Theorem q2txmodxeq0 10573

Description: Two times a positive number modulo the number is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
q2txmodxeq0	⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → ((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0)

Proof of Theorem q2txmodxeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 9151	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
2		qcn 9797	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → 𝑋 ∈ ℂ)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
4		qre 9788	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → 𝑋 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 0 < 𝑋)
7	5, 6	gt0ap0d 8744	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 # 0)
8	1, 3, 7	divcanap4d 8911	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → ((2 · 𝑋) / 𝑋) = 2)
9		2z 9442	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
10	8, 9	eqeltrdi 2300	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → ((2 · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℤ)
11		zq 9789	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℚ
13		qmulcl 9800	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑋 ∈ ℚ) → (2 · 𝑋) ∈ ℚ)
14	12, 13	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → (2 · 𝑋) ∈ ℚ)
15	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → (2 · 𝑋) ∈ ℚ)
16		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℚ)
17		modq0 10518	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℚ ∧ 𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → (((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0 ↔ ((2 · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℤ))
18	15, 16, 6, 17	syl3anc 1252	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → (((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0 ↔ ((2 · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℤ))
19	10, 18	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → ((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974  ℂcc 7965  ℝcr 7966  0cc0 7967   · cmul 7972   < clt 8149   / cdiv 8787  2c2 9129  ℤcz 9414  ℚcq 9782   mod cmo 10511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-n0 9338  df-z 9415  df-q 9783  df-rp 9818  df-fl 10457  df-mod 10512

This theorem is referenced by: (None)