ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  q2txmodxeq0 Unicode version

Theorem q2txmodxeq0 9680
Description: Two times a positive number modulo the number is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
q2txmodxeq0  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
( ( 2  x.  X )  mod  X
)  =  0 )

Proof of Theorem q2txmodxeq0
StepHypRef Expression
1 2cnd 8389 . . . 4  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
2  e.  CC )
2 qcn 9014 . . . . 5  |-  ( X  e.  QQ  ->  X  e.  CC )
32adantr 270 . . . 4  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  ->  X  e.  CC )
4 qre 9005 . . . . . 6  |-  ( X  e.  QQ  ->  X  e.  RR )
54adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  ->  X  e.  RR )
6 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
0  <  X )
75, 6gt0ap0d 8005 . . . 4  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  ->  X #  0 )
81, 3, 7divcanap4d 8160 . . 3  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
( ( 2  x.  X )  /  X
)  =  2 )
9 2z 8674 . . 3  |-  2  e.  ZZ
108, 9syl6eqel 2173 . 2  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
( ( 2  x.  X )  /  X
)  e.  ZZ )
11 zq 9006 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  QQ )
129, 11ax-mp 7 . . . . 5  |-  2  e.  QQ
13 qmulcl 9017 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  QQ  /\  X  e.  QQ )  ->  ( 2  x.  X
)  e.  QQ )
1412, 13mpan 415 . . . 4  |-  ( X  e.  QQ  ->  (
2  x.  X )  e.  QQ )
1514adantr 270 . . 3  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
( 2  x.  X
)  e.  QQ )
16 simpl 107 . . 3  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  ->  X  e.  QQ )
17 modq0 9625 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  X
)  e.  QQ  /\  X  e.  QQ  /\  0  <  X )  ->  (
( ( 2  x.  X )  mod  X
)  =  0  <->  (
( 2  x.  X
)  /  X )  e.  ZZ ) )
1815, 16, 6, 17syl3anc 1170 . 2  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
( ( ( 2  x.  X )  mod 
X )  =  0  <-> 
( ( 2  x.  X )  /  X
)  e.  ZZ ) )
1910, 18mpbird 165 1  |-  ( ( X  e.  QQ  /\  0  <  X )  -> 
( ( 2  x.  X )  mod  X
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591   CCcc 7251   RRcr 7252   0cc0 7253    x. cmul 7258    < clt 7425    / cdiv 8037   2c2 8366   ZZcz 8646   QQcq 8999    mod cmo 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-n0 8566  df-z 8647  df-q 9000  df-rp 9030  df-fl 9566  df-mod 9619
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator