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Theorem 2sqlem6 14027
Description: Lemma for 2sq . If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem6.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2sqlem6.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
2sqlem6.3  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S )
)
2sqlem6.4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
2sqlem6  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
Distinct variable groups:    w, p    ph, p    B, p    S, p
Allowed substitution hints:    ph( w)    A( w, p)    B( w)    S( w)

Proof of Theorem 2sqlem6
Dummy variables  n  x  y  z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem6.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 2sqlem6.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 2sqlem6.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S )
)
4 breq2 4002 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  1
) )
54imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  1  ->  p  e.  S ) ) )
65ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  1  ->  p  e.  S ) ) )
7 oveq2 5873 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  1 ) )
87eleq1d 2244 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  1 )  e.  S
) )
98imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
109ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
116, 10imbi12d 234 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  1  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
12 breq2 4002 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  y
) )
1312imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  y  ->  p  e.  S ) ) )
1413ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  y  ->  p  e.  S ) ) )
15 oveq2 5873 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  y ) )
1615eleq1d 2244 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  y )  e.  S
) )
1716imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
1817ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
1914, 18imbi12d 234 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
20 breq2 4002 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  z
) )
2120imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
2221ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
23 oveq2 5873 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  z ) )
2423eleq1d 2244 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  z )  e.  S
) )
2524imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
2625ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
2722, 26imbi12d 234 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
28 breq2 4002 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  (
y  x.  z ) ) )
2928imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  (
y  x.  z )  ->  p  e.  S
) ) )
3029ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) ) )
31 oveq2 5873 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  ( y  x.  z
) ) )
3231eleq1d 2244 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S
) )
3332imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
3433ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
3530, 34imbi12d 234 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
36 breq2 4002 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  B
) )
3736imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  B  ->  p  e.  S ) ) )
3837ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  B  ->  p  e.  S ) ) )
39 oveq2 5873 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  B ) )
4039eleq1d 2244 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  B )  e.  S
) )
4140imbi1d 231 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
4241ralbidv 2475 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
4338, 42imbi12d 234 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
44 nncn 8900 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
4544mulid1d 7949 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  x.  1 )  =  m )
4645eleq1d 2244 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  x.  1 )  e.  S  <->  m  e.  S ) )
4746biimpd 144 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S )
)
4847rgen 2528 . . . . 5  |-  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S )
4948a1i 9 . . . 4  |-  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  1  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
50 breq1 4001 . . . . . . 7  |-  ( p  =  x  ->  (
p  ||  x  <->  x  ||  x
) )
51 eleq1 2238 . . . . . . 7  |-  ( p  =  x  ->  (
p  e.  S  <->  x  e.  S ) )
5250, 51imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( p  =  x  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( x  ||  x  ->  x  e.  S ) ) )
5352rspcv 2835 . . . . 5  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  x  ->  p  e.  S )  ->  (
x  ||  x  ->  x  e.  S ) ) )
54 prmz 12078 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  ZZ )
55 iddvds 11779 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  ||  x )
5654, 55syl 14 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  ||  x )
57 2sq.1 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ[_i]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
58 simprl 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  m  e.  NN )
59 simpll 527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  x  e.  Prime )
60 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  -> 
( m  x.  x
)  e.  S )
61 simplr 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
6257, 58, 59, 60, 612sqlem5 14026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  m  e.  S )
6362expr 375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
6463ralrimiva 2548 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
6564ex 115 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( x  e.  S  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
6656, 65embantd 56 . . . . 5  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x  ||  x  ->  x  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
6753, 66syld 45 . . . 4  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
68 anim12 344 . . . . 5  |-  ( ( ( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  /\  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  ( ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S ) )  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )
) ) )
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
70 eluzelz 9510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  y  e.  ZZ )
7170ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
y  e.  ZZ )
72 eluzelz 9510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
7372ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
z  e.  ZZ )
74 euclemma 12113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
p  ||  ( y  x.  z )  <->  ( p  ||  y  \/  p  ||  z ) ) )
7569, 71, 73, 74syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  (
y  x.  z )  <-> 
( p  ||  y  \/  p  ||  z ) ) )
7675imbi1d 231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  <->  ( (
p  ||  y  \/  p  ||  z )  ->  p  e.  S )
) )
77 jaob 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  ||  y  \/  p  ||  z )  ->  p  e.  S
)  <->  ( ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  (
p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
7876, 77bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  <->  ( (
p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  ( p  ||  z  ->  p  e.  S )
) ) )
7978ralbidva 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  ( ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  (
p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) ) )
80 r19.26 2601 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  Prime  ( ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  ( p  ||  z  ->  p  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S
) ) )
8179, 80bitrdi 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S ) ) ) )
8281biimpa 296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
83 oveq1 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (
m  x.  y )  =  ( n  x.  y ) )
8483eleq1d 2244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  x.  y
)  e.  S  <->  ( n  x.  y )  e.  S
) )
85 eleq1 2238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  e.  S  <->  n  e.  S ) )
8684, 85imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S ) ) )
8786cbvralvw 2705 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  y
)  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)
8844adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
89 uzssz 9520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ZZ
90 zsscn 9234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ZZ  C_  CC
9189, 90sstri 3162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  CC
92 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9392ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9491, 93sselid 3151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
95 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9695ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9791, 96sselid 3151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  CC )
98 mul32 8061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( m  x.  y
)  x.  z )  =  ( ( m  x.  z )  x.  y ) )
99 mulass 7917 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( m  x.  y
)  x.  z )  =  ( m  x.  ( y  x.  z
) ) )
10098, 99eqtr3d 2210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( m  x.  z
)  x.  y )  =  ( m  x.  ( y  x.  z
) ) )
10188, 94, 97, 100syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  x.  z )  x.  y )  =  ( m  x.  (
y  x.  z ) ) )
102101eleq1d 2244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  x.  z
)  x.  y )  e.  S  <->  ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S
) )
103 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
104 eluz2nn 9539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  NN )
10596, 104syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  NN )
106103, 105nnmulcld 8941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  x.  z )  e.  NN )
107 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S ) )
108 oveq1 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
n  x.  y )  =  ( ( m  x.  z )  x.  y ) )
109108eleq1d 2244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
( n  x.  y
)  e.  S  <->  ( (
m  x.  z )  x.  y )  e.  S ) )
110 eleq1 2238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
n  e.  S  <->  ( m  x.  z )  e.  S
) )
111109, 110imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S )  <-> 
( ( ( m  x.  z )  x.  y )  e.  S  ->  ( m  x.  z
)  e.  S ) ) )
112111rspcv 2835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  x.  z )  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S )  ->  ( ( ( m  x.  z )  x.  y )  e.  S  ->  ( m  x.  z )  e.  S
) ) )
113106, 107, 112sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  x.  z
)  x.  y )  e.  S  ->  (
m  x.  z )  e.  S ) )
114102, 113sylbird 170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  (
m  x.  z )  e.  S ) )
115114imim1d 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
116115ralimdva 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  (
y  x.  z )  ->  p  e.  S
) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
11787, 116sylan2b 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  (
y  x.  z )  ->  p  e.  S
) )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  y
)  e.  S  ->  m  e.  S )
)  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
118117expimpd 363 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
( ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
11982, 118embantd 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
( ( ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S ) )  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )
) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
120119ex 115 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  ->  (
( ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S
) )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
121120com23 78 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S ) )  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  y
)  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
12268, 121syl5 32 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  /\  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
12311, 19, 27, 35, 43, 49, 67, 122prmind 12088 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
1242, 3, 123sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
125 2sqlem6.4 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  S )
126 oveq1 5872 . . . . 5  |-  ( m  =  A  ->  (
m  x.  B )  =  ( A  x.  B ) )
127126eleq1d 2244 . . . 4  |-  ( m  =  A  ->  (
( m  x.  B
)  e.  S  <->  ( A  x.  B )  e.  S
) )
128 eleq1 2238 . . . 4  |-  ( m  =  A  ->  (
m  e.  S  <->  A  e.  S ) )
129127, 128imbi12d 234 . . 3  |-  ( m  =  A  ->  (
( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( A  x.  B )  e.  S  ->  A  e.  S ) ) )
130129rspcv 2835 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  ( ( A  x.  B )  e.  S  ->  A  e.  S ) ) )
1311, 124, 125, 130syl3c 63 1  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453   class class class wbr 3998    |-> cmpt 4059   ran crn 4621   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   1c1 7787    x. cmul 7791   NNcn 8892   2c2 8943   ZZcz 9226   ZZ>=cuz 9501   ^cexp 10489   abscabs 10974    || cdvds 11762   Primecprime 12074   ZZ[_i]cgz 12334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-prm 12075  df-gz 12335
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