Theorem nnindnn 7855

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). This is a counterpart to nnind 8894 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7862). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nntopi.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
nnindnn.1	|- ( z = 1 -> ( ph <-> ps ) )
nnindnn.y	|- ( z = k -> ( ph <-> ch ) )
nnindnn.y1	|- ( z = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
nnindnn.a	|- ( z = A -> ( ph <-> ta ) )
nnindnn.basis	|- ps
nnindnn.step	|- ( k e. N -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
nnindnn	|- ( A e. N -> ta )

Distinct variable groups:   x, y   z, k   z, A   ps, z   ch, z   th, z   ta, z   ph, k   k, N, y, z   x, N, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y, k)   ch( x, y, k)   th( x, y, k)   ta( x, y, k)   A( x, y, k)

Proof of Theorem nnindnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntopi.n	. . . . . . 7 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2	1	peano1nnnn 7814	. . . . . 6 |- 1 e. N
3		nnindnn.basis	. . . . . 6 |- ps
4		nnindnn.1	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> ( ph <-> ps ) )
5	4	elrab 2886	. . . . . 6 |- ( 1 e. { z e. N | ph } <-> ( 1 e. N /\ ps ) )
6	2, 3, 5	mpbir2an 937	. . . . 5 |- 1 e. { z e. N | ph }
7		elrabi 2883	. . . . . . 7 |- ( k e. { z e. N | ph } -> k e. N )
8	1	peano2nnnn 7815	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. N -> ( k + 1 ) e. N )
9	8	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( k e. N -> ( k e. N -> ( k + 1 ) e. N ) )
10		nnindnn.step	. . . . . . . . 9 |- ( k e. N -> ( ch -> th ) )
11	9, 10	anim12d 333	. . . . . . . 8 |- ( k e. N -> ( ( k e. N /\ ch ) -> ( ( k + 1 ) e. N /\ th ) ) )
12		nnindnn.y	. . . . . . . . 9 |- ( z = k -> ( ph <-> ch ) )
13	12	elrab 2886	. . . . . . . 8 |- ( k e. { z e. N | ph } <-> ( k e. N /\ ch ) )
14		nnindnn.y1	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
15	14	elrab 2886	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } <-> ( ( k + 1 ) e. N /\ th ) )
16	11, 13, 15	3imtr4g 204	. . . . . . 7 |- ( k e. N -> ( k e. { z e. N | ph } -> ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } ) )
17	7, 16	mpcom 36	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. N | ph } -> ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } )
18	17	rgen 2523	. . . . 5 |- A. k e. { z e. N | ph } ( k + 1 ) e. { z e. N | ph }
19	1	peano5nnnn 7854	. . . . 5 |- ( ( 1 e. { z e. N | ph } /\ A. k e. { z e. N | ph } ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } ) -> N C_ { z e. N | ph } )
20	6, 18, 19	mp2an 424	. . . 4 |- N C_ { z e. N | ph }
21	20	sseli 3143	. . 3 |- ( A e. N -> A e. { z e. N | ph } )
22		nnindnn.a	. . . 4 |- ( z = A -> ( ph <-> ta ) )
23	22	elrab 2886	. . 3 |- ( A e. { z e. N | ph } <-> ( A e. N /\ ta ) )
24	21, 23	sylib 121	. 2 |- ( A e. N -> ( A e. N /\ ta ) )
25	24	simprd 113	1 |- ( A e. N -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   {crab 2452   C_ wss 3121   |^|cint 3831  (class class class)co 5853   1c1 7775   + caddc 7777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-0r 7693  df-1r 7694  df-c 7780  df-1 7782  df-r 7784  df-add 7785

This theorem is referenced by:  nntopi  7856