Theorem eupth2lembfi 16701

Description: Lemma for eupth2fi 16703 (induction basis): There are no vertices of odd degree in an Eulerian path of length 0, having no edge and identical endpoints (the single vertex of the Eulerian path). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth2.v	|- V = (Vtx ` G )
eupth2.i	|- I = (iEdg ` G )
eupth2fi.g	|- ( ph -> G e. UMGraph )
eupth2.f	|- ( ph -> Fun I )
eupth2.p	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eupth2fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
eupth2lembfi	|- ( ph -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) } = (/) )

Distinct variable group:   ph, x

Allowed substitution hints:   P( x)   F( x)   G( x)   I( x)   V( x)

Proof of Theorem eupth2lembfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		z0even 12661	. . . . 5 |- 2 || 0
2		eqid 2238	. . . . . 6 |- (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. )
3		eqid 2238	. . . . . 6 |- (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. )
4		eupth2fi.fi	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> V e. Fin )
5	4	elexd 2835	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> V e. _V )
6		eupth2.i	. . . . . . . . . . . 12 |- I = (iEdg ` G )
7		eupth2fi.g	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. UMGraph )
8		iedgex 16243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. UMGraph -> (iEdg ` G ) e. _V )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (iEdg ` G ) e. _V )
10	6, 9	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I e. _V )
11		resexg 5101	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. _V -> ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) e. _V )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) e. _V )
13		opvtxfv 16246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) e. _V ) -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = V )
14	5, 12, 13	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = V )
15	14	eqcomd 2244	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V = (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) )
16	15	eleq2d 2308	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. V <-> x e. (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ) )
17	16	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) )
18		opiedgfv 16249	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) e. _V ) -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) )
19	5, 12, 18	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) )
20		fzo0 10560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
21	20	imaeq2i 5122	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " ( 0..^ 0 ) ) = ( F " (/) )
22		ima0 5144	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " (/) ) = (/)
23	21, 22	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 |- ( F " ( 0..^ 0 ) ) = (/)
24	23	reseq2i 5058	. . . . . . . . 9 |- ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) = ( I |` (/) )
25		res0 5065	. . . . . . . . 9 |- ( I |` (/) ) = (/)
26	24, 25	eqtri 2259	. . . . . . . 8 |- ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) = (/)
27	19, 26	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = (/) )
28	27	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = (/) )
29	14, 4	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) e. Fin )
30	29	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) e. Fin )
31	26	opeq2i 3906	. . . . . . . 8 |- <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. = <. V , (/) >.
32		upgr0eop 16346	. . . . . . . . 9 |- ( V e. _V -> <. V , (/) >. e. UPGraph )
33	5, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> <. V , (/) >. e. UPGraph )
34	31, 33	eqeltrid 2325	. . . . . . 7 |- ( ph -> <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. e. UPGraph )
35	34	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. e. UPGraph )
36	2, 3, 17, 28, 30, 35	vtxdgfi0e 16519	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) = 0 )
37	1, 36	breqtrrid 4166	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) )
38	37	notnotd 639	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> -. -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) )
39	38	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. x e. V -. -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) )
40		rabeq0 3552	. 2 |- ( { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) } = (/) <-> A. x e. V -. -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) )
41	39, 40	sylibr 134	1 |- ( ph -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   <.cop 3711   class class class wbr 4128   |` cres 4774   "cima 4775   Fun wfun 5369   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Fincfn 7016   0cc0 8173   2c2 9338  ..^cfzo 10532   || cdvds 12537  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  UPGraphcupgr 16315  UMGraphcumgr 16316  VtxDegcvtxdg 16510  EulerPathsceupth 16666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-xadd 10158  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-ihash 11198  df-dvds 12538  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-upgren 16317  df-umgren 16318  df-vtxdg 16511

This theorem is referenced by:  eupth2fi  16703