ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq02m GIF version

Theorem nq02m 7463
Description: Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq02m (๐ด โˆˆ Q0 โ†’ ([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐ด) = (๐ด +Q0 ๐ด))

Proof of Theorem nq02m
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 7440 . 2 (๐ด โˆˆ Q0 โ†’ โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ค((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ))
2 2onn 6521 . . . . . . 7 2o โˆˆ ฯ‰
3 1pi 7313 . . . . . . 7 1o โˆˆ N
4 mulnnnq0 7448 . . . . . . 7 (((2o โˆˆ ฯ‰ โˆง 1o โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ(2o ยทo ๐‘ง), (1o ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 )
52, 3, 4mpanl12 436 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ ([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ(2o ยทo ๐‘ง), (1o ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 )
6 nn2m 6527 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โ†’ (2o ยทo ๐‘ง) = (๐‘ง +o ๐‘ง))
76adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (2o ยทo ๐‘ง) = (๐‘ง +o ๐‘ง))
8 pinn 7307 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค โˆˆ N โ†’ ๐‘ค โˆˆ ฯ‰)
9 1onn 6520 . . . . . . . . . . . 12 1o โˆˆ ฯ‰
10 nnmcom 6489 . . . . . . . . . . . 12 ((1o โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ ฯ‰) โ†’ (1o ยทo ๐‘ค) = (๐‘ค ยทo 1o))
119, 10mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โ†’ (1o ยทo ๐‘ค) = (๐‘ค ยทo 1o))
12 nnm1 6525 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ค ยทo 1o) = ๐‘ค)
1311, 12eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โ†’ (1o ยทo ๐‘ค) = ๐‘ค)
148, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ N โ†’ (1o ยทo ๐‘ค) = ๐‘ค)
1514adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (1o ยทo ๐‘ค) = ๐‘ค)
167, 15opeq12d 3786 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ โŸจ(2o ยทo ๐‘ง), (1o ยทo ๐‘ค)โŸฉ = โŸจ(๐‘ง +o ๐‘ง), ๐‘คโŸฉ)
1716eceq1d 6570 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ [โŸจ(2o ยทo ๐‘ง), (1o ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 = [โŸจ(๐‘ง +o ๐‘ง), ๐‘คโŸฉ] ~Q0 )
18 nnanq0 7456 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ [โŸจ(๐‘ง +o ๐‘ง), ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ))
19183anidm12 1295 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ [โŸจ(๐‘ง +o ๐‘ง), ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ))
205, 17, 193eqtrd 2214 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ ([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ))
2120adantr 276 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โ†’ ([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ))
22 oveq2 5882 . . . . . 6 (๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 โ†’ ([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐ด) = ([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ))
23 id 19 . . . . . . 7 (๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 โ†’ ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 )
2423, 23oveq12d 5892 . . . . . 6 (๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 โ†’ (๐ด +Q0 ๐ด) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ))
2522, 24eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 โ†’ (([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐ด) = (๐ด +Q0 ๐ด) โ†” ([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 )))
2625adantl 277 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โ†’ (([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐ด) = (๐ด +Q0 ๐ด) โ†” ([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 )))
2721, 26mpbird 167 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โ†’ ([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐ด) = (๐ด +Q0 ๐ด))
2827exlimivv 1896 . 2 (โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘ค((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) โ†’ ([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐ด) = (๐ด +Q0 ๐ด))
291, 28syl 14 1 (๐ด โˆˆ Q0 โ†’ ([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐ด) = (๐ด +Q0 ๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3595  ฯ‰com 4589  (class class class)co 5874  1oc1o 6409  2oc2o 6410   +o coa 6413   ยทo comu 6414  [cec 6532  Ncnpi 7270   ~Q0 ceq0 7284  Q0cnq0 7285   +Q0 cplq0 7287   ยทQ0 cmq0 7288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-mi 7304  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-plq0 7425  df-mq0 7426
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7500
  Copyright terms: Public domain W3C validator