Theorem oddnn02np1 11839

Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddnn02np1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddnn02np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
2		elnn0z 9225	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
3		2tnp1ge0ge0 10257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑛))
4	3	biimpd 143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 ≤ 𝑛))
5	4	imdistani 443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
6	5	expcom 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛)))
7		elnn0z 9225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
8	6, 7	syl6ibr 161	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
9	2, 8	simplbiim 385	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
10	1, 9	syl6bir 163	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0)))
11	10	com13 80	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0)))
12	11	impcom 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0))
13	12	pm4.71rd 392	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
14	13	bicomd 140	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
15	14	rexbidva 2467	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
16		nn0ssz 9230	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
17		rexss 3214	. . 3 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
18	16, 17	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
19		nn0z 9232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		odd2np1 11832	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
21	19, 20	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
22	15, 18, 21	3bitr4rd 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   ≤ cle 7955  2c2 8929  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212   ∥ cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  oddge22np1  11840