Theorem mod2eq1n2dvds 12356

Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
mod2eq1n2dvds	|- ( N e. ZZ -> ( ( N mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || N ) )

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 9145	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
2		pm13.181 2462	. . . . . 6 |- ( ( ( N mod 2 ) = 0 /\ 0 =/= 1 ) -> ( N mod 2 ) =/= 1 )
3	1, 2	mpan2 425	. . . . 5 |- ( ( N mod 2 ) = 0 -> ( N mod 2 ) =/= 1 )
4	3	neneqd 2401	. . . 4 |- ( ( N mod 2 ) = 0 -> -. ( N mod 2 ) = 1 )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> -. ( N mod 2 ) = 1 )
6		mod2eq0even 12355	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N mod 2 ) = 0 <-> 2 || N ) )
7	6	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> 2 || N )
8	7	notnotd 633	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> -. -. 2 || N )
9	5, 8	2falsed 706	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( N mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || N ) )
10		simpr 110	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> ( N mod 2 ) = 1 )
11		1ne0 9146	. . . . . . 7 |- 1 =/= 0
12		pm13.181 2462	. . . . . . 7 |- ( ( ( N mod 2 ) = 1 /\ 1 =/= 0 ) -> ( N mod 2 ) =/= 0 )
13	11, 12	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( ( N mod 2 ) = 1 -> ( N mod 2 ) =/= 0 )
14	13	neneqd 2401	. . . . 5 |- ( ( N mod 2 ) = 1 -> -. ( N mod 2 ) = 0 )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> -. ( N mod 2 ) = 0 )
16	6	notbid 671	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( N mod 2 ) = 0 <-> -. 2 || N ) )
17	16	adantr 276	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> ( -. ( N mod 2 ) = 0 <-> -. 2 || N ) )
18	15, 17	mpbid 147	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> -. 2 || N )
19	10, 18	2thd 175	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) = 1 ) -> ( ( N mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || N ) )
20		2nn 9240	. . . . 5 |- 2 e. NN
21		zmodfz 10535	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( N mod 2 ) e. ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) )
22	20, 21	mpan2 425	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 2 ) e. ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) )
23		2m1e1 9196	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) = 1
24	23	oveq2i 5985	. . . 4 |- ( 0 ... ( 2 - 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
25	22, 24	eleqtrdi 2302	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N mod 2 ) e. ( 0 ... 1 ) )
26		fz01or 10275	. . 3 |- ( ( N mod 2 ) e. ( 0 ... 1 ) <-> ( ( N mod 2 ) = 0 \/ ( N mod 2 ) = 1 ) )
27	25, 26	sylib 122	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N mod 2 ) = 0 \/ ( N mod 2 ) = 1 ) )
28	9, 19, 27	mpjaodan 802	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 712   = wceq 1375   e. wcel 2180   =/= wne 2380   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974   0cc0 7967   1c1 7968   - cmin 8285   NNcn 9078   2c2 9129   ZZcz 9414   ...cfz 10172   mod cmo 10511   || cdvds 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fl 10457  df-mod 10512  df-dvds 12265

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  15742  2lgslem3c1  15743