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Theorem 2sqlem6 14123
Description: Lemma for 2sq . If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem6.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2sqlem6.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
2sqlem6.3  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S )
)
2sqlem6.4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
2sqlem6  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
Distinct variable groups:    w, p    ph, p    B, p    S, p
Allowed substitution hints:    ph( w)    A( w, p)    B( w)    S( w)

Proof of Theorem 2sqlem6
Dummy variables  n  x  y  z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem6.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 2sqlem6.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 2sqlem6.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S )
)
4 breq2 4004 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  1
) )
54imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  1  ->  p  e.  S ) ) )
65ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  1  ->  p  e.  S ) ) )
7 oveq2 5877 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  1 ) )
87eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  1 )  e.  S
) )
98imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
109ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
116, 10imbi12d 234 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  1  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
12 breq2 4004 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  y
) )
1312imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  y  ->  p  e.  S ) ) )
1413ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  y  ->  p  e.  S ) ) )
15 oveq2 5877 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  y ) )
1615eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  y )  e.  S
) )
1716imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
1817ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
1914, 18imbi12d 234 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
20 breq2 4004 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  z
) )
2120imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
2221ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
23 oveq2 5877 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  z ) )
2423eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  z )  e.  S
) )
2524imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
2625ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
2722, 26imbi12d 234 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
28 breq2 4004 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  (
y  x.  z ) ) )
2928imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  (
y  x.  z )  ->  p  e.  S
) ) )
3029ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) ) )
31 oveq2 5877 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  ( y  x.  z
) ) )
3231eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S
) )
3332imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
3433ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
3530, 34imbi12d 234 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
36 breq2 4004 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  B
) )
3736imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  B  ->  p  e.  S ) ) )
3837ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  B  ->  p  e.  S ) ) )
39 oveq2 5877 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  B ) )
4039eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  B )  e.  S
) )
4140imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
4241ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
4338, 42imbi12d 234 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
44 nncn 8916 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
4544mulid1d 7965 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  x.  1 )  =  m )
4645eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  x.  1 )  e.  S  <->  m  e.  S ) )
4746biimpd 144 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S )
)
4847rgen 2530 . . . . 5  |-  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S )
4948a1i 9 . . . 4  |-  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  1  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
50 breq1 4003 . . . . . . 7  |-  ( p  =  x  ->  (
p  ||  x  <->  x  ||  x
) )
51 eleq1 2240 . . . . . . 7  |-  ( p  =  x  ->  (
p  e.  S  <->  x  e.  S ) )
5250, 51imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( p  =  x  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( x  ||  x  ->  x  e.  S ) ) )
5352rspcv 2837 . . . . 5  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  x  ->  p  e.  S )  ->  (
x  ||  x  ->  x  e.  S ) ) )
54 prmz 12094 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  ZZ )
55 iddvds 11795 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  ||  x )
5654, 55syl 14 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  ||  x )
57 2sq.1 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
58 simprl 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  m  e.  NN )
59 simpll 527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  x  e.  Prime )
60 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  -> 
( m  x.  x
)  e.  S )
61 simplr 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
6257, 58, 59, 60, 612sqlem5 14122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  m  e.  S )
6362expr 375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
6463ralrimiva 2550 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
6564ex 115 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( x  e.  S  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
6656, 65embantd 56 . . . . 5  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x  ||  x  ->  x  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
6753, 66syld 45 . . . 4  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
68 anim12 344 . . . . 5  |-  ( ( ( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  /\  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  ( ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S ) )  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )
) ) )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
70 eluzelz 9526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  y  e.  ZZ )
7170ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
y  e.  ZZ )
72 eluzelz 9526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
7372ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
z  e.  ZZ )
74 euclemma 12129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
p  ||  ( y  x.  z )  <->  ( p  ||  y  \/  p  ||  z ) ) )
7569, 71, 73, 74syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  (
y  x.  z )  <-> 
( p  ||  y  \/  p  ||  z ) ) )
7675imbi1d 231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  <->  ( (
p  ||  y  \/  p  ||  z )  ->  p  e.  S )
) )
77 jaob 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  ||  y  \/  p  ||  z )  ->  p  e.  S
)  <->  ( ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  (
p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
7876, 77bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  <->  ( (
p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  ( p  ||  z  ->  p  e.  S )
) ) )
7978ralbidva 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  ( ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  (
p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) ) )
80 r19.26 2603 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  Prime  ( ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  ( p  ||  z  ->  p  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S
) ) )
8179, 80bitrdi 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S ) ) ) )
8281biimpa 296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
83 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (
m  x.  y )  =  ( n  x.  y ) )
8483eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  x.  y
)  e.  S  <->  ( n  x.  y )  e.  S
) )
85 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  e.  S  <->  n  e.  S ) )
8684, 85imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S ) ) )
8786cbvralvw 2707 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  y
)  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)
8844adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
89 uzssz 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ZZ
90 zsscn 9250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ZZ  C_  CC
9189, 90sstri 3164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  CC
92 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9392ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9491, 93sselid 3153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
95 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9695ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9791, 96sselid 3153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  CC )
98 mul32 8077 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( m  x.  y
)  x.  z )  =  ( ( m  x.  z )  x.  y ) )
99 mulass 7933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( m  x.  y
)  x.  z )  =  ( m  x.  ( y  x.  z
) ) )
10098, 99eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( m  x.  z
)  x.  y )  =  ( m  x.  ( y  x.  z
) ) )
10188, 94, 97, 100syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  x.  z )  x.  y )  =  ( m  x.  (
y  x.  z ) ) )
102101eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  x.  z
)  x.  y )  e.  S  <->  ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S
) )
103 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
104 eluz2nn 9555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  NN )
10596, 104syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  NN )
106103, 105nnmulcld 8957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  x.  z )  e.  NN )
107 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S ) )
108 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
n  x.  y )  =  ( ( m  x.  z )  x.  y ) )
109108eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
( n  x.  y
)  e.  S  <->  ( (
m  x.  z )  x.  y )  e.  S ) )
110 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
n  e.  S  <->  ( m  x.  z )  e.  S
) )
111109, 110imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S )  <-> 
( ( ( m  x.  z )  x.  y )  e.  S  ->  ( m  x.  z
)  e.  S ) ) )
112111rspcv 2837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  x.  z )  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S )  ->  ( ( ( m  x.  z )  x.  y )  e.  S  ->  ( m  x.  z )  e.  S
) ) )
113106, 107, 112sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  x.  z
)  x.  y )  e.  S  ->  (
m  x.  z )  e.  S ) )
114102, 113sylbird 170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  (
m  x.  z )  e.  S ) )
115114imim1d 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
116115ralimdva 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  (
y  x.  z )  ->  p  e.  S
) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
11787, 116sylan2b 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  (
y  x.  z )  ->  p  e.  S
) )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  y
)  e.  S  ->  m  e.  S )
)  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
118117expimpd 363 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
( ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
11982, 118embantd 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
( ( ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S ) )  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )
) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
120119ex 115 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  ->  (
( ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S
) )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
121120com23 78 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S ) )  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  y
)  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
12268, 121syl5 32 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  /\  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
12311, 19, 27, 35, 43, 49, 67, 122prmind 12104 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
1242, 3, 123sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
125 2sqlem6.4 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  S )
126 oveq1 5876 . . . . 5  |-  ( m  =  A  ->  (
m  x.  B )  =  ( A  x.  B ) )
127126eleq1d 2246 . . . 4  |-  ( m  =  A  ->  (
( m  x.  B
)  e.  S  <->  ( A  x.  B )  e.  S
) )
128 eleq1 2240 . . . 4  |-  ( m  =  A  ->  (
m  e.  S  <->  A  e.  S ) )
129127, 128imbi12d 234 . . 3  |-  ( m  =  A  ->  (
( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( A  x.  B )  e.  S  ->  A  e.  S ) ) )
130129rspcv 2837 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  ( ( A  x.  B )  e.  S  ->  A  e.  S ) ) )
1311, 124, 125, 130syl3c 63 1  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061   ran crn 4624   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   1c1 7803    x. cmul 7807   NNcn 8908   2c2 8959   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ^cexp 10505   abscabs 10990    || cdvds 11778   Primecprime 12090   ZZ[_i]cgz 12350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-gz 12351
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