Theorem eupth2lembfi 16398

Description: Lemma for eupth2fi 16400 (induction basis): There are no vertices of odd degree in an Eulerian path of length 0, having no edge and identical endpoints (the single vertex of the Eulerian path). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth2.v	|- V = (Vtx ` G )
eupth2.i	|- I = (iEdg ` G )
eupth2fi.g	|- ( ph -> G e. UMGraph )
eupth2.f	|- ( ph -> Fun I )
eupth2.p	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eupth2fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
eupth2lembfi	|- ( ph -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) } = (/) )

Distinct variable group:   ph, x

Allowed substitution hints:   P( x)   F( x)   G( x)   I( x)   V( x)

Proof of Theorem eupth2lembfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		z0even 12533	. . . . 5 |- 2 || 0
2		eqid 2231	. . . . . 6 |- (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. )
3		eqid 2231	. . . . . 6 |- (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. )
4		eupth2fi.fi	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> V e. Fin )
5	4	elexd 2817	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> V e. _V )
6		eupth2.i	. . . . . . . . . . . 12 |- I = (iEdg ` G )
7		eupth2fi.g	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. UMGraph )
8		iedgex 15940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. UMGraph -> (iEdg ` G ) e. _V )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (iEdg ` G ) e. _V )
10	6, 9	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I e. _V )
11		resexg 5059	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. _V -> ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) e. _V )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) e. _V )
13		opvtxfv 15943	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) e. _V ) -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = V )
14	5, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = V )
15	14	eqcomd 2237	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V = (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) )
16	15	eleq2d 2301	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. V <-> x e. (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ) )
17	16	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) )
18		opiedgfv 15946	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) e. _V ) -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) )
19	5, 12, 18	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) )
20		fzo0 10448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
21	20	imaeq2i 5080	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " ( 0..^ 0 ) ) = ( F " (/) )
22		ima0 5102	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " (/) ) = (/)
23	21, 22	eqtri 2252	. . . . . . . . . 10 |- ( F " ( 0..^ 0 ) ) = (/)
24	23	reseq2i 5016	. . . . . . . . 9 |- ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) = ( I |` (/) )
25		res0 5023	. . . . . . . . 9 |- ( I |` (/) ) = (/)
26	24, 25	eqtri 2252	. . . . . . . 8 |- ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) = (/)
27	19, 26	eqtrdi 2280	. . . . . . 7 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = (/) )
28	27	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = (/) )
29	14, 4	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) e. Fin )
30	29	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) e. Fin )
31	26	opeq2i 3871	. . . . . . . 8 |- <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. = <. V , (/) >.
32		upgr0eop 16043	. . . . . . . . 9 |- ( V e. _V -> <. V , (/) >. e. UPGraph )
33	5, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> <. V , (/) >. e. UPGraph )
34	31, 33	eqeltrid 2318	. . . . . . 7 |- ( ph -> <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. e. UPGraph )
35	34	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. e. UPGraph )
36	2, 3, 17, 28, 30, 35	vtxdgfi0e 16216	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) = 0 )
37	1, 36	breqtrrid 4131	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) )
38	37	notnotd 635	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> -. -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) )
39	38	ralrimiva 2606	. 2 |- ( ph -> A. x e. V -. -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) )
40		rabeq0 3526	. 2 |- ( { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) } = (/) <-> A. x e. V -. -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) )
41	39, 40	sylibr 134	1 |- ( ph -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   _Vcvv 2803   (/)c0 3496   <.cop 3676   class class class wbr 4093   |` cres 4733   "cima 4734   Fun wfun 5327   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   0cc0 8075   2c2 9237  ..^cfzo 10420   || cdvds 12409  Vtxcvtx 15933  iEdgciedg 15934  UPGraphcupgr 16012  UMGraphcumgr 16013  VtxDegcvtxdg 16207  EulerPathsceupth 16363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-xadd 10051  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-ihash 11082  df-dvds 12410  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-edgf 15926  df-vtx 15935  df-iedg 15936  df-upgren 16014  df-umgren 16015  df-vtxdg 16208

This theorem is referenced by:  eupth2fi  16400