Theorem nq02m 7585

Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq02m	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Proof of Theorem nq02m

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7562	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2		2onn 6614	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
3		1pi 7435	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ N
4		mulnnnq0 7570	. . . . . . 7 ⊢ (((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
5	2, 3, 4	mpanl12 436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
6		nn2m 6620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
8		pinn 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
9		1onn 6613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ ω
10		nnmcom 6582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
11	9, 10	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
12		nnm1 6618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·o 1o) = 𝑤)
13	11, 12	eqtrd 2239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
14	8, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ N → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
16	7, 15	opeq12d 3829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩)
17	16	eceq1d 6663	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 )
18		nnanq0 7578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
19	18	3anidm12 1308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
20	5, 17, 19	3eqtrd 2243	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
21	20	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
22		oveq2 5959	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
23		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )
24	23, 23	oveq12d 5969	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 𝐴) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
25	22, 24	eqeq12d 2221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
26	25	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
27	21, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
28	27	exlimivv 1921	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
29	1, 28	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  ⟨cop 3637  ωcom 4642  (class class class)co 5951  1_oc1o 6502  2_oc2o 6503   +_o coa 6506   ·_o comu 6507  [cec 6625  Ncnpi 7392   ~_Q0 ceq0 7406  Q₀cnq0 7407   +_Q0 cplq0 7409   ·_Q0 cmq0 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-1o 6509  df-2o 6510  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-ni 7424  df-mi 7426  df-enq0 7544  df-nq0 7545  df-plq0 7547  df-mq0 7548

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7622