Theorem prodf1f 12049

Description: A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodf1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
prodf1f	|- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) )

Proof of Theorem prodf1f

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodf1.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	prodf1 12048	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = 1 )
3		1ex 8137	. . . . 5 |- 1 e. _V
4	3	fvconst2 5854	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
5	2, 4	eqtr4d 2265	. . 3 |- ( k e. Z -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) )
6	5	rgen 2583	. 2 |- A. k e. Z ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k )
7		id 19	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
8		1cnd 8158	. . . . . . 7 |- ( k e. Z -> 1 e. CC )
9	4, 8	eqeltrd 2306	. . . . . 6 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) e. CC )
10	9	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. Z ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) e. CC )
11	1, 7, 10	prodf 12044	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) : Z --> CC )
12	11	ffnd 5473	. . 3 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) Fn Z )
13	3	fconst 5520	. . . 4 |- ( Z X. { 1 } ) : Z --> { 1 }
14		ffn 5472	. . . 4 |- ( ( Z X. { 1 } ) : Z --> { 1 } -> ( Z X. { 1 } ) Fn Z )
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( Z X. { 1 } ) Fn Z
16		eqfnfv 5731	. . 3 |- ( ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) Fn Z /\ ( Z X. { 1 } ) Fn Z ) -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) ) )
17	12, 15, 16	sylancl 413	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) ) )
18	6, 17	mpbiri 168	1 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {csn 3666   X. cxp 4716   Fn wfn 5312   -->wf 5313   ` cfv 5317   CCcc 7993   1c1 7996   x. cmul 8000   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   seqcseq 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665

This theorem is referenced by:  prodfclim1  12050