Theorem prodf1f 11506

Description: A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodf1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
prodf1f	|- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) )

Proof of Theorem prodf1f

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodf1.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	prodf1 11505	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = 1 )
3		1ex 7915	. . . . 5 |- 1 e. _V
4	3	fvconst2 5712	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
5	2, 4	eqtr4d 2206	. . 3 |- ( k e. Z -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) )
6	5	rgen 2523	. 2 |- A. k e. Z ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k )
7		id 19	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
8		1cnd 7936	. . . . . . 7 |- ( k e. Z -> 1 e. CC )
9	4, 8	eqeltrd 2247	. . . . . 6 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) e. CC )
10	9	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. Z ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) e. CC )
11	1, 7, 10	prodf 11501	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) : Z --> CC )
12	11	ffnd 5348	. . 3 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) Fn Z )
13	3	fconst 5393	. . . 4 |- ( Z X. { 1 } ) : Z --> { 1 }
14		ffn 5347	. . . 4 |- ( ( Z X. { 1 } ) : Z --> { 1 } -> ( Z X. { 1 } ) Fn Z )
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( Z X. { 1 } ) Fn Z
16		eqfnfv 5593	. . 3 |- ( ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) Fn Z /\ ( Z X. { 1 } ) Fn Z ) -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) ) )
17	12, 15, 16	sylancl 411	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) ) )
18	6, 17	mpbiri 167	1 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   {csn 3583   X. cxp 4609   Fn wfn 5193   -->wf 5194   ` cfv 5198   CCcc 7772   1c1 7775   x. cmul 7779   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   seqcseq 10401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402

This theorem is referenced by:  prodfclim1  11507