ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mod2eq1n2dvds Unicode version

Theorem mod2eq1n2dvds 10972
Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
mod2eq1n2dvds  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  mod  2
)  =  1  <->  -.  2  ||  N ) )

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds
StepHypRef Expression
1 0ne1 8460 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
2 pm13.181 2337 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  mod  2
)  =  0  /\  0  =/=  1 )  ->  ( N  mod  2 )  =/=  1
)
31, 2mpan2 416 . . . . 5  |-  ( ( N  mod  2 )  =  0  ->  ( N  mod  2 )  =/=  1 )
43neneqd 2276 . . . 4  |-  ( ( N  mod  2 )  =  0  ->  -.  ( N  mod  2
)  =  1 )
54adantl 271 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  0 )  ->  -.  ( N  mod  2 )  =  1 )
6 mod2eq0even 10971 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  mod  2
)  =  0  <->  2 
||  N ) )
76biimpa 290 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  0 )  ->  2  ||  N
)
87notnotd 595 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  0 )  ->  -.  -.  2  ||  N )
95, 82falsed 653 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  0 )  ->  ( ( N  mod  2 )  =  1  <->  -.  2  ||  N ) )
10 simpr 108 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  1 )  ->  ( N  mod  2 )  =  1 )
11 1ne0 8461 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
12 pm13.181 2337 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  mod  2
)  =  1  /\  1  =/=  0 )  ->  ( N  mod  2 )  =/=  0
)
1311, 12mpan2 416 . . . . . 6  |-  ( ( N  mod  2 )  =  1  ->  ( N  mod  2 )  =/=  0 )
1413neneqd 2276 . . . . 5  |-  ( ( N  mod  2 )  =  1  ->  -.  ( N  mod  2
)  =  0 )
1514adantl 271 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  1 )  ->  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )
166notbid 627 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( N  mod  2
)  =  0  <->  -.  2  ||  N ) )
1716adantr 270 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  1 )  ->  ( -.  ( N  mod  2 )  =  0  <->  -.  2  ||  N ) )
1815, 17mpbid 145 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  1 )  ->  -.  2  ||  N )
1910, 182thd 173 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  1 )  ->  ( ( N  mod  2 )  =  1  <->  -.  2  ||  N ) )
20 2nn 8547 . . . . 5  |-  2  e.  NN
21 zmodfz 9718 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( N  mod  2
)  e.  ( 0 ... ( 2  -  1 ) ) )
2220, 21mpan2 416 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  mod  2 )  e.  ( 0 ... (
2  -  1 ) ) )
23 2m1e1 8510 . . . . 5  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2423oveq2i 5645 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
2522, 24syl6eleq 2180 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  mod  2 )  e.  ( 0 ... 1
) )
26 fz01or 9492 . . 3  |-  ( ( N  mod  2 )  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( ( N  mod  2 )  =  0  \/  ( N  mod  2 )  =  1 ) )
2725, 26sylib 120 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  mod  2
)  =  0  \/  ( N  mod  2
)  =  1 ) )
289, 19, 27mpjaodan 747 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  mod  2
)  =  1  <->  -.  2  ||  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   0cc0 7329   1c1 7330    - cmin 7632   NNcn 8394   2c2 8444   ZZcz 8720   ...cfz 9393    mod cmo 9694    || cdvds 10889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fl 9642  df-mod 9695  df-dvds 10890
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator