Theorem q2txmodxeq0 9791

Description: Two times a positive number modulo the number is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
q2txmodxeq0	|- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( 2 x. X ) mod X ) = 0 )

Proof of Theorem q2txmodxeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 8495	. . . 4 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> 2 e. CC )
2		qcn 9119	. . . . 5 |- ( X e. QQ -> X e. CC )
3	2	adantr 270	. . . 4 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> X e. CC )
4		qre 9110	. . . . . 6 |- ( X e. QQ -> X e. RR )
5	4	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> X e. RR )
6		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> 0 < X )
7	5, 6	gt0ap0d 8105	. . . 4 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> X # 0 )
8	1, 3, 7	divcanap4d 8263	. . 3 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( 2 x. X ) / X ) = 2 )
9		2z 8778	. . 3 |- 2 e. ZZ
10	8, 9	syl6eqel 2178	. 2 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( 2 x. X ) / X ) e. ZZ )
11		zq 9111	. . . . . 6 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
12	9, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- 2 e. QQ
13		qmulcl 9122	. . . . 5 |- ( ( 2 e. QQ /\ X e. QQ ) -> ( 2 x. X ) e. QQ )
14	12, 13	mpan 415	. . . 4 |- ( X e. QQ -> ( 2 x. X ) e. QQ )
15	14	adantr 270	. . 3 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( 2 x. X ) e. QQ )
16		simpl 107	. . 3 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> X e. QQ )
17		modq0 9736	. . 3 |- ( ( ( 2 x. X ) e. QQ /\ X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( ( 2 x. X ) mod X ) = 0 <-> ( ( 2 x. X ) / X ) e. ZZ ) )
18	15, 16, 6, 17	syl3anc 1174	. 2 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( ( 2 x. X ) mod X ) = 0 <-> ( ( 2 x. X ) / X ) e. ZZ ) )
19	10, 18	mpbird 165	1 |- ( ( X e. QQ /\ 0 < X ) -> ( ( 2 x. X ) mod X ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   CCcc 7348   RRcr 7349   0cc0 7350   x. cmul 7355   < clt 7522   / cdiv 8139   2c2 8473   ZZcz 8750   QQcq 9104   mod cmo 9729

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-n0 8674  df-z 8751  df-q 9105  df-rp 9135  df-fl 9677  df-mod 9730

This theorem is referenced by: (None)