Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddnn02np1 GIF version

Theorem oddnn02np1 11752
 Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddnn02np1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddnn02np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2220 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
2 elnn0z 9163 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
3 2tnp1ge0ge0 10182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑛))
43biimpd 143 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 ≤ 𝑛))
54imdistani 442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
65expcom 115 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛)))
7 elnn0z 9163 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
86, 7syl6ibr 161 . . . . . . . . 9 (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
92, 8simplbiim 385 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
101, 9syl6bir 163 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0)))
1110com13 80 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ0)))
1211impcom 124 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ0))
1312pm4.71rd 392 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
1413bicomd 140 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
1514rexbidva 2454 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
16 nn0ssz 9168 . . 3 0 ⊆ ℤ
17 rexss 3195 . . 3 (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
1816, 17mp1i 10 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
19 nn0z 9170 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
20 odd2np1 11745 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2119, 20syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2215, 18, 213bitr4rd 220 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∃wrex 2436   ⊆ wss 3102   class class class wbr 3965  (class class class)co 5818  0cc0 7715  1c1 7716   + caddc 7718   · cmul 7720   ≤ cle 7896  2c2 8867  ℕ0cn0 9073  ℤcz 9150   ∥ cdvds 11665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-xor 1358  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-n0 9074  df-z 9151  df-dvds 11666 This theorem is referenced by:  oddge22np1  11753
 Copyright terms: Public domain W3C validator