Theorem q2txmodxeq0 10614

Description: Two times a positive number modulo the number is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
q2txmodxeq0	⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → ((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0)

Proof of Theorem q2txmodxeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 9191	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
2		qcn 9837	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → 𝑋 ∈ ℂ)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
4		qre 9828	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → 𝑋 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 0 < 𝑋)
7	5, 6	gt0ap0d 8784	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 # 0)
8	1, 3, 7	divcanap4d 8951	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → ((2 · 𝑋) / 𝑋) = 2)
9		2z 9482	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
10	8, 9	eqeltrdi 2320	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → ((2 · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℤ)
11		zq 9829	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℚ
13		qmulcl 9840	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑋 ∈ ℚ) → (2 · 𝑋) ∈ ℚ)
14	12, 13	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → (2 · 𝑋) ∈ ℚ)
15	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → (2 · 𝑋) ∈ ℚ)
16		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℚ)
17		modq0 10559	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℚ ∧ 𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → (((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0 ↔ ((2 · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℤ))
18	15, 16, 6, 17	syl3anc 1271	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → (((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0 ↔ ((2 · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℤ))
19	10, 18	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → ((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  ℝcr 8006  0cc0 8007   · cmul 8012   < clt 8189   / cdiv 8827  2c2 9169  ℤcz 9454  ℚcq 9822   mod cmo 10552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-n0 9378  df-z 9455  df-q 9823  df-rp 9858  df-fl 10498  df-mod 10553

This theorem is referenced by: (None)