Theorem 2sqlem6 14928

Description: Lemma for 2sq . If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2sqlem6.1	|- ( ph -> A e. NN )
2sqlem6.2	|- ( ph -> B e. NN )
2sqlem6.3	|- ( ph -> A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) )
2sqlem6.4	|- ( ph -> ( A x. B ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
2sqlem6	|- ( ph -> A e. S )

Distinct variable groups:   w, p   ph, p   B, p   S, p

Allowed substitution hints:   ph( w)   A( w, p)   B( w)   S( w)

Proof of Theorem 2sqlem6

Dummy variables n x y z m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem6.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		2sqlem6.2	. . 3 |- ( ph -> B e. NN )
3		2sqlem6.3	. . 3 |- ( ph -> A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) )
4		breq2 4022	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( p || x <-> p || 1 ) )
5	4	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || 1 -> p e. S ) ) )
6	5	ralbidv 2490	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || 1 -> p e. S ) ) )
7		oveq2 5904	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( m x. x ) = ( m x. 1 ) )
8	7	eleq1d 2258	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. 1 ) e. S ) )
9	8	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) ) )
10	9	ralbidv 2490	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) ) )
11	6, 10	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || 1 -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) ) ) )
12		breq2 4022	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( p || x <-> p || y ) )
13	12	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || y -> p e. S ) ) )
14	13	ralbidv 2490	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) ) )
15		oveq2 5904	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( m x. x ) = ( m x. y ) )
16	15	eleq1d 2258	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. y ) e. S ) )
17	16	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) )
18	17	ralbidv 2490	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) )
19	14, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) ) )
20		breq2 4022	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( p || x <-> p || z ) )
21	20	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || z -> p e. S ) ) )
22	21	ralbidv 2490	. . . . 5 |- ( x = z -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) )
23		oveq2 5904	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( m x. x ) = ( m x. z ) )
24	23	eleq1d 2258	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. z ) e. S ) )
25	24	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) )
26	25	ralbidv 2490	. . . . 5 |- ( x = z -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) )
27	22, 26	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = z -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) )
28		breq2 4022	. . . . . . 7 |- ( x = ( y x. z ) -> ( p || x <-> p || ( y x. z ) ) )
29	28	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = ( y x. z ) -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) )
30	29	ralbidv 2490	. . . . 5 |- ( x = ( y x. z ) -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) )
31		oveq2 5904	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y x. z ) -> ( m x. x ) = ( m x. ( y x. z ) ) )
32	31	eleq1d 2258	. . . . . . 7 |- ( x = ( y x. z ) -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. ( y x. z ) ) e. S ) )
33	32	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = ( y x. z ) -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
34	33	ralbidv 2490	. . . . 5 |- ( x = ( y x. z ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
35	30, 34	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( y x. z ) -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) )
36		breq2 4022	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( p || x <-> p || B ) )
37	36	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || B -> p e. S ) ) )
38	37	ralbidv 2490	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) ) )
39		oveq2 5904	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( m x. x ) = ( m x. B ) )
40	39	eleq1d 2258	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. B ) e. S ) )
41	40	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) ) )
42	41	ralbidv 2490	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) ) )
43	38, 42	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) ) ) )
44		nncn 8957	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> m e. CC )
45	44	mulridd 8004	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( m x. 1 ) = m )
46	45	eleq1d 2258	. . . . . . 7 |- ( m e. NN -> ( ( m x. 1 ) e. S <-> m e. S ) )
47	46	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) )
48	47	rgen 2543	. . . . 5 |- A. m e. NN ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S )
49	48	a1i 9	. . . 4 |- ( A. p e. Prime ( p || 1 -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) )
50		breq1 4021	. . . . . . 7 |- ( p = x -> ( p || x <-> x || x ) )
51		eleq1 2252	. . . . . . 7 |- ( p = x -> ( p e. S <-> x e. S ) )
52	50, 51	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( p = x -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( x || x -> x e. S ) ) )
53	52	rspcv 2852	. . . . 5 |- ( x e. Prime -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> ( x || x -> x e. S ) ) )
54		prmz 12143	. . . . . . 7 |- ( x e. Prime -> x e. ZZ )
55		iddvds 11843	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x || x )
56	54, 55	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. Prime -> x || x )
57		2sq.1	. . . . . . . . . 10 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
58		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> m e. NN )
59		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> x e. Prime )
60		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> ( m x. x ) e. S )
61		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> x e. S )
62	57, 58, 59, 60, 61	2sqlem5 14927	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> m e. S )
63	62	expr 375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) )
64	63	ralrimiva 2563	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Prime /\ x e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) )
65	64	ex 115	. . . . . 6 |- ( x e. Prime -> ( x e. S -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) )
66	56, 65	embantd 56	. . . . 5 |- ( x e. Prime -> ( ( x || x -> x e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) )
67	53, 66	syld 45	. . . 4 |- ( x e. Prime -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) )
68		anim12 344	. . . . 5 |- ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) /\ ( A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) )
69		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
70		eluzelz 9567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. ZZ )
71	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> y e. ZZ )
72		eluzelz 9567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ )
73	72	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> z e. ZZ )
74		euclemma 12178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( p || ( y x. z ) <-> ( p || y \/ p || z ) ) )
75	69, 71, 73, 74	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p || ( y x. z ) <-> ( p || y \/ p || z ) ) )
76	75	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) <-> ( ( p || y \/ p || z ) -> p e. S ) ) )
77		jaob 711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p || y \/ p || z ) -> p e. S ) <-> ( ( p || y -> p e. S ) /\ ( p || z -> p e. S ) ) )
78	76, 77	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) <-> ( ( p || y -> p e. S ) /\ ( p || z -> p e. S ) ) ) )
79	78	ralbidva 2486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( ( p || y -> p e. S ) /\ ( p || z -> p e. S ) ) ) )
80		r19.26 2616	. . . . . . . . . 10 |- ( A. p e. Prime ( ( p || y -> p e. S ) /\ ( p || z -> p e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) )
81	79, 80	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) <-> ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) ) )
82	81	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) )
83		oveq1 5903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( m x. y ) = ( n x. y ) )
84	83	eleq1d 2258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( ( m x. y ) e. S <-> ( n x. y ) e. S ) )
85		eleq1 2252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( m e. S <-> n e. S ) )
86	84, 85	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) )
87	86	cbvralvw 2722	. . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) <-> A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) )
88	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> m e. CC )
89		uzssz 9577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ ZZ
90		zsscn 9291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ZZ C_ CC
91	89, 90	sstri 3179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ CC
92		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
93	92	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
94	91, 93	sselid 3168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> y e. CC )
95		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
96	95	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
97	91, 96	sselid 3168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> z e. CC )
98		mul32 8117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( m x. y ) x. z ) = ( ( m x. z ) x. y ) )
99		mulass 7972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( m x. y ) x. z ) = ( m x. ( y x. z ) ) )
100	98, 99	eqtr3d 2224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( m x. z ) x. y ) = ( m x. ( y x. z ) ) )
101	88, 94, 97, 100	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. z ) x. y ) = ( m x. ( y x. z ) ) )
102	101	eleq1d 2258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( m x. z ) x. y ) e. S <-> ( m x. ( y x. z ) ) e. S ) )
103		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
104		eluz2nn 9596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. NN )
105	96, 104	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> z e. NN )
106	103, 105	nnmulcld 8998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( m x. z ) e. NN )
107		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) )
108		oveq1 5903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( m x. z ) -> ( n x. y ) = ( ( m x. z ) x. y ) )
109	108	eleq1d 2258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( m x. z ) -> ( ( n x. y ) e. S <-> ( ( m x. z ) x. y ) e. S ) )
110		eleq1 2252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( m x. z ) -> ( n e. S <-> ( m x. z ) e. S ) )
111	109, 110	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( m x. z ) -> ( ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) <-> ( ( ( m x. z ) x. y ) e. S -> ( m x. z ) e. S ) ) )
112	111	rspcv 2852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m x. z ) e. NN -> ( A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) -> ( ( ( m x. z ) x. y ) e. S -> ( m x. z ) e. S ) ) )
113	106, 107, 112	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( m x. z ) x. y ) e. S -> ( m x. z ) e. S ) )
114	102, 113	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> ( m x. z ) e. S ) )
115	114	imim1d 75	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) -> ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
116	115	ralimdva 2557	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
117	87, 116	sylan2b 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
118	117	expimpd 363	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> ( ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
119	82, 118	embantd 56	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
120	119	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) -> ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) )
121	120	com23 78	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) )
122	68, 121	syl5 32	. . . 4 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) /\ ( A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) )
123	11, 19, 27, 35, 43, 49, 67, 122	prmind 12153	. . 3 |- ( B e. NN -> ( A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) ) )
124	2, 3, 123	sylc 62	. 2 |- ( ph -> A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) )
125		2sqlem6.4	. 2 |- ( ph -> ( A x. B ) e. S )
126		oveq1 5903	. . . . 5 |- ( m = A -> ( m x. B ) = ( A x. B ) )
127	126	eleq1d 2258	. . . 4 |- ( m = A -> ( ( m x. B ) e. S <-> ( A x. B ) e. S ) )
128		eleq1 2252	. . . 4 |- ( m = A -> ( m e. S <-> A e. S ) )
129	127, 128	imbi12d 234	. . 3 |- ( m = A -> ( ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( A x. B ) e. S -> A e. S ) ) )
130	129	rspcv 2852	. 2 |- ( A e. NN -> ( A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) -> ( ( A x. B ) e. S -> A e. S ) ) )
131	1, 124, 125, 130	syl3c 63	1 |- ( ph -> A e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   class class class wbr 4018   |-> cmpt 4079   ran crn 4645   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   1c1 7842   x. cmul 7846   NNcn 8949   2c2 9000   ZZcz 9283   ZZ>=cuz 9558   ^cexp 10550   abscabs 11038   || cdvds 11826   Primecprime 12139   ZZ[_i]cgz 12401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-1o 6441  df-2o 6442  df-er 6559  df-en 6767  df-sup 7013  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-dvds 11827  df-gcd 11976  df-prm 12140  df-gz 12402

This theorem is referenced by:  2sqlem8  14931