Theorem nq02m 7525

Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq02m	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Proof of Theorem nq02m

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7502	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2		2onn 6574	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
3		1pi 7375	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ N
4		mulnnnq0 7510	. . . . . . 7 ⊢ (((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
5	2, 3, 4	mpanl12 436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
6		nn2m 6580	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
8		pinn 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
9		1onn 6573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ ω
10		nnmcom 6542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
11	9, 10	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
12		nnm1 6578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·o 1o) = 𝑤)
13	11, 12	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
14	8, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ N → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
16	7, 15	opeq12d 3812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩)
17	16	eceq1d 6623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 )
18		nnanq0 7518	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
19	18	3anidm12 1306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
20	5, 17, 19	3eqtrd 2230	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
21	20	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
22		oveq2 5926	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
23		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )
24	23, 23	oveq12d 5936	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 𝐴) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
25	22, 24	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
26	25	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
27	21, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
28	27	exlimivv 1908	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
29	1, 28	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3621  ωcom 4622  (class class class)co 5918  1_oc1o 6462  2_oc2o 6463   +_o coa 6466   ·_o comu 6467  [cec 6585  Ncnpi 7332   ~_Q0 ceq0 7346  Q₀cnq0 7347   +_Q0 cplq0 7349   ·_Q0 cmq0 7350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-mi 7366  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-plq0 7487  df-mq0 7488

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7562