ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq02m GIF version

Theorem nq02m 7121
Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq02m (𝐴Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Proof of Theorem nq02m
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 7098 . 2 (𝐴Q0 → ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2 2onn 6320 . . . . . . 7 2o ∈ ω
3 1pi 6971 . . . . . . 7 1oN
4 mulnnnq0 7106 . . . . . . 7 (((2o ∈ ω ∧ 1oN) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
52, 3, 4mpanl12 428 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
6 nn2m 6325 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
76adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
8 pinn 6965 . . . . . . . . . 10 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
9 1onn 6319 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ ω
10 nnmcom 6290 . . . . . . . . . . . 12 ((1o ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
119, 10mpan 416 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
12 nnm1 6323 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·o 1o) = 𝑤)
1311, 12eqtrd 2127 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
148, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑤N → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
1514adantl 272 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
167, 15opeq12d 3652 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩)
1716eceq1d 6368 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 )
18 nnanq0 7114 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
19183anidm12 1238 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
205, 17, 193eqtrd 2131 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2120adantr 271 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
22 oveq2 5698 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
23 id 19 . . . . . . 7 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )
2423, 23oveq12d 5708 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 𝐴) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2522, 24eqeq12d 2109 . . . . 5 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
2625adantl 272 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
2721, 26mpbird 166 . . 3 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
2827exlimivv 1831 . 2 (∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
291, 28syl 14 1 (𝐴Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1296  wex 1433  wcel 1445  cop 3469  ωcom 4433  (class class class)co 5690  1oc1o 6212  2oc2o 6213   +o coa 6216   ·o comu 6217  [cec 6330  Ncnpi 6928   ~Q0 ceq0 6942  Q0cnq0 6943   +Q0 cplq0 6945   ·Q0 cmq0 6946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-2o 6220  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-mi 6962  df-enq0 7080  df-nq0 7081  df-plq0 7083  df-mq0 7084
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7158
  Copyright terms: Public domain W3C validator