Theorem fnpfx 11432

Description: The domain of the prefix extractor. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fnpfx	|- prefix Fn ( _V X. NN0 )

Proof of Theorem fnpfx

Dummy variables s l x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . . 6 |- s e. _V
2		0zd 9639	. . . . . 6 |- ( l e. NN0 -> 0 e. ZZ )
3		nn0z 9647	. . . . . 6 |- ( l e. NN0 -> l e. ZZ )
4		swrdval 11403	. . . . . 6 |- ( ( s e. _V /\ 0 e. ZZ /\ l e. ZZ ) -> ( s substr <. 0 , l >. ) = if ( ( 0..^ l ) C_ dom s , ( x e. ( 0..^ ( l - 0 ) ) |-> ( s ` ( x + 0 ) ) ) , (/) ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an2i 1383	. . . . 5 |- ( l e. NN0 -> ( s substr <. 0 , l >. ) = if ( ( 0..^ l ) C_ dom s , ( x e. ( 0..^ ( l - 0 ) ) |-> ( s ` ( x + 0 ) ) ) , (/) ) )
6		0z 9638	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
7	3, 2	zsubcld 9756	. . . . . . . 8 |- ( l e. NN0 -> ( l - 0 ) e. ZZ )
8		fzofig 10852	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( l - 0 ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( l - 0 ) ) e. Fin )
9	6, 7, 8	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( l e. NN0 -> ( 0..^ ( l - 0 ) ) e. Fin )
10	9	mptexd 5938	. . . . . 6 |- ( l e. NN0 -> ( x e. ( 0..^ ( l - 0 ) ) |-> ( s ` ( x + 0 ) ) ) e. _V )
11		0ex 4258	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( l e. NN0 -> (/) e. _V )
13	10, 12	ifexd 4628	. . . . 5 |- ( l e. NN0 -> if ( ( 0..^ l ) C_ dom s , ( x e. ( 0..^ ( l - 0 ) ) |-> ( s ` ( x + 0 ) ) ) , (/) ) e. _V )
14	5, 13	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( l e. NN0 -> ( s substr <. 0 , l >. ) e. _V )
15	14	adantl 277	. . 3 |- ( ( s e. _V /\ l e. NN0 ) -> ( s substr <. 0 , l >. ) e. _V )
16	15	rgen2 2636	. 2 |- A. s e. _V A. l e. NN0 ( s substr <. 0 , l >. ) e. _V
17		df-pfx 11428	. . 3 |- prefix = ( s e. _V , l e. NN0 |-> ( s substr <. 0 , l >. ) )
18	17	fnmpo 6432	. 2 |- ( A. s e. _V A. l e. NN0 ( s substr <. 0 , l >. ) e. _V -> prefix Fn ( _V X. NN0 ) )
19	16, 18	ax-mp 5	1 |- prefix Fn ( _V X. NN0 )

Syntax hints:   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   <.cop 3711   |-> cmpt 4190   X. cxp 4770   dom cdm 4772   Fn wfn 5370   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Fincfn 7016   0cc0 8173   + caddc 8176   - cmin 8491   NN0cn0 9546   ZZcz 9627  ..^cfzo 10532   substr csubstr 11400   prefix cpfx 11427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-substr 11401  df-pfx 11428

This theorem is referenced by:  pfxclz  11434