Theorem umgr1een 16349

Description: A graph with one non-loop edge is a multigraph. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1een.k	|- ( ph -> K e. X )
upgr1een.v	|- ( ph -> V e. Y )
upgr1een.e	|- ( ph -> E e. ~P V )
upgr1een.2o	|- ( ph -> E ~~ 2o )

Assertion

Ref	Expression
umgr1een	|- ( ph -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UMGraph )

Proof of Theorem umgr1een

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgr1een.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. X )
2		breq1 4131	. . . . 5 |- ( x = E -> ( x ~~ 2o <-> E ~~ 2o ) )
3		upgr1een.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ~P V )
4		upgr1een.v	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. Y )
5		opexg 4366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. X /\ E e. ~P V ) -> <. K , E >. e. _V )
6	1, 3, 5	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> <. K , E >. e. _V )
7		snexg 4319	. . . . . . . . 9 |- ( <. K , E >. e. _V -> { <. K , E >. } e. _V )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { <. K , E >. } e. _V )
9		opvtxfv 16246	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Y /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
10	4, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
11	10	pweqd 3693	. . . . . 6 |- ( ph -> ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = ~P V )
12	3, 11	eleqtrrd 2318	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
13		upgr1een.2o	. . . . 5 |- ( ph -> E ~~ 2o )
14	2, 12, 13	elrabd 2984	. . . 4 |- ( ph -> E e. { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } )
15	1, 14	fsnd 5682	. . 3 |- ( ph -> { <. K , E >. } : { K } --> { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } )
16		opiedgfv 16249	. . . . 5 |- ( ( V e. Y /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
17	4, 8, 16	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
18	17	dmeqd 4981	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = dom { <. K , E >. } )
19		dmsnopg 5257	. . . . . 6 |- ( E e. ~P V -> dom { <. K , E >. } = { K } )
20	3, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom { <. K , E >. } = { K } )
21	18, 20	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { K } )
22	17, 21	feq12d 5521	. . 3 |- ( ph -> ( (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) : dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) --> { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } <-> { <. K , E >. } : { K } --> { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } ) )
23	15, 22	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) : dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) --> { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } )
24	1, 4, 3, 13	upgr1een 16348	. . 3 |- ( ph -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph )
25		eqid 2238	. . . 4 |- (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. )
26		eqid 2238	. . . 4 |- (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. )
27	25, 26	isumgren 16329	. . 3 |- ( <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph -> ( <. V , { <. K , E >. } >. e. UMGraph <-> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) : dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) --> { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } ) )
28	24, 27	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( <. V , { <. K , E >. } >. e. UMGraph <-> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) : dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) --> { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } ) )
29	23, 28	mpbird 167	1 |- ( ph -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UMGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   ~Pcpw 3688   {csn 3708   <.cop 3711   class class class wbr 4128   dom cdm 4772   -->wf 5371   ` cfv 5375   2oc2o 6675   ~~ cen 7014  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  UPGraphcupgr 16315  UMGraphcumgr 16316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-en 7017  df-sub 8493  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-dec 9761  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-upgren 16317  df-umgren 16318

This theorem is referenced by:  p1evtxdp1fi  16537