Theorem eupth2lembfi 16331

Description: Lemma for eupth2fi 16333 (induction basis): There are no vertices of odd degree in an Eulerian path of length 0, having no edge and identical endpoints (the single vertex of the Eulerian path). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth2.v	|- V = (Vtx ` G )
eupth2.i	|- I = (iEdg ` G )
eupth2fi.g	|- ( ph -> G e. UMGraph )
eupth2.f	|- ( ph -> Fun I )
eupth2.p	|- ( ph -> F (EulerPaths ` G ) P )
eupth2fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
eupth2lembfi	|- ( ph -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) } = (/) )

Distinct variable group:   ph, x

Allowed substitution hints:   P( x)   F( x)   G( x)   I( x)   V( x)

Proof of Theorem eupth2lembfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		z0even 12474	. . . . 5 |- 2 || 0
2		eqid 2231	. . . . . 6 |- (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. )
3		eqid 2231	. . . . . 6 |- (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. )
4		eupth2fi.fi	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> V e. Fin )
5	4	elexd 2816	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> V e. _V )
6		eupth2.i	. . . . . . . . . . . 12 |- I = (iEdg ` G )
7		eupth2fi.g	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. UMGraph )
8		iedgex 15873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. UMGraph -> (iEdg ` G ) e. _V )
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (iEdg ` G ) e. _V )
10	6, 9	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I e. _V )
11		resexg 5053	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. _V -> ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) e. _V )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) e. _V )
13		opvtxfv 15876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) e. _V ) -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = V )
14	5, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = V )
15	14	eqcomd 2237	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V = (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) )
16	15	eleq2d 2301	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. V <-> x e. (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ) )
17	16	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) )
18		opiedgfv 15879	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) e. _V ) -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) )
19	5, 12, 18	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) )
20		fzo0 10405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
21	20	imaeq2i 5074	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " ( 0..^ 0 ) ) = ( F " (/) )
22		ima0 5095	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " (/) ) = (/)
23	21, 22	eqtri 2252	. . . . . . . . . 10 |- ( F " ( 0..^ 0 ) ) = (/)
24	23	reseq2i 5010	. . . . . . . . 9 |- ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) = ( I |` (/) )
25		res0 5017	. . . . . . . . 9 |- ( I |` (/) ) = (/)
26	24, 25	eqtri 2252	. . . . . . . 8 |- ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) = (/)
27	19, 26	eqtrdi 2280	. . . . . . 7 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = (/) )
28	27	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> (iEdg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) = (/) )
29	14, 4	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) e. Fin )
30	29	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> (Vtx ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) e. Fin )
31	26	opeq2i 3866	. . . . . . . 8 |- <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. = <. V , (/) >.
32		upgr0eop 15976	. . . . . . . . 9 |- ( V e. _V -> <. V , (/) >. e. UPGraph )
33	5, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> <. V , (/) >. e. UPGraph )
34	31, 33	eqeltrid 2318	. . . . . . 7 |- ( ph -> <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. e. UPGraph )
35	34	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. e. UPGraph )
36	2, 3, 17, 28, 30, 35	vtxdgfi0e 16149	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) = 0 )
37	1, 36	breqtrrid 4126	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) )
38	37	notnotd 635	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> -. -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) )
39	38	ralrimiva 2605	. 2 |- ( ph -> A. x e. V -. -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) )
40		rabeq0 3524	. 2 |- ( { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) } = (/) <-> A. x e. V -. -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) )
41	39, 40	sylibr 134	1 |- ( ph -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` <. V , ( I |` ( F " ( 0..^ 0 ) ) ) >. ) ` x ) } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   <.cop 3672   class class class wbr 4088   |` cres 4727   "cima 4728   Fun wfun 5320   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Fincfn 6909   0cc0 8032   2c2 9194  ..^cfzo 10377   || cdvds 12350  Vtxcvtx 15866  iEdgciedg 15867  UPGraphcupgr 15945  UMGraphcumgr 15946  VtxDegcvtxdg 16140  EulerPathsceupth 16296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-xadd 10008  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-dvds 12351  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-upgren 15947  df-umgren 15948  df-vtxdg 16141

This theorem is referenced by:  eupth2fi  16333