ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mod2eq1n2dvds Unicode version

Theorem mod2eq1n2dvds 11503
Description: An integer is 1 modulo 2 iff it is odd (i.e. not divisible by 2), see example 3 in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
mod2eq1n2dvds  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  mod  2
)  =  1  <->  -.  2  ||  N ) )

Proof of Theorem mod2eq1n2dvds
StepHypRef Expression
1 0ne1 8755 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
2 pm13.181 2367 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  mod  2
)  =  0  /\  0  =/=  1 )  ->  ( N  mod  2 )  =/=  1
)
31, 2mpan2 421 . . . . 5  |-  ( ( N  mod  2 )  =  0  ->  ( N  mod  2 )  =/=  1 )
43neneqd 2306 . . . 4  |-  ( ( N  mod  2 )  =  0  ->  -.  ( N  mod  2
)  =  1 )
54adantl 275 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  0 )  ->  -.  ( N  mod  2 )  =  1 )
6 mod2eq0even 11502 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  mod  2
)  =  0  <->  2 
||  N ) )
76biimpa 294 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  0 )  ->  2  ||  N
)
87notnotd 604 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  0 )  ->  -.  -.  2  ||  N )
95, 82falsed 676 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  0 )  ->  ( ( N  mod  2 )  =  1  <->  -.  2  ||  N ) )
10 simpr 109 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  1 )  ->  ( N  mod  2 )  =  1 )
11 1ne0 8756 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
12 pm13.181 2367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  mod  2
)  =  1  /\  1  =/=  0 )  ->  ( N  mod  2 )  =/=  0
)
1311, 12mpan2 421 . . . . . 6  |-  ( ( N  mod  2 )  =  1  ->  ( N  mod  2 )  =/=  0 )
1413neneqd 2306 . . . . 5  |-  ( ( N  mod  2 )  =  1  ->  -.  ( N  mod  2
)  =  0 )
1514adantl 275 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  1 )  ->  -.  ( N  mod  2 )  =  0 )
166notbid 641 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( N  mod  2
)  =  0  <->  -.  2  ||  N ) )
1716adantr 274 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  1 )  ->  ( -.  ( N  mod  2 )  =  0  <->  -.  2  ||  N ) )
1815, 17mpbid 146 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  1 )  ->  -.  2  ||  N )
1910, 182thd 174 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  mod  2
)  =  1 )  ->  ( ( N  mod  2 )  =  1  <->  -.  2  ||  N ) )
20 2nn 8849 . . . . 5  |-  2  e.  NN
21 zmodfz 10087 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( N  mod  2
)  e.  ( 0 ... ( 2  -  1 ) ) )
2220, 21mpan2 421 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  mod  2 )  e.  ( 0 ... (
2  -  1 ) ) )
23 2m1e1 8806 . . . . 5  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2423oveq2i 5753 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 2  -  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
2522, 24eleqtrdi 2210 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  mod  2 )  e.  ( 0 ... 1
) )
26 fz01or 9859 . . 3  |-  ( ( N  mod  2 )  e.  ( 0 ... 1 )  <->  ( ( N  mod  2 )  =  0  \/  ( N  mod  2 )  =  1 ) )
2725, 26sylib 121 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  mod  2
)  =  0  \/  ( N  mod  2
)  =  1 ) )
289, 19, 27mpjaodan 772 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  mod  2
)  =  1  <->  -.  2  ||  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    = wceq 1316    e. wcel 1465    =/= wne 2285   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   0cc0 7588   1c1 7589    - cmin 7901   NNcn 8688   2c2 8739   ZZcz 9022   ...cfz 9758    mod cmo 10063    || cdvds 11420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fl 10011  df-mod 10064  df-dvds 11421
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator