Theorem q2txmodxeq0 10333

Description: Two times a positive number modulo the number is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
q2txmodxeq0	⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → ((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0)

Proof of Theorem q2txmodxeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 8944	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
2		qcn 9586	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → 𝑋 ∈ ℂ)
3	2	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
4		qre 9577	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → 𝑋 ∈ ℝ)
5	4	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 0 < 𝑋)
7	5, 6	gt0ap0d 8541	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 # 0)
8	1, 3, 7	divcanap4d 8706	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → ((2 · 𝑋) / 𝑋) = 2)
9		2z 9233	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
10	8, 9	eqeltrdi 2261	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → ((2 · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℤ)
11		zq 9578	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℚ
13		qmulcl 9589	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑋 ∈ ℚ) → (2 · 𝑋) ∈ ℚ)
14	12, 13	mpan 422	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → (2 · 𝑋) ∈ ℚ)
15	14	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → (2 · 𝑋) ∈ ℚ)
16		simpl 108	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ℚ)
17		modq0 10278	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℚ ∧ 𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → (((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0 ↔ ((2 · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℤ))
18	15, 16, 6, 17	syl3anc 1233	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → (((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0 ↔ ((2 · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℤ))
19	10, 18	mpbird 166	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑋) → ((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851  ℂcc 7765  ℝcr 7766  0cc0 7767   · cmul 7772   < clt 7947   / cdiv 8582  2c2 8922  ℤcz 9205  ℚcq 9571   mod cmo 10271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-n0 9129  df-z 9206  df-q 9572  df-rp 9604  df-fl 10219  df-mod 10272

This theorem is referenced by: (None)