Theorem pfxclz 11474

Description: Closure of the prefix extractor. This extends pfxclg 11473 from ℕ₀ to ℤ (negative lengths are trivial, resulting in the empty word). (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pfxclz	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem pfxclz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxclg 11473	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
2	1	adantlr 481	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
3		df-ov 6091	. . . 4 ⊢ (𝑆 prefix 𝐿) = ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩)
4		opexg 4370	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ V)
5		opelxp2 4811	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ (V × ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		fnpfx 11472	. . . . . . . 8 ⊢ prefix Fn (V × ℕ0)
7	6	fndmi 5484	. . . . . . 7 ⊢ dom prefix = (V × ℕ0)
8	5, 7	eleq2s 2333	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix → 𝐿 ∈ ℕ0)
9	8	con3i 641	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐿 ∈ ℕ0 → ¬ ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix )
10		ndmfvg 5729	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ V ∧ ¬ ⟨𝑆, 𝐿⟩ ∈ dom prefix ) → ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩) = ∅)
11	4, 9, 10	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → ( prefix ‘⟨𝑆, 𝐿⟩) = ∅)
12	3, 11	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = ∅)
13		wrd0 11352	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐴
14	12, 13	eqeltrdi 2329	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
15		elnn0dc 10028	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → DECID 𝐿 ∈ ℕ0)
16		exmiddc 848	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
18	17	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐿 ∈ ℕ0))
19	2, 14, 18	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ∅c0 3520  ⟨cop 3712   × cxp 4774  dom cdm 4776  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℕ₀cn0 9575  ℤcz 9656  Word cword 11327   prefix cpfx 11467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-ihash 11238  df-word 11328  df-substr 11441  df-pfx 11468

This theorem is used by:  wrdind  11517  wrd2ind  11518