Theorem 2sqlem6 15207

Description: Lemma for 2sq . If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2sqlem6.1	|- ( ph -> A e. NN )
2sqlem6.2	|- ( ph -> B e. NN )
2sqlem6.3	|- ( ph -> A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) )
2sqlem6.4	|- ( ph -> ( A x. B ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
2sqlem6	|- ( ph -> A e. S )

Distinct variable groups:   w, p   ph, p   B, p   S, p

Allowed substitution hints:   ph( w)   A( w, p)   B( w)   S( w)

Proof of Theorem 2sqlem6

Dummy variables n x y z m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem6.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		2sqlem6.2	. . 3 |- ( ph -> B e. NN )
3		2sqlem6.3	. . 3 |- ( ph -> A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) )
4		breq2 4033	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( p || x <-> p || 1 ) )
5	4	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || 1 -> p e. S ) ) )
6	5	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || 1 -> p e. S ) ) )
7		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( m x. x ) = ( m x. 1 ) )
8	7	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. 1 ) e. S ) )
9	8	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) ) )
10	9	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) ) )
11	6, 10	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || 1 -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) ) ) )
12		breq2 4033	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( p || x <-> p || y ) )
13	12	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || y -> p e. S ) ) )
14	13	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) ) )
15		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( m x. x ) = ( m x. y ) )
16	15	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. y ) e. S ) )
17	16	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) )
18	17	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) )
19	14, 18	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) ) )
20		breq2 4033	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( p || x <-> p || z ) )
21	20	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || z -> p e. S ) ) )
22	21	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( x = z -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) )
23		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( m x. x ) = ( m x. z ) )
24	23	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. z ) e. S ) )
25	24	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) )
26	25	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( x = z -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) )
27	22, 26	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = z -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) )
28		breq2 4033	. . . . . . 7 |- ( x = ( y x. z ) -> ( p || x <-> p || ( y x. z ) ) )
29	28	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = ( y x. z ) -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) )
30	29	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( x = ( y x. z ) -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) )
31		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y x. z ) -> ( m x. x ) = ( m x. ( y x. z ) ) )
32	31	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( x = ( y x. z ) -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. ( y x. z ) ) e. S ) )
33	32	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = ( y x. z ) -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
34	33	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( x = ( y x. z ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
35	30, 34	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = ( y x. z ) -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) )
36		breq2 4033	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( p || x <-> p || B ) )
37	36	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( p || B -> p e. S ) ) )
38	37	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) ) )
39		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( m x. x ) = ( m x. B ) )
40	39	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( ( m x. x ) e. S <-> ( m x. B ) e. S ) )
41	40	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) ) )
42	41	ralbidv 2494	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) <-> A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) ) )
43	38, 42	imbi12d 234	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) ) ) )
44		nncn 8990	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> m e. CC )
45	44	mulridd 8036	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( m x. 1 ) = m )
46	45	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( m e. NN -> ( ( m x. 1 ) e. S <-> m e. S ) )
47	46	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( m e. NN -> ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) )
48	47	rgen 2547	. . . . 5 |- A. m e. NN ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S )
49	48	a1i 9	. . . 4 |- ( A. p e. Prime ( p || 1 -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. 1 ) e. S -> m e. S ) )
50		breq1 4032	. . . . . . 7 |- ( p = x -> ( p || x <-> x || x ) )
51		eleq1 2256	. . . . . . 7 |- ( p = x -> ( p e. S <-> x e. S ) )
52	50, 51	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( p = x -> ( ( p || x -> p e. S ) <-> ( x || x -> x e. S ) ) )
53	52	rspcv 2860	. . . . 5 |- ( x e. Prime -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> ( x || x -> x e. S ) ) )
54		prmz 12249	. . . . . . 7 |- ( x e. Prime -> x e. ZZ )
55		iddvds 11947	. . . . . . 7 |- ( x e. ZZ -> x || x )
56	54, 55	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. Prime -> x || x )
57		2sq.1	. . . . . . . . . 10 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
58		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> m e. NN )
59		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> x e. Prime )
60		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> ( m x. x ) e. S )
61		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> x e. S )
62	57, 58, 59, 60, 61	2sqlem5 15206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ ( m e. NN /\ ( m x. x ) e. S ) ) -> m e. S )
63	62	expr 375	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. Prime /\ x e. S ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) )
64	63	ralrimiva 2567	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Prime /\ x e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) )
65	64	ex 115	. . . . . 6 |- ( x e. Prime -> ( x e. S -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) )
66	56, 65	embantd 56	. . . . 5 |- ( x e. Prime -> ( ( x || x -> x e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) )
67	53, 66	syld 45	. . . 4 |- ( x e. Prime -> ( A. p e. Prime ( p || x -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. x ) e. S -> m e. S ) ) )
68		anim12 344	. . . . 5 |- ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) /\ ( A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) )
69		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
70		eluzelz 9601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) -> y e. ZZ )
71	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> y e. ZZ )
72		eluzelz 9601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. ZZ )
73	72	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> z e. ZZ )
74		euclemma 12284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. Prime /\ y e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( p || ( y x. z ) <-> ( p || y \/ p || z ) ) )
75	69, 71, 73, 74	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> ( p || ( y x. z ) <-> ( p || y \/ p || z ) ) )
76	75	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) <-> ( ( p || y \/ p || z ) -> p e. S ) ) )
77		jaob 711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p || y \/ p || z ) -> p e. S ) <-> ( ( p || y -> p e. S ) /\ ( p || z -> p e. S ) ) )
78	76, 77	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) <-> ( ( p || y -> p e. S ) /\ ( p || z -> p e. S ) ) ) )
79	78	ralbidva 2490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) <-> A. p e. Prime ( ( p || y -> p e. S ) /\ ( p || z -> p e. S ) ) ) )
80		r19.26 2620	. . . . . . . . . 10 |- ( A. p e. Prime ( ( p || y -> p e. S ) /\ ( p || z -> p e. S ) ) <-> ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) )
81	79, 80	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) <-> ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) ) )
82	81	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) )
83		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( m x. y ) = ( n x. y ) )
84	83	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( ( m x. y ) e. S <-> ( n x. y ) e. S ) )
85		eleq1 2256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( m e. S <-> n e. S ) )
86	84, 85	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) )
87	86	cbvralvw 2730	. . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) <-> A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) )
88	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> m e. CC )
89		uzssz 9612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ ZZ
90		zsscn 9325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ZZ C_ CC
91	89, 90	sstri 3188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ CC
92		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
93	92	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> y e. ( ZZ>= ` 2 ) )
94	91, 93	sselid 3177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> y e. CC )
95		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
96	95	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
97	91, 96	sselid 3177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> z e. CC )
98		mul32 8149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( m x. y ) x. z ) = ( ( m x. z ) x. y ) )
99		mulass 8003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( m x. y ) x. z ) = ( m x. ( y x. z ) ) )
100	98, 99	eqtr3d 2228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( m x. z ) x. y ) = ( m x. ( y x. z ) ) )
101	88, 94, 97, 100	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. z ) x. y ) = ( m x. ( y x. z ) ) )
102	101	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( m x. z ) x. y ) e. S <-> ( m x. ( y x. z ) ) e. S ) )
103		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
104		eluz2nn 9631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> z e. NN )
105	96, 104	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> z e. NN )
106	103, 105	nnmulcld 9031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( m x. z ) e. NN )
107		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) )
108		oveq1 5925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( m x. z ) -> ( n x. y ) = ( ( m x. z ) x. y ) )
109	108	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( m x. z ) -> ( ( n x. y ) e. S <-> ( ( m x. z ) x. y ) e. S ) )
110		eleq1 2256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( m x. z ) -> ( n e. S <-> ( m x. z ) e. S ) )
111	109, 110	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( m x. z ) -> ( ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) <-> ( ( ( m x. z ) x. y ) e. S -> ( m x. z ) e. S ) ) )
112	111	rspcv 2860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m x. z ) e. NN -> ( A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) -> ( ( ( m x. z ) x. y ) e. S -> ( m x. z ) e. S ) ) )
113	106, 107, 112	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( m x. z ) x. y ) e. S -> ( m x. z ) e. S ) )
114	102, 113	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> ( m x. z ) e. S ) )
115	114	imim1d 75	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) -> ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
116	115	ralimdva 2561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. n e. NN ( ( n x. y ) e. S -> n e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
117	87, 116	sylan2b 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) /\ A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
118	117	expimpd 363	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> ( ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
119	82, 118	embantd 56	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) ) -> ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) )
120	119	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) -> ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) )
121	120	com23 78	. . . . 5 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) /\ A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) ) -> ( A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) /\ A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) )
122	68, 121	syl5 32	. . . 4 |- ( ( y e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( A. p e. Prime ( p || y -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. y ) e. S -> m e. S ) ) /\ ( A. p e. Prime ( p || z -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. z ) e. S -> m e. S ) ) ) -> ( A. p e. Prime ( p || ( y x. z ) -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. ( y x. z ) ) e. S -> m e. S ) ) ) )
123	11, 19, 27, 35, 43, 49, 67, 122	prmind 12259	. . 3 |- ( B e. NN -> ( A. p e. Prime ( p || B -> p e. S ) -> A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) ) )
124	2, 3, 123	sylc 62	. 2 |- ( ph -> A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) )
125		2sqlem6.4	. 2 |- ( ph -> ( A x. B ) e. S )
126		oveq1 5925	. . . . 5 |- ( m = A -> ( m x. B ) = ( A x. B ) )
127	126	eleq1d 2262	. . . 4 |- ( m = A -> ( ( m x. B ) e. S <-> ( A x. B ) e. S ) )
128		eleq1 2256	. . . 4 |- ( m = A -> ( m e. S <-> A e. S ) )
129	127, 128	imbi12d 234	. . 3 |- ( m = A -> ( ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) <-> ( ( A x. B ) e. S -> A e. S ) ) )
130	129	rspcv 2860	. 2 |- ( A e. NN -> ( A. m e. NN ( ( m x. B ) e. S -> m e. S ) -> ( ( A x. B ) e. S -> A e. S ) ) )
131	1, 124, 125, 130	syl3c 63	1 |- ( ph -> A e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   ran crn 4660   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   1c1 7873   x. cmul 7877   NNcn 8982   2c2 9033   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ^cexp 10609   abscabs 11141   || cdvds 11930   Primecprime 12245   ZZ[_i]cgz 12507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246  df-gz 12508

This theorem is referenced by:  2sqlem8  15210