Theorem pfxclz 11232

Description: Closure of the prefix extractor. This extends pfxclg 11231 from ℕ₀ to ℤ (negative lengths are trivial, resulting in the empty word). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pfxclz	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem pfxclz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxclg 11231	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
2	1	adantlr 477	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
3		df-ov 6013	. . . 4 ⊢ (𝑆 prefix 𝐿) = ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩)
4		opexg 4315	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ V)
5		opelxp2 4755	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ (V × ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		fnpfx 11230	. . . . . . . 8 ⊢ prefix Fn (V × ℕ0)
7	6	fndmi 5424	. . . . . . 7 ⊢ dom prefix = (V × ℕ0)
8	5, 7	eleq2s 2324	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → 𝐿 ∈ ℕ0)
9	8	con3i 635	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → ¬ ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix )
10		ndmfvg 5663	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ V ∧ ¬ ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix ) → ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩) = ∅)
11	4, 9, 10	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩) = ∅)
12	3, 11	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = ∅)
13		wrd0 11114	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐴
14	12, 13	eqeltrdi 2320	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
15		elnn0dc 9823	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → DECID 𝐿 ∈ ℕ0)
16		exmiddc 841	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
18	17	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
19	2, 14, 18	mpjaodan 803	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ∅c0 3491  ⟨cop 3669   × cxp 4718  dom cdm 4720  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℕ₀cn0 9385  ℤcz 9462  Word cword 11089   prefix cpfx 11225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-ihash 11015  df-word 11090  df-substr 11199  df-pfx 11226

This theorem is referenced by:  wrdind  11275  wrd2ind  11276