Theorem konigsbergiedg 16407

Description: The indexed edges of the Königsberg graph G. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedg	|- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">

Proof of Theorem konigsbergiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.g	. . . 4 |- G = <. V , E >.
2		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
3		konigsberg.e	. . . . 5 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
4	2, 3	opeq12i 3872	. . . 4 |- <. V , E >. = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
5	1, 4	eqtri 2252	. . 3 |- G = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
6	5	fveq2i 5651	. 2 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. )
7		0z 9534	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
8		3z 9552	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
9		fzfig 10738	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
10	7, 8, 9	mp2an 426	. . . 4 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
11	10	elexi 2816	. . 3 |- ( 0 ... 3 ) e. _V
12		1z 9549	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
13		prexg 4307	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } e. _V )
14	7, 12, 13	mp2an 426	. . . . . 6 |- { 0 , 1 } e. _V
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
16		2z 9551	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
17		prexg 4307	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 0 , 2 } e. _V )
18	7, 16, 17	mp2an 426	. . . . . 6 |- { 0 , 2 } e. _V
19	18	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
20		prexg 4307	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 0 , 3 } e. _V )
21	7, 8, 20	mp2an 426	. . . . . 6 |- { 0 , 3 } e. _V
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
23		prexg 4307	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 1 , 2 } e. _V )
24	12, 16, 23	mp2an 426	. . . . . 6 |- { 1 , 2 } e. _V
25	24	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
26		prexg 4307	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 2 , 3 } e. _V )
27	16, 8, 26	mp2an 426	. . . . . 6 |- { 2 , 3 } e. _V
28	27	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
29	15, 19, 22, 25, 25, 28, 28	s7cld 11413	. . . 4 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
30	29	mptru 1407	. . 3 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
31		opiedgfv 15949	. . 3 |- ( ( ( 0 ... 3 ) e. _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V ) -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> )
32	11, 30, 31	mp2an 426	. 2 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
33	6, 32	eqtri 2252	1 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">

Syntax hints:   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   {cpr 3674   <.cop 3676   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   0cc0 8075   1c1 8076   2c2 9236   3c3 9237   ZZcz 9523   ...cfz 10288  Word cword 11162   <"cs7 11384  iEdgciedg 15937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-ihash 11084  df-word 11163  df-concat 11217  df-s1 11242  df-s2 11386  df-s3 11387  df-s4 11388  df-s5 11389  df-s6 11390  df-s7 11391  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-edgf 15929  df-iedg 15939

This theorem is referenced by:  konigsbergumgr  16411  konigsberglem1  16412  konigsberglem2  16413  konigsberglem3  16414