Theorem oddnn02np1 12570

Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddnn02np1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddnn02np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2297	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
2		elnn0z 9592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 ↔ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
3		2tnp1ge0ge0 10665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑛))
4	3	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 ≤ 𝑛))
5	4	imdistani 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
6	5	expcom 116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛)))
7		elnn0z 9592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑛))
8	6, 7	imbitrrdi 162	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
9	2, 8	simplbiim 387	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0))
10	1, 9	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℕ0)))
11	10	com13 80	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0)))
12	11	impcom 125	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → 𝑛 ∈ ℕ0))
13	12	pm4.71rd 394	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
14	13	bicomd 141	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
15	14	rexbidva 2541	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
16		nn0ssz 9597	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
17		rexss 3307	. . 3 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
18	16, 17	mp1i 10	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
19		nn0z 9599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		odd2np1 12563	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
21	19, 20	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
22	15, 18, 21	3bitr4rd 221	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   ⊆ wss 3213   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  0cc0 8129  1c1 8130   + caddc 8132   · cmul 8134   ≤ cle 8311  2c2 9290  ℕ₀cn0 9498  ℤcz 9579   ∥ cdvds 12477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-n0 9499  df-z 9580  df-dvds 12478

This theorem is referenced by:  oddge22np1  12571  2lgslem1c  15980