ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddnn02np1 GIF version

Theorem oddnn02np1 11887
Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddnn02np1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem oddnn02np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2240 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘ โˆˆ โ„•0))
2 elnn0z 9268 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†” (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1)))
3 2tnp1ge0ge0 10303 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†” 0 โ‰ค ๐‘›))
43biimpd 144 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘›))
54imdistani 445 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘›))
65expcom 116 . . . . . . . . . 10 (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘›)))
7 elnn0z 9268 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘›))
86, 7imbitrrdi 162 . . . . . . . . 9 (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0))
92, 8simplbiim 387 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0))
101, 9syl6bir 164 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)))
1110com13 80 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)))
1211impcom 125 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0))
1312pm4.71rd 394 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
1413bicomd 141 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
1514rexbidva 2474 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
16 nn0ssz 9273 . . 3 โ„•0 โІ โ„ค
17 rexss 3224 . . 3 (โ„•0 โІ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
1816, 17mp1i 10 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)))
19 nn0z 9275 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
20 odd2np1 11880 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
2119, 20syl 14 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
2215, 18, 213bitr4rd 221 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   โІ wss 3131   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   โ‰ค cle 7995  2c2 8972  โ„•0cn0 9178  โ„คcz 9255   โˆฅ cdvds 11796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-dvds 11797
This theorem is referenced by:  oddge22np1  11888
  Copyright terms: Public domain W3C validator