Theorem fnpfx 11262

Description: The domain of the prefix extractor. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fnpfx	|- prefix Fn ( _V X. NN0 )

Proof of Theorem fnpfx

Dummy variables s l x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2805	. . . . . 6 |- s e. _V
2		0zd 9491	. . . . . 6 |- ( l e. NN0 -> 0 e. ZZ )
3		nn0z 9499	. . . . . 6 |- ( l e. NN0 -> l e. ZZ )
4		swrdval 11233	. . . . . 6 |- ( ( s e. _V /\ 0 e. ZZ /\ l e. ZZ ) -> ( s substr <. 0 , l >. ) = if ( ( 0..^ l ) C_ dom s , ( x e. ( 0..^ ( l - 0 ) ) |-> ( s ` ( x + 0 ) ) ) , (/) ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an2i 1378	. . . . 5 |- ( l e. NN0 -> ( s substr <. 0 , l >. ) = if ( ( 0..^ l ) C_ dom s , ( x e. ( 0..^ ( l - 0 ) ) |-> ( s ` ( x + 0 ) ) ) , (/) ) )
6		0z 9490	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
7	3, 2	zsubcld 9607	. . . . . . . 8 |- ( l e. NN0 -> ( l - 0 ) e. ZZ )
8		fzofig 10695	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( l - 0 ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( l - 0 ) ) e. Fin )
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( l e. NN0 -> ( 0..^ ( l - 0 ) ) e. Fin )
10	9	mptexd 5881	. . . . . 6 |- ( l e. NN0 -> ( x e. ( 0..^ ( l - 0 ) ) |-> ( s ` ( x + 0 ) ) ) e. _V )
11		0ex 4216	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( l e. NN0 -> (/) e. _V )
13	10, 12	ifexd 4581	. . . . 5 |- ( l e. NN0 -> if ( ( 0..^ l ) C_ dom s , ( x e. ( 0..^ ( l - 0 ) ) |-> ( s ` ( x + 0 ) ) ) , (/) ) e. _V )
14	5, 13	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( l e. NN0 -> ( s substr <. 0 , l >. ) e. _V )
15	14	adantl 277	. . 3 |- ( ( s e. _V /\ l e. NN0 ) -> ( s substr <. 0 , l >. ) e. _V )
16	15	rgen2 2618	. 2 |- A. s e. _V A. l e. NN0 ( s substr <. 0 , l >. ) e. _V
17		df-pfx 11258	. . 3 |- prefix = ( s e. _V , l e. NN0 |-> ( s substr <. 0 , l >. ) )
18	17	fnmpo 6367	. 2 |- ( A. s e. _V A. l e. NN0 ( s substr <. 0 , l >. ) e. _V -> prefix Fn ( _V X. NN0 ) )
19	16, 18	ax-mp 5	1 |- prefix Fn ( _V X. NN0 )

Syntax hints:   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ifcif 3605   <.cop 3672   |-> cmpt 4150   X. cxp 4723   dom cdm 4725   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Fincfn 6909   0cc0 8032   + caddc 8035   - cmin 8350   NN0cn0 9402   ZZcz 9479  ..^cfzo 10377   substr csubstr 11230   prefix cpfx 11257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-substr 11231  df-pfx 11258

This theorem is referenced by:  pfxclz  11264