Theorem pitoregt0 8036

Description: Embedding from N. to RR yields a number greater than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pitoregt0	|- ( N e. N. -> 0 <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )

Distinct variable group:   N, l, u

Proof of Theorem pitoregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7741	. . . . . 6 |- 1P e. P.
2		addclpr 7724	. . . . . 6 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		nnprlu 7740	. . . . 5 |- ( N e. N. -> <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. )
5		ltaddpr 7784	. . . . 5 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) )
7	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. N. -> 1P e. P. )
8		addassprg 7766	. . . . . 6 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. /\ <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) = ( 1P +P. ( 1P +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) ) )
9	7, 7, 4, 8	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( N e. N. -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) = ( 1P +P. ( 1P +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) ) )
10		addcomprg 7765	. . . . . . 7 |- ( ( 1P e. P. /\ <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. ) -> ( 1P +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) = ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) )
11	1, 4, 10	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. N. -> ( 1P +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) = ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) )
12	11	oveq2d 6017	. . . . 5 |- ( N e. N. -> ( 1P +P. ( 1P +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) ) = ( 1P +P. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) ) )
13	9, 12	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) = ( 1P +P. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) ) )
14	6, 13	breqtrd 4109	. . 3 |- ( N e. N. -> ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) ) )
15		addclpr 7724	. . . . 5 |- ( ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. )
16	4, 1, 15	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. )
17		ltsrprg 7934	. . . . 5 |- ( ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) ) ) )
18	1, 1, 17	mpanl12 436	. . . 4 |- ( ( ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) ) ) )
19	16, 1, 18	sylancl 413	. . 3 |- ( N e. N. -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) ) ) )
20	14, 19	mpbird 167	. 2 |- ( N e. N. -> [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
21		df-0 8006	. . . 4 |- 0 = <. 0R , 0R >.
22	21	breq1i 4090	. . 3 |- ( 0 <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )
23		ltresr 8026	. . 3 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <-> 0R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
24		df-0r 7918	. . . 4 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
25	24	breq1i 4090	. . 3 |- ( 0R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
26	22, 23, 25	3bitri 206	. 2 |- ( 0 <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <-> [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
27	20, 26	sylibr 134	1 |- ( N e. N. -> 0 <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   <.cop 3669   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   1oc1o 6555   [cec 6678   N.cnpi 7459   ~Q ceq 7466   <Q cltq 7472   P.cnp 7478   1Pc1p 7479   +P. cpp 7480   <P cltp 7482   ~R cer 7483   0Rc0r 7485   <R cltr 7490   0cc0 7999   <RR cltrr 8003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-1o 6562  df-2o 6563  df-oadd 6566  df-omul 6567  df-er 6680  df-ec 6682  df-qs 6686  df-ni 7491  df-pli 7492  df-mi 7493  df-lti 7494  df-plpq 7531  df-mpq 7532  df-enq 7534  df-nqqs 7535  df-plqqs 7536  df-mqqs 7537  df-1nqqs 7538  df-rq 7539  df-ltnqqs 7540  df-enq0 7611  df-nq0 7612  df-0nq0 7613  df-plq0 7614  df-mq0 7615  df-inp 7653  df-i1p 7654  df-iplp 7655  df-iltp 7657  df-enr 7913  df-nr 7914  df-ltr 7917  df-0r 7918  df-0 8006  df-r 8009  df-lt 8012

This theorem is referenced by:  recriota  8077