Theorem mod2eq1n2dvds 12629

Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod2eq1n2dvds	|- ( N e. ZZ -> ( ( N mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || N ) )

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 9354	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
2		pm13.181 2502	. . . . . 6 |- ( ( ( N mod 2 ) = 0 /\ 0 =/= 1 ) -> ( N mod 2 ) =/= 1 )
3	1, 2	mpan2 429	. . . . 5 |- ( ( N mod 2 ) = 0 -> ( N mod 2 ) =/= 1 )
4	3	neneqd 2441	. . . 4 |- ( ( N mod 2 ) = 0 -> -. ( N mod 2 ) = 1 )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> -. ( N mod 2 ) = 1 )
6		mod2eq0even 12628	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N mod 2 ) = 0 <-> 2 || N ) )
7	6	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> 2 || N )
8	7	notnotd 639	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> -. -. 2 || N )
9	5, 8	2falsed 714	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( N mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || N ) )
10		simpr 110	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> ( N mod 2 ) = 1 )
11		1ne0 9355	. . . . . . 7 |- 1 =/= 0
12		pm13.181 2502	. . . . . . 7 |- ( ( ( N mod 2 ) = 1 /\ 1 =/= 0 ) -> ( N mod 2 ) =/= 0 )
13	11, 12	mpan2 429	. . . . . 6 |- ( ( N mod 2 ) = 1 -> ( N mod 2 ) =/= 0 )
14	13	neneqd 2441	. . . . 5 |- ( ( N mod 2 ) = 1 -> -. ( N mod 2 ) = 0 )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> -. ( N mod 2 ) = 0 )
16	6	notbid 677	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( N mod 2 ) = 0 <-> -. 2 || N ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> ( -. ( N mod 2 ) = 0 <-> -. 2 || N ) )
18	15, 17	mpbid 147	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> -. 2 || N )
19	10, 18	2thd 175	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> ( ( N mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || N ) )
20		2nn 9449	. . . . 5 |- 2 e. NN
21		zmodfz 10766	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( N mod 2 ) e. ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) )
22	20, 21	mpan2 429	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 2 ) e. ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) )
23		2m1e1 9405	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) = 1
24	23	oveq2i 6090	. . . 4 |- ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
25	22, 24	eleqtrdi 2331	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 2 ) e. ( 0 ... 1 ) )
26		fz01or 10501	. . 3 |- ( ( N mod 2 ) e. ( 0 ... 1 ) <-> ( ( N mod 2 ) = 0 \/ ( N mod 2 ) = 1 ) )
27	25, 26	sylib 122	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N mod 2 ) = 0 \/ ( N mod 2 ) = 1 ) )
28	9, 19, 27	mpjaodan 810	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   0cc0 8173   1c1 8174   - cmin 8491   NNcn 9287   2c2 9338   ZZcz 9627   ...cfz 10394   mod cmo 10742   || cdvds 12537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fl 10688  df-mod 10743  df-dvds 12538

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  16200  2lgslem3c1  16201