Theorem pfxclz 11434

Description: Closure of the prefix extractor. This extends pfxclg 11433 from ℕ₀ to ℤ (negative lengths are trivial, resulting in the empty word). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pfxclz	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem pfxclz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxclg 11433	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
2	1	adantlr 481	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
3		df-ov 6082	. . . 4 ⊢ (𝑆 prefix 𝐿) = ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩)
4		opexg 4366	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ V)
5		opelxp2 4807	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ (V × ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		fnpfx 11432	. . . . . . . 8 ⊢ prefix Fn (V × ℕ0)
7	6	fndmi 5479	. . . . . . 7 ⊢ dom prefix = (V × ℕ0)
8	5, 7	eleq2s 2333	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → 𝐿 ∈ ℕ0)
9	8	con3i 641	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → ¬ ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix )
10		ndmfvg 5724	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ V ∧ ¬ ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix ) → ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩) = ∅)
11	4, 9, 10	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩) = ∅)
12	3, 11	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = ∅)
13		wrd0 11312	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐴
14	12, 13	eqeltrdi 2329	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
15		elnn0dc 9994	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → DECID 𝐿 ∈ ℕ0)
16		exmiddc 848	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
18	17	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
19	2, 14, 18	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ∅c0 3520  ⟨cop 3711   × cxp 4770  dom cdm 4772  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  Word cword 11287   prefix cpfx 11427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-ihash 11198  df-word 11288  df-substr 11401  df-pfx 11428

This theorem is referenced by:  wrdind  11477  wrd2ind  11478