![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nnmcl | GIF version |
Description: Closure of multiplication of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
nnmcl | โข ((๐ด โ ฯ โง ๐ต โ ฯ) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ ฯ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq2 5885 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ต โ (๐ด ยทo ๐ฅ) = (๐ด ยทo ๐ต)) | |
2 | 1 | eleq1d 2246 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ต โ ((๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ โ (๐ด ยทo ๐ต) โ ฯ)) |
3 | 2 | imbi2d 230 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ต โ ((๐ด โ ฯ โ (๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ) โ (๐ด โ ฯ โ (๐ด ยทo ๐ต) โ ฯ))) |
4 | oveq2 5885 | . . . . 5 โข (๐ฅ = โ โ (๐ด ยทo ๐ฅ) = (๐ด ยทo โ )) | |
5 | 4 | eleq1d 2246 | . . . 4 โข (๐ฅ = โ โ ((๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ โ (๐ด ยทo โ ) โ ฯ)) |
6 | oveq2 5885 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ด ยทo ๐ฅ) = (๐ด ยทo ๐ฆ)) | |
7 | 6 | eleq1d 2246 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ฆ โ ((๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ โ (๐ด ยทo ๐ฆ) โ ฯ)) |
8 | oveq2 5885 | . . . . 5 โข (๐ฅ = suc ๐ฆ โ (๐ด ยทo ๐ฅ) = (๐ด ยทo suc ๐ฆ)) | |
9 | 8 | eleq1d 2246 | . . . 4 โข (๐ฅ = suc ๐ฆ โ ((๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ โ (๐ด ยทo suc ๐ฆ) โ ฯ)) |
10 | nnm0 6478 | . . . . 5 โข (๐ด โ ฯ โ (๐ด ยทo โ ) = โ ) | |
11 | peano1 4595 | . . . . 5 โข โ โ ฯ | |
12 | 10, 11 | eqeltrdi 2268 | . . . 4 โข (๐ด โ ฯ โ (๐ด ยทo โ ) โ ฯ) |
13 | nnacl 6483 | . . . . . . . 8 โข (((๐ด ยทo ๐ฆ) โ ฯ โง ๐ด โ ฯ) โ ((๐ด ยทo ๐ฆ) +o ๐ด) โ ฯ) | |
14 | 13 | expcom 116 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ ฯ โ ((๐ด ยทo ๐ฆ) โ ฯ โ ((๐ด ยทo ๐ฆ) +o ๐ด) โ ฯ)) |
15 | 14 | adantr 276 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ) โ ((๐ด ยทo ๐ฆ) โ ฯ โ ((๐ด ยทo ๐ฆ) +o ๐ด) โ ฯ)) |
16 | nnmsuc 6480 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ) โ (๐ด ยทo suc ๐ฆ) = ((๐ด ยทo ๐ฆ) +o ๐ด)) | |
17 | 16 | eleq1d 2246 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ) โ ((๐ด ยทo suc ๐ฆ) โ ฯ โ ((๐ด ยทo ๐ฆ) +o ๐ด) โ ฯ)) |
18 | 15, 17 | sylibrd 169 | . . . . 5 โข ((๐ด โ ฯ โง ๐ฆ โ ฯ) โ ((๐ด ยทo ๐ฆ) โ ฯ โ (๐ด ยทo suc ๐ฆ) โ ฯ)) |
19 | 18 | expcom 116 | . . . 4 โข (๐ฆ โ ฯ โ (๐ด โ ฯ โ ((๐ด ยทo ๐ฆ) โ ฯ โ (๐ด ยทo suc ๐ฆ) โ ฯ))) |
20 | 5, 7, 9, 12, 19 | finds2 4602 | . . 3 โข (๐ฅ โ ฯ โ (๐ด โ ฯ โ (๐ด ยทo ๐ฅ) โ ฯ)) |
21 | 3, 20 | vtoclga 2805 | . 2 โข (๐ต โ ฯ โ (๐ด โ ฯ โ (๐ด ยทo ๐ต) โ ฯ)) |
22 | 21 | impcom 125 | 1 โข ((๐ด โ ฯ โง ๐ต โ ฯ) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ ฯ) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1353 โ wcel 2148 โ c0 3424 suc csuc 4367 ฯcom 4591 (class class class)co 5877 +o coa 6416 ยทo comu 6417 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-iord 4368 df-on 4370 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-irdg 6373 df-oadd 6423 df-omul 6424 |
This theorem is referenced by: nnmcli 6486 nndi 6489 nnmass 6490 nnmsucr 6491 nnmordi 6519 nnmord 6520 nnmword 6521 mulclpi 7329 enq0tr 7435 addcmpblnq0 7444 mulcmpblnq0 7445 mulcanenq0ec 7446 addclnq0 7452 mulclnq0 7453 nqpnq0nq 7454 distrnq0 7460 addassnq0lemcl 7462 addassnq0 7463 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |