Theorem pwssnf1o 13500

Description: Triviality of singleton powers: set equipollence. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssnf1o.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s {𝐼})
pwssnf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwssnf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
pwssnf1o.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwssnf1o	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwssnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssnf1o.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		basfn 13260	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
3		elex 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
5		funfvex 5686	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
6	5	funfni 5457	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
7	2, 4, 6	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑅) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrid 2319	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)
9		pwssnf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
10	9	mapsnf1o 6971	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 {𝐼}))
11	8, 10	sylancom 420	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 {𝐼}))
12		pwssnf1o.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑌)
13		snexg 4296	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → {𝐼} ∈ V)
14		pwssnf1o.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s {𝐼})
15	14, 1	pwsbas 13494	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝐵 ↑𝑚 {𝐼}) = (Base‘𝑌))
16	13, 15	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑𝑚 {𝐼}) = (Base‘𝑌))
17	12, 16	eqtr4id 2284	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐶 = (𝐵 ↑𝑚 {𝐼}))
18	17	f1oeq3d 5610	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 {𝐼})))
19	11, 18	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  {csn 3688   ↦ cmpt 4170   × cxp 4746   Fn wfn 5346  –1-1-onto→wf1o 5350  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ↑_𝑚 cmap 6881  Basecbs 13201   ↑_s cpws 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-ixp 6933  df-sup 7274  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-fz 10339  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-hom 13303  df-cco 13304  df-rest 13443  df-topn 13444  df-topgen 13462  df-pt 13463  df-prds 13469  df-pws 13492

This theorem is referenced by: (None)