Theorem nq02m 7780

Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq02m	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Proof of Theorem nq02m

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7757	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2		2onn 6754	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
3		1pi 7630	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ N
4		mulnnnq0 7765	. . . . . . 7 ⊢ (((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
5	2, 3, 4	mpanl12 436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
6		nn2m 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
8		pinn 7624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
9		1onn 6753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ ω
10		nnmcom 6722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
11	9, 10	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
12		nnm1 6758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·o 1o) = 𝑤)
13	11, 12	eqtrd 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
14	8, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ N → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
16	7, 15	opeq12d 3891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩)
17	16	eceq1d 6803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 )
18		nnanq0 7773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
19	18	3anidm12 1332	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
20	5, 17, 19	3eqtrd 2269	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
21	20	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
22		oveq2 6058	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
23		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )
24	23, 23	oveq12d 6068	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 𝐴) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
25	22, 24	eqeq12d 2247	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
26	25	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
27	21, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
28	27	exlimivv 1946	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
29	1, 28	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3692  ωcom 4712  (class class class)co 6050  1_oc1o 6640  2_oc2o 6641   +_o coa 6644   ·_o comu 6645  [cec 6765  Ncnpi 7587   ~_Q0 ceq0 7601  Q₀cnq0 7602   +_Q0 cplq0 7604   ·_Q0 cmq0 7605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-mi 7621  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-plq0 7742  df-mq0 7743

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7817