Theorem mod2eq1n2dvds 12234

Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod2eq1n2dvds	|- ( N e. ZZ -> ( ( N mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || N ) )

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 9110	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
2		pm13.181 2459	. . . . . 6 |- ( ( ( N mod 2 ) = 0 /\ 0 =/= 1 ) -> ( N mod 2 ) =/= 1 )
3	1, 2	mpan2 425	. . . . 5 |- ( ( N mod 2 ) = 0 -> ( N mod 2 ) =/= 1 )
4	3	neneqd 2398	. . . 4 |- ( ( N mod 2 ) = 0 -> -. ( N mod 2 ) = 1 )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> -. ( N mod 2 ) = 1 )
6		mod2eq0even 12233	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N mod 2 ) = 0 <-> 2 || N ) )
7	6	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> 2 || N )
8	7	notnotd 631	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> -. -. 2 || N )
9	5, 8	2falsed 704	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( N mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || N ) )
10		simpr 110	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> ( N mod 2 ) = 1 )
11		1ne0 9111	. . . . . . 7 |- 1 =/= 0
12		pm13.181 2459	. . . . . . 7 |- ( ( ( N mod 2 ) = 1 /\ 1 =/= 0 ) -> ( N mod 2 ) =/= 0 )
13	11, 12	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( ( N mod 2 ) = 1 -> ( N mod 2 ) =/= 0 )
14	13	neneqd 2398	. . . . 5 |- ( ( N mod 2 ) = 1 -> -. ( N mod 2 ) = 0 )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> -. ( N mod 2 ) = 0 )
16	6	notbid 669	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( N mod 2 ) = 0 <-> -. 2 || N ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> ( -. ( N mod 2 ) = 0 <-> -. 2 || N ) )
18	15, 17	mpbid 147	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> -. 2 || N )
19	10, 18	2thd 175	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> ( ( N mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || N ) )
20		2nn 9205	. . . . 5 |- 2 e. NN
21		zmodfz 10498	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( N mod 2 ) e. ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) )
22	20, 21	mpan2 425	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 2 ) e. ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) )
23		2m1e1 9161	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) = 1
24	23	oveq2i 5962	. . . 4 |- ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
25	22, 24	eleqtrdi 2299	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 2 ) e. ( 0 ... 1 ) )
26		fz01or 10240	. . 3 |- ( ( N mod 2 ) e. ( 0 ... 1 ) <-> ( ( N mod 2 ) = 0 \/ ( N mod 2 ) = 1 ) )
27	25, 26	sylib 122	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N mod 2 ) = 0 \/ ( N mod 2 ) = 1 ) )
28	9, 19, 27	mpjaodan 800	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951   0cc0 7932   1c1 7933   - cmin 8250   NNcn 9043   2c2 9094   ZZcz 9379   ...cfz 10137   mod cmo 10474   || cdvds 12142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fl 10420  df-mod 10475  df-dvds 12143

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  15619  2lgslem3c1  15620