Theorem konigsbergiedg 16929

Description: The indexed edges of the Königsberg graph G. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedg	|- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">

Proof of Theorem konigsbergiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.g	. . . 4 |- G = <. V , E >.
2		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
3		konigsberg.e	. . . . 5 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
4	2, 3	opeq12i 3909	. . . 4 |- <. V , E >. = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
5	1, 4	eqtri 2259	. . 3 |- G = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
6	5	fveq2i 5701	. 2 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. )
7		0z 9666	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
8		3z 9684	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
9		fzfig 10888	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
10	7, 8, 9	mp2an 430	. . . 4 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
11	10	elexi 2834	. . 3 |- ( 0 ... 3 ) e. _V
12		1z 9681	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
13		prexg 4351	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } e. _V )
14	7, 12, 13	mp2an 430	. . . . . 6 |- { 0 , 1 } e. _V
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
16		2z 9683	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
17		prexg 4351	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 0 , 2 } e. _V )
18	7, 16, 17	mp2an 430	. . . . . 6 |- { 0 , 2 } e. _V
19	18	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
20		prexg 4351	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 0 , 3 } e. _V )
21	7, 8, 20	mp2an 430	. . . . . 6 |- { 0 , 3 } e. _V
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
23		prexg 4351	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 1 , 2 } e. _V )
24	12, 16, 23	mp2an 430	. . . . . 6 |- { 1 , 2 } e. _V
25	24	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
26		prexg 4351	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 2 , 3 } e. _V )
27	16, 8, 26	mp2an 430	. . . . . 6 |- { 2 , 3 } e. _V
28	27	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
29	15, 19, 22, 25, 25, 28, 28	s7cld 11577	. . . 4 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
30	29	mptru 1411	. . 3 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
31		opiedgfv 16471	. . 3 |- ( ( ( 0 ... 3 ) e. _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V ) -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> )
32	11, 30, 31	mp2an 430	. 2 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
33	6, 32	eqtri 2259	1 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {cpr 3710   <.cop 3712   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   0cc0 8185   1c1 8186   2c2 9364   3c3 9365   ZZcz 9655   ...cfz 10428  Word cword 11326   <"cs7 11548  iEdgciedg 16459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381  df-s1 11406  df-s2 11550  df-s3 11551  df-s4 11552  df-s5 11553  df-s6 11554  df-s7 11555  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-edgf 16451  df-iedg 16461

This theorem is used by:  konigsbergumgr  16933  konigsberglem1  16934  konigsberglem2  16935  konigsberglem3  16936