 e. { z e. N | ph } <-> ( 1 e. N /\ ps ) )
6	2, 3, 5	mpbir2an 951	. . . . 5 |- 1 e. { z e. N | ph }
7		elrabi 2973	. . . . . . 7 |- ( k e. { z e. N | ph } -> k e. N )
8	1	peano2nnnn 8184	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. N -> ( k + 1 ) e. N )
9	8	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( k e. N -> ( k e. N -> ( k + 1 ) e. N ) )
10		nnindnn.step	. . . . . . . . 9 |- ( k e. N -> ( ch -> th ) )
11	9, 10	anim12d 335	. . . . . . . 8 |- ( k e. N -> ( ( k e. N /\ ch ) -> ( ( k + 1 ) e. N /\ th ) ) )
12		nnindnn.y	. . . . . . . . 9 |- ( z = k -> ( ph <-> ch ) )
13	12	elrab 2976	. . . . . . . 8 |- ( k e. { z e. N | ph } <-> ( k e. N /\ ch ) )
14		nnindnn.y1	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
15	14	elrab 2976	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } <-> ( ( k + 1 ) e. N /\ th ) )
16	11, 13, 15	3imtr4g 205	. . . . . . 7 |- ( k e. N -> ( k e. { z e. N | ph } -> ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } ) )
17	7, 16	mpcom 36	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. N | ph } -> ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } )
18	17	rgen 2597	. . . . 5 |- A. k e. { z e. N | ph } ( k + 1 ) e. { z e. N | ph }
19	1	peano5nnnn 8223	. . . . 5 |- ( ( 1 e. { z e. N | ph } /\ A. k e. { z e. N | ph } ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } ) -> N C_ { z e. N | ph } )
20	6, 18, 19	mp2an 426	. . . 4 |- N C_ { z e. N | ph }
21	20	sseli 3238	. . 3 |- ( A e. N -> A e. { z e. N | ph } )
22		nnindnn.a	. . . 4 |- ( z = A -> ( ph <-> ta ) )
23	22	elrab 2976	. . 3 |- ( A e. { z e. N | ph } <-> ( A e. N /\ ta ) )
24	21, 23	sylib 122	. 2 |- ( A e. N -> ( A e. N /\ ta ) )
25	24	simprd 114	1 |- ( A e. N -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   {cab 2220   A.wral 2522   {crab 2526   C_ wss 3214   |^|cint 3954  (class class class)co 6058   1c1 8144   + caddc 8146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684  df-enq0 7755  df-nq0 7756  df-0nq0 7757  df-plq0 7758  df-mq0 7759  df-inp 7797  df-i1p 7798  df-iplp 7799  df-enr 8057  df-nr 8058  df-plr 8059  df-0r 8062  df-1r 8063  df-c 8149  df-1 8151  df-r 8153  df-add 8154

This theorem is referenced by:  nntopi  8225