Theorem pitoregt0 8068

Description: Embedding from N. to RR yields a number greater than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pitoregt0	|- ( N e. N. -> 0 <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )

Distinct variable group:   N, l, u

Proof of Theorem pitoregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7773	. . . . . 6 |- 1P e. P.
2		addclpr 7756	. . . . . 6 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
4		nnprlu 7772	. . . . 5 |- ( N e. N. -> <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. )
5		ltaddpr 7816	. . . . 5 |- ( ( ( 1P +P. 1P ) e. P. /\ <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( 1P +P. 1P ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) )
7	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. N. -> 1P e. P. )
8		addassprg 7798	. . . . . 6 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. /\ <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) = ( 1P +P. ( 1P +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) ) )
9	7, 7, 4, 8	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( N e. N. -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) = ( 1P +P. ( 1P +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) ) )
10		addcomprg 7797	. . . . . . 7 |- ( ( 1P e. P. /\ <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. ) -> ( 1P +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) = ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) )
11	1, 4, 10	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. N. -> ( 1P +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) = ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) )
12	11	oveq2d 6033	. . . . 5 |- ( N e. N. -> ( 1P +P. ( 1P +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) ) = ( 1P +P. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) ) )
13	9, 12	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. ) = ( 1P +P. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) ) )
14	6, 13	breqtrd 4114	. . 3 |- ( N e. N. -> ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) ) )
15		addclpr 7756	. . . . 5 |- ( ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. )
16	4, 1, 15	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. N. -> ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. )
17		ltsrprg 7966	. . . . 5 |- ( ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) ) ) )
18	1, 1, 17	mpanl12 436	. . . 4 |- ( ( ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) ) ) )
19	16, 1, 18	sylancl 413	. . 3 |- ( N e. N. -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> ( 1P +P. 1P ) <P ( 1P +P. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) ) ) )
20	14, 19	mpbird 167	. 2 |- ( N e. N. -> [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
21		df-0 8038	. . . 4 |- 0 = <. 0R , 0R >.
22	21	breq1i 4095	. . 3 |- ( 0 <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <-> <. 0R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )
23		ltresr 8058	. . 3 |- ( <. 0R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <-> 0R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
24		df-0r 7950	. . . 4 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
25	24	breq1i 4095	. . 3 |- ( 0R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
26	22, 23, 25	3bitri 206	. 2 |- ( 0 <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <-> [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
27	20, 26	sylibr 134	1 |- ( N e. N. -> 0 <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cab 2217   <.cop 3672   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   1oc1o 6574   [cec 6699   N.cnpi 7491   ~Q ceq 7498   <Q cltq 7504   P.cnp 7510   1Pc1p 7511   +P. cpp 7512   <P cltp 7514   ~R cer 7515   0Rc0r 7517   <R cltr 7522   0cc0 8031   <RR cltrr 8035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-1o 6581  df-2o 6582  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-pli 7524  df-mi 7525  df-lti 7526  df-plpq 7563  df-mpq 7564  df-enq 7566  df-nqqs 7567  df-plqqs 7568  df-mqqs 7569  df-1nqqs 7570  df-rq 7571  df-ltnqqs 7572  df-enq0 7643  df-nq0 7644  df-0nq0 7645  df-plq0 7646  df-mq0 7647  df-inp 7685  df-i1p 7686  df-iplp 7687  df-iltp 7689  df-enr 7945  df-nr 7946  df-ltr 7949  df-0r 7950  df-0 8038  df-r 8041  df-lt 8044

This theorem is referenced by:  recriota  8109