Theorem prodfclim1 11543

Description: The constant one product converges to one. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodf1.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
prodfclim1	|- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ~~> 1 )

Proof of Theorem prodfclim1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodf1.1	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2	1	prodf1f 11542	. 2 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) = ( Z X. { 1 } ) )
3		ax-1cn 7899	. . 3 |- 1 e. CC
4	1	eqimss2i 3212	. . . 4 |- ( ZZ>= ` M ) C_ Z
5		zex 9256	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
6		uzssz 9541	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
7	5, 6	ssexi 4139	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2250	. . . 4 |- Z e. _V
9	4, 8	climconst2 11290	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ M e. ZZ ) -> ( Z X. { 1 } ) ~~> 1 )
10	3, 9	mpan 424	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( Z X. { 1 } ) ~~> 1 )
11	2, 10	eqbrtrd 4023	1 |- ( M e. ZZ -> seq M ( x. , ( Z X. { 1 } ) ) ~~> 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   {csn 3592   class class class wbr 4001   X. cxp 4622   ` cfv 5213   CCcc 7804   1c1 7807   x. cmul 7811   ZZcz 9247   ZZ>=cuz 9522   seqcseq 10438   ~~> cli 11277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-iinf 4585  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-mulrcl 7905  ax-addcom 7906  ax-mulcom 7907  ax-addass 7908  ax-mulass 7909  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-1rid 7913  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-precex 7916  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-apti 7921  ax-pre-ltadd 7922  ax-pre-mulgt0 7923  ax-pre-mulext 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-tr 4100  df-id 4291  df-po 4294  df-iso 4295  df-iord 4364  df-on 4366  df-ilim 4367  df-suc 4369  df-iom 4588  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-recs 6301  df-frec 6387  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-reap 8526  df-ap 8533  df-div 8624  df-inn 8914  df-2 8972  df-n0 9171  df-z 9248  df-uz 9523  df-rp 9648  df-fz 10003  df-fzo 10136  df-seqfrec 10439  df-exp 10513  df-cj 10842  df-rsqrt 10998  df-abs 10999  df-clim 11278

This theorem is referenced by:  prod0  11584  prod1dc  11585  climprod1  11594