ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  q2txmodxeq0 Unicode version

Theorem q2txmodxeq0 10150
Description: Two times a positive number modulo the number is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
q2txmodxeq0  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
( ( 2  x.  X )  mod  X
)  =  0 )

Proof of Theorem q2txmodxeq0
StepHypRef Expression
1 2cnd 8786 . . . 4  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
2  e.  CC )
2 qcn 9419 . . . . 5  |-  ( X  e.  QQ  ->  X  e.  CC )
32adantr 274 . . . 4  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  ->  X  e.  CC )
4 qre 9410 . . . . . 6  |-  ( X  e.  QQ  ->  X  e.  RR )
54adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  ->  X  e.  RR )
6 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
0  <  X )
75, 6gt0ap0d 8384 . . . 4  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  ->  X #  0 )
81, 3, 7divcanap4d 8549 . . 3  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
( ( 2  x.  X )  /  X
)  =  2 )
9 2z 9075 . . 3  |-  2  e.  ZZ
108, 9syl6eqel 2228 . 2  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
( ( 2  x.  X )  /  X
)  e.  ZZ )
11 zq 9411 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  QQ )
129, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  2  e.  QQ
13 qmulcl 9422 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  QQ  /\  X  e.  QQ )  ->  ( 2  x.  X
)  e.  QQ )
1412, 13mpan 420 . . . 4  |-  ( X  e.  QQ  ->  (
2  x.  X )  e.  QQ )
1514adantr 274 . . 3  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
( 2  x.  X
)  e.  QQ )
16 simpl 108 . . 3  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  ->  X  e.  QQ )
17 modq0 10095 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  QQ  /\  X  e.  QQ  /\  0  <  X )  ->  (
( ( 2  x.  X )  mod  X
)  =  0  <->  (
( 2  x.  X
)  /  X )  e.  ZZ ) )
1815, 16, 6, 17syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
( ( ( 2  x.  X )  mod 
X )  =  0  <-> 
( ( 2  x.  X )  /  X
)  e.  ZZ ) )
1910, 18mpbird 166 1  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
( ( 2  x.  X )  mod  X
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613    x. cmul 7618    < clt 7793    / cdiv 8425   2c2 8764   ZZcz 9047   QQcq 9404    mod cmo 10088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405  df-rp 9435  df-fl 10036  df-mod 10089
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator