Theorem q2txmodxeq0 10278

Description: Two times a positive number modulo the number is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
q2txmodxeq0	|- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( 2 x. X ) mod X ) = 0 )

Proof of Theorem q2txmodxeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 8901	. . . 4 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> 2 e. CC )
2		qcn 9538	. . . . 5 |- ( X e. QQ -> X e. CC )
3	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> X e. CC )
4		qre 9529	. . . . . 6 |- ( X e. QQ -> X e. RR )
5	4	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> X e. RR )
6		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> 0 < X )
7	5, 6	gt0ap0d 8499	. . . 4 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> X # 0 )
8	1, 3, 7	divcanap4d 8664	. . 3 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( 2 x. X ) / X ) = 2 )
9		2z 9190	. . 3 |- 2 e. ZZ
10	8, 9	eqeltrdi 2248	. 2 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( 2 x. X ) / X ) e. ZZ )
11		zq 9530	. . . . . 6 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2 e. QQ
13		qmulcl 9541	. . . . 5 |- ( ( 2 e. QQ /\ X e. QQ ) -> ( 2 x. X ) e. QQ )
14	12, 13	mpan 421	. . . 4 |- ( X e. QQ -> ( 2 x. X ) e. QQ )
15	14	adantr 274	. . 3 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( 2 x. X ) e. QQ )
16		simpl 108	. . 3 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> X e. QQ )
17		modq0 10223	. . 3 |- ( ( ( 2 x. X ) e. QQ /\ X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( ( 2 x. X ) mod X ) = 0 <-> ( ( 2 x. X ) / X ) e. ZZ ) )
18	15, 16, 6, 17	syl3anc 1220	. 2 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( ( 2 x. X ) mod X ) = 0 <-> ( ( 2 x. X ) / X ) e. ZZ ) )
19	10, 18	mpbird 166	1 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( 2 x. X ) mod X ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   CCcc 7725   RRcr 7726   0cc0 7727   x. cmul 7732   < clt 7907   / cdiv 8540   2c2 8879   ZZcz 9162   QQcq 9523   mod cmo 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845  ax-arch 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-n0 9086  df-z 9163  df-q 9524  df-rp 9556  df-fl 10164  df-mod 10217

This theorem is referenced by: (None)