Theorem p1evtxdeqfilem 16437

Description: Lemma for p1evtxdeqfi 16438 and p1evtxdp1fi 16439. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	|- V = (Vtx ` G )
p1evtxdeq.i	|- I = (iEdg ` G )
p1evtxdeq.f	|- ( ph -> Fun I )
p1evtxdeq.fv	|- ( ph -> (Vtx ` F ) = V )
p1evtxdeq.fi	|- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I u. { <. K , E >. } ) )
p1evtxdeq.k	|- ( ph -> K e. X )
p1evtxdeq.d	|- ( ph -> K e/ dom I )
p1evtxdeq.u	|- ( ph -> U e. V )
p1evtxdeqfi.vfi	|- ( ph -> V e. Fin )
p1evtxdeqfi.u	|- ( ph -> G e. UPGraph )
p1evtxdeqfi.ifi	|- ( ph -> dom I e. Fin )
p1evtxdeqfi.e	|- ( ph -> E e. ~P V )
p1evtxdeqfi.2o	|- ( ph -> E ~~ 2o )
p1evtxdeq.e	|- ( ph -> E e. Y )

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdeqfilem	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) + ( (VtxDeg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ` U ) ) )

Proof of Theorem p1evtxdeqfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.i	. 2 |- I = (iEdg ` G )
2		eqid 2234	. 2 |- (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. )
3		p1evtxdeq.v	. 2 |- V = (Vtx ` G )
4		p1evtxdeqfi.vfi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
5	4	elexd 2829	. . 3 |- ( ph -> V e. _V )
6		p1evtxdeq.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. X )
7		p1evtxdeq.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. Y )
8		opexg 4350	. . . . 5 |- ( ( K e. X /\ E e. Y ) -> <. K , E >. e. _V )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> <. K , E >. e. _V )
10		snexg 4303	. . . 4 |- ( <. K , E >. e. _V -> { <. K , E >. } e. _V )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { <. K , E >. } e. _V )
12		opvtxfv 16148	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
14		p1evtxdeq.fv	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` F ) = V )
15		p1evtxdeqfi.u	. 2 |- ( ph -> G e. UPGraph )
16		p1evtxdeqfi.e	. . 3 |- ( ph -> E e. ~P V )
17		p1evtxdeqfi.2o	. . 3 |- ( ph -> E ~~ 2o )
18	6, 4, 16, 17	upgr1een 16250	. 2 |- ( ph -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph )
19		dmsnopg 5240	. . . . 5 |- ( E e. Y -> dom { <. K , E >. } = { K } )
20	7, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom { <. K , E >. } = { K } )
21	20	ineq2d 3426	. . 3 |- ( ph -> ( dom I i^i dom { <. K , E >. } ) = ( dom I i^i { K } ) )
22		opiedgfv 16151	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
23	5, 11, 22	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
24	23	eqcomd 2240	. . . . 5 |- ( ph -> { <. K , E >. } = (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
25	24	dmeqd 4964	. . . 4 |- ( ph -> dom { <. K , E >. } = dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
26	25	ineq2d 3426	. . 3 |- ( ph -> ( dom I i^i dom { <. K , E >. } ) = ( dom I i^i dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) )
27		p1evtxdeq.d	. . . . 5 |- ( ph -> K e/ dom I )
28		df-nel 2510	. . . . 5 |- ( K e/ dom I <-> -. K e. dom I )
29	27, 28	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> -. K e. dom I )
30		disjsn 3757	. . . 4 |- ( ( dom I i^i { K } ) = (/) <-> -. K e. dom I )
31	29, 30	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( dom I i^i { K } ) = (/) )
32	21, 26, 31	3eqtr3d 2275	. 2 |- ( ph -> ( dom I i^i dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) = (/) )
33		p1evtxdeq.f	. 2 |- ( ph -> Fun I )
34		funsng 5408	. . . 4 |- ( ( K e. X /\ E e. Y ) -> Fun { <. K , E >. } )
35	6, 7, 34	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> Fun { <. K , E >. } )
36	24	funeqd 5380	. . 3 |- ( ph -> ( Fun { <. K , E >. } <-> Fun (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) )
37	35, 36	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> Fun (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
38		p1evtxdeq.u	. 2 |- ( ph -> U e. V )
39		p1evtxdeq.fi	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I u. { <. K , E >. } ) )
40	24	uneq2d 3377	. . 3 |- ( ph -> ( I u. { <. K , E >. } ) = ( I u. (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) )
41	39, 40	eqtrd 2267	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I u. (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) )
42		p1evtxdeqfi.ifi	. 2 |- ( ph -> dom I e. Fin )
43		snfig 7070	. . . . 5 |- ( K e. X -> { K } e. Fin )
44	6, 43	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { K } e. Fin )
45	20, 44	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ph -> dom { <. K , E >. } e. Fin )
46	25, 45	eqeltrrd 2312	. 2 |- ( ph -> dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) e. Fin )
47	1, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 18, 32, 33, 37, 38, 41, 42, 46	vtxdfifiun 16423	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) + ( (VtxDeg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ` U ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   e/ wnel 2509   _Vcvv 2815   u. cun 3212   i^i cin 3213   (/)c0 3512   ~Pcpw 3675   {csn 3695   <.cop 3698   class class class wbr 4115   dom cdm 4755   Fun wfun 5352   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   2oc2o 6655   ~~ cen 6987   Fincfn 6989   + caddc 8147  Vtxcvtx 16138  iEdgciedg 16139  UPGraphcupgr 16217  VtxDegcvtxdg 16412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-ltadd 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-irdg 6615  df-frec 6636  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6781  df-en 6990  df-dom 6991  df-fin 6992  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-z 9599  df-dec 9732  df-uz 9876  df-xadd 10129  df-ihash 11168  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-edgf 16131  df-vtx 16140  df-iedg 16141  df-upgren 16219  df-vtxdg 16413

This theorem is referenced by:  p1evtxdeqfi  16438  p1evtxdp1fi  16439