Theorem konigsbergiedg 16638

Description: The indexed edges of the Königsberg graph G. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedg	|- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">

Proof of Theorem konigsbergiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.g	. . . 4 |- G = <. V , E >.
2		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
3		konigsberg.e	. . . . 5 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
4	2, 3	opeq12i 3904	. . . 4 |- <. V , E >. = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
5	1, 4	eqtri 2259	. . 3 |- G = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
6	5	fveq2i 5693	. 2 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. )
7		0z 9634	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
8		3z 9652	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
9		fzfig 10845	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
10	7, 8, 9	mp2an 430	. . . 4 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
11	10	elexi 2834	. . 3 |- ( 0 ... 3 ) e. _V
12		1z 9649	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
13		prexg 4344	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> { 0 , 1 } e. _V )
14	7, 12, 13	mp2an 430	. . . . . 6 |- { 0 , 1 } e. _V
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
16		2z 9651	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
17		prexg 4344	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 0 , 2 } e. _V )
18	7, 16, 17	mp2an 430	. . . . . 6 |- { 0 , 2 } e. _V
19	18	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
20		prexg 4344	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 0 , 3 } e. _V )
21	7, 8, 20	mp2an 430	. . . . . 6 |- { 0 , 3 } e. _V
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
23		prexg 4344	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> { 1 , 2 } e. _V )
24	12, 16, 23	mp2an 430	. . . . . 6 |- { 1 , 2 } e. _V
25	24	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
26		prexg 4344	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> { 2 , 3 } e. _V )
27	16, 8, 26	mp2an 430	. . . . . 6 |- { 2 , 3 } e. _V
28	27	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
29	15, 19, 22, 25, 25, 28, 28	s7cld 11533	. . . 4 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
30	29	mptru 1411	. . 3 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
31		opiedgfv 16180	. . 3 |- ( ( ( 0 ... 3 ) e. _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V ) -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> )
32	11, 30, 31	mp2an 430	. 2 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
33	6, 32	eqtri 2259	1 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">

Syntax hints:   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {cpr 3706   <.cop 3708   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   0cc0 8169   1c1 8170   2c2 9334   3c3 9335   ZZcz 9623   ...cfz 10390  Word cword 11282   <"cs7 11504  iEdgciedg 16168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-concat 11337  df-s1 11362  df-s2 11506  df-s3 11507  df-s4 11508  df-s5 11509  df-s6 11510  df-s7 11511  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-edgf 16160  df-iedg 16170

This theorem is referenced by:  konigsbergumgr  16642  konigsberglem1  16643  konigsberglem2  16644  konigsberglem3  16645