Theorem nq02m 7640

Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq02m	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Proof of Theorem nq02m

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7617	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2		2onn 6657	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
3		1pi 7490	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ N
4		mulnnnq0 7625	. . . . . . 7 ⊢ (((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
5	2, 3, 4	mpanl12 436	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
6		nn2m 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
8		pinn 7484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
9		1onn 6656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ ω
10		nnmcom 6625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
11	9, 10	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
12		nnm1 6661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·o 1o) = 𝑤)
13	11, 12	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
14	8, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ N → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
15	14	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
16	7, 15	opeq12d 3864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩)
17	16	eceq1d 6706	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 )
18		nnanq0 7633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
19	18	3anidm12 1329	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
20	5, 17, 19	3eqtrd 2266	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
21	20	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
22		oveq2 6002	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
23		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )
24	23, 23	oveq12d 6012	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 𝐴) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
25	22, 24	eqeq12d 2244	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
26	25	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
27	21, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
28	27	exlimivv 1943	. 2 ⊢ (∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
29	1, 28	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669  ωcom 4679  (class class class)co 5994  1_oc1o 6545  2_oc2o 6546   +_o coa 6549   ·_o comu 6550  [cec 6668  Ncnpi 7447   ~_Q0 ceq0 7461  Q₀cnq0 7462   +_Q0 cplq0 7464   ·_Q0 cmq0 7465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-1o 6552  df-2o 6553  df-oadd 6556  df-omul 6557  df-er 6670  df-ec 6672  df-qs 6676  df-ni 7479  df-mi 7481  df-enq0 7599  df-nq0 7600  df-plq0 7602  df-mq0 7603

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7677