Theorem prodf1f 12310

Description: A one-valued infinite product is equal to the constant one function. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodf1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
prodf1f	|- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) )

Proof of Theorem prodf1f

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodf1.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	prodf1 12309	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = 1 )
3		1ex 8321	. . . . 5 |- 1 e. _V
4	3	fvconst2 5931	. . . 4 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) = 1 )
5	2, 4	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( k e. Z -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) )
6	5	rgen 2603	. 2 |- A. k e. Z ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k )
7		id 19	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
8		1cnd 8342	. . . . . . 7 |- ( k e. Z -> 1 e. CC )
9	4, 8	eqeltrd 2315	. . . . . 6 |- ( k e. Z -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) e. CC )
10	9	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. Z ) -> ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) e. CC )
11	1, 7, 10	prodf 12305	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) : Z --> CC )
12	11	ffnd 5534	. . 3 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) Fn Z )
13	3	fconst 5588	. . . 4 |- ( Z X. { 1 } ) : Z --> { 1 }
14		ffn 5533	. . . 4 |- ( ( Z X. { 1 } ) : Z --> { 1 } -> ( Z X. { 1 } ) Fn Z )
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 |- ( Z X. { 1 } ) Fn Z
16		eqfnfv 5806	. . 3 |- ( ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) Fn Z /\ ( Z X. { 1 } ) Fn Z ) -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) ) )
17	12, 15, 16	sylancl 417	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) <-> A. k e. Z ( seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ` k ) = ( ( Z X. { 1 } ) ` k ) ) )
18	6, 17	mpbiri 168	1 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {csn 3709   X. cxp 4772   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377   CCcc 8177   1c1 8180   x. cmul 8184   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   seqcseq 10884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885

This theorem is used by:  prodfclim1  12311