Theorem pfxclz 11150

Description: Closure of the prefix extractor. This extends pfxclg 11149 from ℕ₀ to ℤ (negative lengths are trivial, resulting in the empty word). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pfxclz	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem pfxclz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxclg 11149	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
2	1	adantlr 477	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
3		df-ov 5959	. . . 4 ⊢ (𝑆 prefix 𝐿) = ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩)
4		opexg 4279	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ V)
5		opelxp2 4717	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ (V × ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		fnpfx 11148	. . . . . . . 8 ⊢ prefix Fn (V × ℕ0)
7	6	fndmi 5382	. . . . . . 7 ⊢ dom prefix = (V × ℕ0)
8	5, 7	eleq2s 2301	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → 𝐿 ∈ ℕ0)
9	8	con3i 633	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → ¬ ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix )
10		ndmfvg 5619	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ V ∧ ¬ ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix ) → ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩) = ∅)
11	4, 9, 10	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩) = ∅)
12	3, 11	eqtrid 2251	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = ∅)
13		wrd0 11036	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐴
14	12, 13	eqeltrdi 2297	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
15		elnn0dc 9747	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → DECID 𝐿 ∈ ℕ0)
16		exmiddc 838	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
18	17	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
19	2, 14, 18	mpjaodan 800	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ∅c0 3464  ⟨cop 3640   × cxp 4680  dom cdm 4682  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  ℕ₀cn0 9310  ℤcz 9387  Word cword 11011   prefix cpfx 11143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-1o 6514  df-er 6632  df-en 6840  df-dom 6841  df-fin 6842  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-ihash 10938  df-word 11012  df-substr 11117  df-pfx 11144

This theorem is referenced by:  wrdind  11193  wrd2ind  11194