Theorem nnindnn 8006

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). This is a counterpart to nnind 9052 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 8013). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nntopi.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
nnindnn.1	|- ( z = 1 -> ( ph <-> ps ) )
nnindnn.y	|- ( z = k -> ( ph <-> ch ) )
nnindnn.y1	|- ( z = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
nnindnn.a	|- ( z = A -> ( ph <-> ta ) )
nnindnn.basis	|- ps
nnindnn.step	|- ( k e. N -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
nnindnn	|- ( A e. N -> ta )

Distinct variable groups:   x, y   z, k   z, A   ps, z   ch, z   th, z   ta, z   ph, k   k, N, y, z   x, N, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   ps( x, y, k)   ch( x, y, k)   th( x, y, k)   ta( x, y, k)   A( x, y, k)

Proof of Theorem nnindnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntopi.n	. . . . . . 7 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2	1	peano1nnnn 7965	. . . . . 6 |- 1 e. N
3		nnindnn.basis	. . . . . 6 |- ps
4		nnindnn.1	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> ( ph <-> ps ) )
5	4	elrab 2929	. . . . . 6 |- ( 1 e. { z e. N | ph } <-> ( 1 e. N /\ ps ) )
6	2, 3, 5	mpbir2an 945	. . . . 5 |- 1 e. { z e. N | ph }
7		elrabi 2926	. . . . . . 7 |- ( k e. { z e. N | ph } -> k e. N )
8	1	peano2nnnn 7966	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. N -> ( k + 1 ) e. N )
9	8	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( k e. N -> ( k e. N -> ( k + 1 ) e. N ) )
10		nnindnn.step	. . . . . . . . 9 |- ( k e. N -> ( ch -> th ) )
11	9, 10	anim12d 335	. . . . . . . 8 |- ( k e. N -> ( ( k e. N /\ ch ) -> ( ( k + 1 ) e. N /\ th ) ) )
12		nnindnn.y	. . . . . . . . 9 |- ( z = k -> ( ph <-> ch ) )
13	12	elrab 2929	. . . . . . . 8 |- ( k e. { z e. N | ph } <-> ( k e. N /\ ch ) )
14		nnindnn.y1	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
15	14	elrab 2929	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } <-> ( ( k + 1 ) e. N /\ th ) )
16	11, 13, 15	3imtr4g 205	. . . . . . 7 |- ( k e. N -> ( k e. { z e. N | ph } -> ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } ) )
17	7, 16	mpcom 36	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. N | ph } -> ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } )
18	17	rgen 2559	. . . . 5 |- A. k e. { z e. N | ph } ( k + 1 ) e. { z e. N | ph }
19	1	peano5nnnn 8005	. . . . 5 |- ( ( 1 e. { z e. N | ph } /\ A. k e. { z e. N | ph } ( k + 1 ) e. { z e. N | ph } ) -> N C_ { z e. N | ph } )
20	6, 18, 19	mp2an 426	. . . 4 |- N C_ { z e. N | ph }
21	20	sseli 3189	. . 3 |- ( A e. N -> A e. { z e. N | ph } )
22		nnindnn.a	. . . 4 |- ( z = A -> ( ph <-> ta ) )
23	22	elrab 2929	. . 3 |- ( A e. { z e. N | ph } <-> ( A e. N /\ ta ) )
24	21, 23	sylib 122	. 2 |- ( A e. N -> ( A e. N /\ ta ) )
25	24	simprd 114	1 |- ( A e. N -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   {crab 2488   C_ wss 3166   |^|cint 3885  (class class class)co 5944   1c1 7926   + caddc 7928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-eprel 4336  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-1o 6502  df-2o 6503  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-qs 6626  df-ni 7417  df-pli 7418  df-mi 7419  df-lti 7420  df-plpq 7457  df-mpq 7458  df-enq 7460  df-nqqs 7461  df-plqqs 7462  df-mqqs 7463  df-1nqqs 7464  df-rq 7465  df-ltnqqs 7466  df-enq0 7537  df-nq0 7538  df-0nq0 7539  df-plq0 7540  df-mq0 7541  df-inp 7579  df-i1p 7580  df-iplp 7581  df-enr 7839  df-nr 7840  df-plr 7841  df-0r 7844  df-1r 7845  df-c 7931  df-1 7933  df-r 7935  df-add 7936

This theorem is referenced by:  nntopi  8007