ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq02m GIF version

Theorem nq02m 7482
Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq02m (𝐴Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Proof of Theorem nq02m
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 7459 . 2 (𝐴Q0 → ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2 2onn 6540 . . . . . . 7 2o ∈ ω
3 1pi 7332 . . . . . . 7 1oN
4 mulnnnq0 7467 . . . . . . 7 (((2o ∈ ω ∧ 1oN) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
52, 3, 4mpanl12 436 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
6 nn2m 6546 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
76adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
8 pinn 7326 . . . . . . . . . 10 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
9 1onn 6539 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ ω
10 nnmcom 6508 . . . . . . . . . . . 12 ((1o ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
119, 10mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
12 nnm1 6544 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·o 1o) = 𝑤)
1311, 12eqtrd 2222 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
148, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑤N → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
1514adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
167, 15opeq12d 3801 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩)
1716eceq1d 6589 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 )
18 nnanq0 7475 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
19183anidm12 1306 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
205, 17, 193eqtrd 2226 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2120adantr 276 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
22 oveq2 5899 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
23 id 19 . . . . . . 7 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )
2423, 23oveq12d 5909 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 𝐴) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2522, 24eqeq12d 2204 . . . . 5 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
2625adantl 277 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
2721, 26mpbird 167 . . 3 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
2827exlimivv 1908 . 2 (∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
291, 28syl 14 1 (𝐴Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wex 1503  wcel 2160  cop 3610  ωcom 4604  (class class class)co 5891  1oc1o 6428  2oc2o 6429   +o coa 6432   ·o comu 6433  [cec 6551  Ncnpi 7289   ~Q0 ceq0 7303  Q0cnq0 7304   +Q0 cplq0 7306   ·Q0 cmq0 7307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-1o 6435  df-2o 6436  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7321  df-mi 7323  df-enq0 7441  df-nq0 7442  df-plq0 7444  df-mq0 7445
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7519
  Copyright terms: Public domain W3C validator