Theorem p1evtxdeqfilem 16323

Description: Lemma for p1evtxdeqfi 16324 and p1evtxdp1fi 16325. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	|- V = (Vtx ` G )
p1evtxdeq.i	|- I = (iEdg ` G )
p1evtxdeq.f	|- ( ph -> Fun I )
p1evtxdeq.fv	|- ( ph -> (Vtx ` F ) = V )
p1evtxdeq.fi	|- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I u. { <. K , E >. } ) )
p1evtxdeq.k	|- ( ph -> K e. X )
p1evtxdeq.d	|- ( ph -> K e/ dom I )
p1evtxdeq.u	|- ( ph -> U e. V )
p1evtxdeqfi.vfi	|- ( ph -> V e. Fin )
p1evtxdeqfi.u	|- ( ph -> G e. UPGraph )
p1evtxdeqfi.ifi	|- ( ph -> dom I e. Fin )
p1evtxdeqfi.e	|- ( ph -> E e. ~P V )
p1evtxdeqfi.2o	|- ( ph -> E ~~ 2o )
p1evtxdeq.e	|- ( ph -> E e. Y )

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdeqfilem	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) + ( (VtxDeg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ` U ) ) )

Proof of Theorem p1evtxdeqfilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.i	. 2 |- I = (iEdg ` G )
2		eqid 2234	. 2 |- (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. )
3		p1evtxdeq.v	. 2 |- V = (Vtx ` G )
4		p1evtxdeqfi.vfi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
5	4	elexd 2829	. . 3 |- ( ph -> V e. _V )
6		p1evtxdeq.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. X )
7		p1evtxdeq.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. Y )
8		opexg 4346	. . . . 5 |- ( ( K e. X /\ E e. Y ) -> <. K , E >. e. _V )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> <. K , E >. e. _V )
10		snexg 4299	. . . 4 |- ( <. K , E >. e. _V -> { <. K , E >. } e. _V )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { <. K , E >. } e. _V )
12		opvtxfv 16034	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
13	5, 11, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
14		p1evtxdeq.fv	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` F ) = V )
15		p1evtxdeqfi.u	. 2 |- ( ph -> G e. UPGraph )
16		p1evtxdeqfi.e	. . 3 |- ( ph -> E e. ~P V )
17		p1evtxdeqfi.2o	. . 3 |- ( ph -> E ~~ 2o )
18	6, 4, 16, 17	upgr1een 16136	. 2 |- ( ph -> <. V , { <. K , E >. } >. e. UPGraph )
19		dmsnopg 5236	. . . . 5 |- ( E e. Y -> dom { <. K , E >. } = { K } )
20	7, 19	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom { <. K , E >. } = { K } )
21	20	ineq2d 3424	. . 3 |- ( ph -> ( dom I i^i dom { <. K , E >. } ) = ( dom I i^i { K } ) )
22		opiedgfv 16037	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
23	5, 11, 22	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
24	23	eqcomd 2240	. . . . 5 |- ( ph -> { <. K , E >. } = (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
25	24	dmeqd 4960	. . . 4 |- ( ph -> dom { <. K , E >. } = dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
26	25	ineq2d 3424	. . 3 |- ( ph -> ( dom I i^i dom { <. K , E >. } ) = ( dom I i^i dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) )
27		p1evtxdeq.d	. . . . 5 |- ( ph -> K e/ dom I )
28		df-nel 2510	. . . . 5 |- ( K e/ dom I <-> -. K e. dom I )
29	27, 28	sylib 122	. . . 4 |- ( ph -> -. K e. dom I )
30		disjsn 3753	. . . 4 |- ( ( dom I i^i { K } ) = (/) <-> -. K e. dom I )
31	29, 30	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( dom I i^i { K } ) = (/) )
32	21, 26, 31	3eqtr3d 2275	. 2 |- ( ph -> ( dom I i^i dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) = (/) )
33		p1evtxdeq.f	. 2 |- ( ph -> Fun I )
34		funsng 5404	. . . 4 |- ( ( K e. X /\ E e. Y ) -> Fun { <. K , E >. } )
35	6, 7, 34	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> Fun { <. K , E >. } )
36	24	funeqd 5376	. . 3 |- ( ph -> ( Fun { <. K , E >. } <-> Fun (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) )
37	35, 36	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> Fun (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) )
38		p1evtxdeq.u	. 2 |- ( ph -> U e. V )
39		p1evtxdeq.fi	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I u. { <. K , E >. } ) )
40	24	uneq2d 3375	. . 3 |- ( ph -> ( I u. { <. K , E >. } ) = ( I u. (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) )
41	39, 40	eqtrd 2267	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I u. (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ) )
42		p1evtxdeqfi.ifi	. 2 |- ( ph -> dom I e. Fin )
43		snfig 7058	. . . . 5 |- ( K e. X -> { K } e. Fin )
44	6, 43	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { K } e. Fin )
45	20, 44	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ph -> dom { <. K , E >. } e. Fin )
46	25, 45	eqeltrrd 2312	. 2 |- ( ph -> dom (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) e. Fin )
47	1, 2, 3, 13, 14, 4, 15, 18, 32, 33, 37, 38, 41, 42, 46	vtxdfifiun 16309	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) + ( (VtxDeg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ` U ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   e/ wnel 2509   _Vcvv 2815   u. cun 3211   i^i cin 3212   (/)c0 3510   ~Pcpw 3671   {csn 3691   <.cop 3694   class class class wbr 4111   dom cdm 4751   Fun wfun 5348   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   2oc2o 6643   ~~ cen 6975   Fincfn 6977   + caddc 8132  Vtxcvtx 16024  iEdgciedg 16025  UPGraphcupgr 16103  VtxDegcvtxdg 16298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-xadd 10109  df-ihash 11143  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-upgren 16105  df-vtxdg 16299

This theorem is referenced by:  p1evtxdeqfi  16324  p1evtxdp1fi  16325