Theorem pfxclz 11307

Description: Closure of the prefix extractor. This extends pfxclg 11306 from ℕ₀ to ℤ (negative lengths are trivial, resulting in the empty word). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pfxclz	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem pfxclz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxclg 11306	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
2	1	adantlr 477	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
3		df-ov 6031	. . . 4 ⊢ (𝑆 prefix 𝐿) = ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩)
4		opexg 4326	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ V)
5		opelxp2 4766	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ (V × ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		fnpfx 11305	. . . . . . . 8 ⊢ prefix Fn (V × ℕ0)
7	6	fndmi 5437	. . . . . . 7 ⊢ dom prefix = (V × ℕ0)
8	5, 7	eleq2s 2326	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → 𝐿 ∈ ℕ0)
9	8	con3i 637	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → ¬ ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix )
10		ndmfvg 5679	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ V ∧ ¬ ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix ) → ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩) = ∅)
11	4, 9, 10	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩) = ∅)
12	3, 11	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = ∅)
13		wrd0 11185	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐴
14	12, 13	eqeltrdi 2322	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
15		elnn0dc 9888	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → DECID 𝐿 ∈ ℕ0)
16		exmiddc 844	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
18	17	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
19	2, 14, 18	mpjaodan 806	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  ∅c0 3496  ⟨cop 3676   × cxp 4729  dom cdm 4731  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℕ₀cn0 9445  ℤcz 9522  Word cword 11160   prefix cpfx 11300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-ihash 11082  df-word 11161  df-substr 11274  df-pfx 11301

This theorem is referenced by:  wrdind  11350  wrd2ind  11351