Theorem umgr1een 15969

Description: A graph with one non-loop edge is a multigraph. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgr1een.k	|- ( ph -> K e. X )
upgr1een.v	|- ( ph -> V e. Y )
upgr1een.e	|- ( ph -> E e. ~P V )
upgr1een.2o	|- ( ph -> E ~~ 2o )

Assertion

Ref	Expression
umgr1een	|- ( ph -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UMGraph )

Proof of Theorem umgr1een

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgr1een.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. X )
2		breq1 4089	. . . . 5 |- ( x = E -> ( x ~~ 2o <-> E ~~ 2o ) )
3		upgr1een.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ~P V )
4		upgr1een.v	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. Y )
5		opexg 4318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. X /\ E e. ~P V ) -> <. K , E >. e. _V )
6	1, 3, 5	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> <. K , E >. e. _V )
7		snexg 4272	. . . . . . . . 9 |- ( <. K , E >. e. _V -> { <. K , E >. } e. _V )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { <. K , E >. } e. _V )
9		opvtxfv 15866	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. Y /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
11	10	pweqd 3655	. . . . . 6 |- ( ph -> ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = ~P V )
12	3, 11	eleqtrrd 2309	. . . . 5 |- ( ph -> E e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
13		upgr1een.2o	. . . . 5 |- ( ph -> E ~~ 2o )
14	2, 12, 13	elrabd 2962	. . . 4 |- ( ph -> E e. { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } )
15	1, 14	fsnd 5624	. . 3 |- ( ph -> { <. K , E >. } : { K } --> { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } )
16		opiedgfv 15869	. . . . 5 |- ( ( V e. Y /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
17	4, 8, 16	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
18	17	dmeqd 4931	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = dom { <. K , E >. } )
19		dmsnopg 5206	. . . . . 6 |- ( E e. ~P V -> dom { <. K , E >. } = { K } )
20	3, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom { <. K , E >. } = { K } )
21	18, 20	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { K } )
22	17, 21	feq12d 5469	. . 3 |- ( ph -> ( (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) : dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) --> { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } <-> { <. K , E >. } : { K } --> { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } ) )
23	15, 22	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) : dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) --> { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } )
24	1, 4, 3, 13	upgr1een 15968	. . 3 |- ( ph -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph )
25		eqid 2229	. . . 4 |- (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. )
26		eqid 2229	. . . 4 |- (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. )
27	25, 26	isumgren 15949	. . 3 |- ( <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph -> ( <. V , { <. K , E >. } >. e. UMGraph <-> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) : dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) --> { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } ) )
28	24, 27	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( <. V , { <. K , E >. } >. e. UMGraph <-> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) : dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) --> { x e. ~P (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) | x ~~ 2o } ) )
29	23, 28	mpbird 167	1 |- ( ph -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UMGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2800   ~Pcpw 3650   {csn 3667   <.cop 3670   class class class wbr 4086   dom cdm 4723   -->wf 5320   ` cfv 5324   2oc2o 6571   ~~ cen 6902  Vtxcvtx 15856  iEdgciedg 15857  UPGraphcupgr 15935  UMGraphcumgr 15936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-sub 8345  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-dec 9605  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-edgf 15849  df-vtx 15858  df-iedg 15859  df-upgren 15937  df-umgren 15938

This theorem is referenced by:  p1evtxdp1fi  16124