Theorem q2txmodxeq0 9680

Description: Two times a positive number modulo the number is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
q2txmodxeq0	|- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( 2 x. X ) mod X ) = 0 )

Proof of Theorem q2txmodxeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 8389	. . . 4 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> 2 e. CC )
2		qcn 9014	. . . . 5 |- ( X e. QQ -> X e. CC )
3	2	adantr 270	. . . 4 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> X e. CC )
4		qre 9005	. . . . . 6 |- ( X e. QQ -> X e. RR )
5	4	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> X e. RR )
6		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> 0 < X )
7	5, 6	gt0ap0d 8005	. . . 4 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> X # 0 )
8	1, 3, 7	divcanap4d 8160	. . 3 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( 2 x. X ) / X ) = 2 )
9		2z 8674	. . 3 |- 2 e. ZZ
10	8, 9	syl6eqel 2173	. 2 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( 2 x. X ) / X ) e. ZZ )
11		zq 9006	. . . . . 6 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
12	9, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- 2 e. QQ
13		qmulcl 9017	. . . . 5 |- ( ( 2 e. QQ /\ X e. QQ ) -> ( 2 x. X ) e. QQ )
14	12, 13	mpan 415	. . . 4 |- ( X e. QQ -> ( 2 x. X ) e. QQ )
15	14	adantr 270	. . 3 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( 2 x. X ) e. QQ )
16		simpl 107	. . 3 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> X e. QQ )
17		modq0 9625	. . 3 |- ( ( ( 2 x. X ) e. QQ /\ X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( ( 2 x. X ) mod X ) = 0 <-> ( ( 2 x. X ) / X ) e. ZZ ) )
18	15, 16, 6, 17	syl3anc 1170	. 2 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( ( 2 x. X ) mod X ) = 0 <-> ( ( 2 x. X ) / X ) e. ZZ ) )
19	10, 18	mpbird 165	1 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( 2 x. X ) mod X ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591   CCcc 7251   RRcr 7252   0cc0 7253   x. cmul 7258   < clt 7425   / cdiv 8037   2c2 8366   ZZcz 8646   QQcq 8999   mod cmo 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-n0 8566  df-z 8647  df-q 9000  df-rp 9030  df-fl 9566  df-mod 9619

This theorem is referenced by: (None)