Theorem p1evtxdeqfilem 16564

Description: Lemma for p1evtxdeqfi 16565 and p1evtxdp1fi 16566. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	|- V = (Vtx ` G )
p1evtxdeq.i	|- I = (iEdg ` G )
p1evtxdeq.f	|- ( ph -> Fun I )
p1evtxdeq.fv	|- ( ph -> (Vtx ` F ) = V )
p1evtxdeq.fi	|- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I u. { <. K , E >. } ) )
p1evtxdeq.k	|- ( ph -> K e. X )
p1evtxdeq.d	|- ( ph -> K e/ dom I )
p1evtxdeq.u	|- ( ph -> U e. V )
p1evtxdeqfi.vfi	|- ( ph -> V e. Fin )
p1evtxdeqfi.u	|- ( ph -> G e. UPGraph )
p1evtxdeqfi.ifi	|- ( ph -> dom I e. Fin )
p1evtxdeqfi.e	|- ( ph -> E e. ~P V )
p1evtxdeqfi.2o	|- ( ph -> E ~~ 2o )
p1evtxdeq.e	|- ( ph -> E e. Y )

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdeqfilem	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) + ( (VtxDeg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ` U ) ) )

Proof of Theorem p1evtxdeqfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.i	. 2 |- I = (iEdg ` G )
2		eqid 2238	. 2 |- (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. )
3		p1evtxdeq.v	. 2 |- V = (Vtx ` G )
4		p1evtxdeqfi.vfi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
5	4	elexd 2835	. . 3 |- ( ph -> V e. _V )
6		p1evtxdeq.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. X )
7		p1evtxdeq.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. Y )
8		opexg 4368	. . . . 5 |- ( ( K e. X /\ E e. Y ) -> <. K , E >. e. _V )
9	6, 7, 8	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> <. K , E >. e. _V )
10		snexg 4321	. . . 4 |- ( <. K , E >. e. _V -> { <. K , E >. } e. _V )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { <. K , E >. } e. _V )
12		opvtxfv 16275	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
13	5, 11, 12	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
14		p1evtxdeq.fv	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` F ) = V )
15		p1evtxdeqfi.u	. 2 |- ( ph -> G e. UPGraph )
16		p1evtxdeqfi.e	. . 3 |- ( ph -> E e. ~P V )
17		p1evtxdeqfi.2o	. . 3 |- ( ph -> E ~~ 2o )
18	6, 4, 16, 17	upgr1een 16377	. 2 |- ( ph -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph )
19		dmsnopg 5259	. . . . 5 |- ( E e. Y -> dom { <. K , E >. } = { K } )
20	7, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom { <. K , E >. } = { K } )
21	20	ineq2d 3432	. . 3 |- ( ph -> ( dom I i^i dom { <. K , E >. } ) = ( dom I i^i { K } ) )
22		opiedgfv 16278	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
23	5, 11, 22	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
24	23	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ph -> { <. K , E >. } = (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
25	24	dmeqd 4983	. . . 4 |- ( ph -> dom { <. K , E >. } = dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
26	25	ineq2d 3432	. . 3 |- ( ph -> ( dom I i^i dom { <. K , E >. } ) = ( dom I i^i dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) )
27		p1evtxdeq.d	. . . . 5 |- ( ph -> K e/ dom I )
28		df-nel 2516	. . . . 5 |- ( K e/ dom I <-> -. K e. dom I )
29	27, 28	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> -. K e. dom I )
30		disjsn 3771	. . . 4 |- ( ( dom I i^i { K } ) = (/) <-> -. K e. dom I )
31	29, 30	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( dom I i^i { K } ) = (/) )
32	21, 26, 31	3eqtr3d 2279	. 2 |- ( ph -> ( dom I i^i dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) = (/) )
33		p1evtxdeq.f	. 2 |- ( ph -> Fun I )
34		funsng 5427	. . . 4 |- ( ( K e. X /\ E e. Y ) -> Fun { <. K , E >. } )
35	6, 7, 34	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> Fun { <. K , E >. } )
36	24	funeqd 5399	. . 3 |- ( ph -> ( Fun { <. K , E >. } <-> Fun (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) )
37	35, 36	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> Fun (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
38		p1evtxdeq.u	. 2 |- ( ph -> U e. V )
39		p1evtxdeq.fi	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I u. { <. K , E >. } ) )
40	24	uneq2d 3383	. . 3 |- ( ph -> ( I u. { <. K , E >. } ) = ( I u. (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) )
41	39, 40	eqtrd 2271	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I u. (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) )
42		p1evtxdeqfi.ifi	. 2 |- ( ph -> dom I e. Fin )
43		snfig 7103	. . . . 5 |- ( K e. X -> { K } e. Fin )
44	6, 43	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { K } e. Fin )
45	20, 44	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> dom { <. K , E >. } e. Fin )
46	25, 45	eqeltrrd 2316	. 2 |- ( ph -> dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) e. Fin )
47	1, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 18, 32, 33, 37, 38, 41, 42, 46	vtxdfifiun 16550	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) + ( (VtxDeg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ` U ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   e/ wnel 2515   _Vcvv 2821   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   ~Pcpw 3688   {csn 3709   <.cop 3712   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   Fun wfun 5371   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   2oc2o 6681   ~~ cen 7020   Fincfn 7022   + caddc 8182  Vtxcvtx 16265  iEdgciedg 16266  UPGraphcupgr 16344  VtxDegcvtxdg 16539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-xadd 10177  df-ihash 11217  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-edgf 16258  df-vtx 16267  df-iedg 16268  df-upgren 16346  df-vtxdg 16540

This theorem is used by:  p1evtxdeqfi  16565  p1evtxdp1fi  16566