Theorem prodf1f 12103

Description: A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodf1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
prodf1f	|- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) )

Proof of Theorem prodf1f

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodf1.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	prodf1 12102	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = 1 )
3		1ex 8173	. . . . 5 |- 1 e. _V
4	3	fvconst2 5869	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
5	2, 4	eqtr4d 2267	. . 3 |- ( k e. Z -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) )
6	5	rgen 2585	. 2 |- A. k e. Z ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k )
7		id 19	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
8		1cnd 8194	. . . . . . 7 |- ( k e. Z -> 1 e. CC )
9	4, 8	eqeltrd 2308	. . . . . 6 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) e. CC )
10	9	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. Z ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) e. CC )
11	1, 7, 10	prodf 12098	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) : Z --> CC )
12	11	ffnd 5483	. . 3 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) Fn Z )
13	3	fconst 5532	. . . 4 |- ( Z X. { 1 } ) : Z --> { 1 }
14		ffn 5482	. . . 4 |- ( ( Z X. { 1 } ) : Z --> { 1 } -> ( Z X. { 1 } ) Fn Z )
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( Z X. { 1 } ) Fn Z
16		eqfnfv 5744	. . 3 |- ( ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) Fn Z /\ ( Z X. { 1 } ) Fn Z ) -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) ) )
17	12, 15, 16	sylancl 413	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) ) )
18	6, 17	mpbiri 168	1 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {csn 3669   X. cxp 4723   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326   CCcc 8029   1c1 8032   x. cmul 8036   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   seqcseq 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709

This theorem is referenced by:  prodfclim1  12104