ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq02m GIF version

Theorem nq02m 7280
Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq02m (𝐴Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))

Proof of Theorem nq02m
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 7257 . 2 (𝐴Q0 → ∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2 2onn 6417 . . . . . . 7 2o ∈ ω
3 1pi 7130 . . . . . . 7 1oN
4 mulnnnq0 7265 . . . . . . 7 (((2o ∈ ω ∧ 1oN) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
52, 3, 4mpanl12 432 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
6 nn2m 6422 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
76adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → (2o ·o 𝑧) = (𝑧 +o 𝑧))
8 pinn 7124 . . . . . . . . . 10 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
9 1onn 6416 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ ω
10 nnmcom 6385 . . . . . . . . . . . 12 ((1o ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
119, 10mpan 420 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 1o))
12 nnm1 6420 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (𝑤 ·o 1o) = 𝑤)
1311, 12eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
148, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑤N → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
1514adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → (1o ·o 𝑤) = 𝑤)
167, 15opeq12d 3713 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩)
1716eceq1d 6465 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(2o ·o 𝑧), (1o ·o 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 )
18 nnanq0 7273 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
19183anidm12 1273 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → [⟨(𝑧 +o 𝑧), 𝑤⟩] ~Q0 = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
205, 17, 193eqtrd 2176 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2120adantr 274 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
22 oveq2 5782 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
23 id 19 . . . . . . 7 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )
2423, 23oveq12d 5792 . . . . . 6 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (𝐴 +Q0 𝐴) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
2522, 24eqeq12d 2154 . . . . 5 (𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
2625adantl 275 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → (([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴) ↔ ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 )))
2721, 26mpbird 166 . . 3 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
2827exlimivv 1868 . 2 (∃𝑧𝑤((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
291, 28syl 14 1 (𝐴Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐴 +Q0 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wex 1468  wcel 1480  cop 3530  ωcom 4504  (class class class)co 5774  1oc1o 6306  2oc2o 6307   +o coa 6310   ·o comu 6311  [cec 6427  Ncnpi 7087   ~Q0 ceq0 7101  Q0cnq0 7102   +Q0 cplq0 7104   ·Q0 cmq0 7105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-mi 7121  df-enq0 7239  df-nq0 7240  df-plq0 7242  df-mq0 7243
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7317
  Copyright terms: Public domain W3C validator