Theorem pwssnf1o 13297

Description: Triviality of singleton powers: set equipollence. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssnf1o.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s {𝐼})
pwssnf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwssnf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
pwssnf1o.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwssnf1o	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem pwssnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssnf1o.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		basfn 13057	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
3		elex 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
5		funfvex 5620	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
6	5	funfni 5399	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
7	2, 4, 6	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑅) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrid 2296	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)
9		pwssnf1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ({𝐼} × {𝑥}))
10	9	mapsnf1o 6854	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 {𝐼}))
11	8, 10	sylancom 420	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 {𝐼}))
12		pwssnf1o.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑌)
13		snexg 4247	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → {𝐼} ∈ V)
14		pwssnf1o.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s {𝐼})
15	14, 1	pwsbas 13291	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝐵 ↑𝑚 {𝐼}) = (Base‘𝑌))
16	13, 15	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑𝑚 {𝐼}) = (Base‘𝑌))
17	12, 16	eqtr4id 2261	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐶 = (𝐵 ↑𝑚 {𝐼}))
18	17	f1oeq3d 5545	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 {𝐼})))
19	11, 18	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  Vcvv 2779  {csn 3646   ↦ cmpt 4124   × cxp 4694   Fn wfn 5289  –1-1-onto→wf1o 5293  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ↑_𝑚 cmap 6765  Basecbs 12998   ↑_s cpws 13265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-map 6767  df-ixp 6816  df-sup 7119  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-fz 10173  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-hom 13100  df-cco 13101  df-rest 13240  df-topn 13241  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-prds 13266  df-pws 13289

This theorem is referenced by: (None)