Theorem gausslemma2dlem4 16400

Description: Lemma 4 for gausslemma2d 16405. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem4	|- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k   x, M, k   P, k

Allowed substitution hint:   R( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . 3 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3		gausslemma2d.r	. . 3 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
4	1, 2, 3	gausslemma2dlem1 16397	. 2 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
5		gausslemma2d.m	. . . . . 6 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
6		3lt4 9489	. . . . . . . 8 |- 3 < 4
7		breq1 4134	. . . . . . . 8 |- ( P = 3 -> ( P < 4 <-> 3 < 4 ) )
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( P = 3 -> P < 4 )
9		3nn0 9593	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
10		eleq1 2301	. . . . . . . . 9 |- ( P = 3 -> ( P e. NN0 <-> 3 e. NN0 ) )
11	9, 10	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( P = 3 -> P e. NN0 )
12		4nn 9480	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
13		divfl0 10753	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( P < 4 <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 ) )
14	11, 12, 13	sylancl 417	. . . . . . 7 |- ( P = 3 -> ( P < 4 <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 ) )
15	8, 14	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( P = 3 -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 )
16	5, 15	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( P = 3 -> M = 0 )
17		oveq2 6096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = 0 -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... 0 ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... 0 ) )
19		fz10 10468	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
20	18, 19	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... M ) = (/) )
21	20	prodeq1d 12357	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = prod_ k e. (/) ( R ` k ) )
22		prod0 12378	. . . . . . . . 9 |- prod_ k e. (/) ( R ` k ) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = 1 )
24		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = 0 -> ( M + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( M + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
26		0p1e1 9428	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
27	25, 26	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( M + 1 ) = 1 )
28	27	oveq1d 6103	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( ( M + 1 ) ... H ) = ( 1 ... H ) )
29	28	prodeq1d 12357	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
30	23, 29	oveq12d 6106	. . . . . . 7 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) = ( 1 x. prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) ) )
31		1zzd 9683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
32	1, 2	gausslemma2dlem0b 16386	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H e. NN )
33	32	nnzd 9779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ZZ )
34	31, 33	fzfigd 10890	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... H ) e. Fin )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... H ) e. Fin )
36		oveq1 6095	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = k -> ( x x. 2 ) = ( k x. 2 ) )
37	36	breq1d 4141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
38	36	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
39	37, 36, 38	ifbieq12d 3667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. ( 1 ... H ) )
41	40	elfzelzd 10447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. ZZ )
42		2z 9684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. ZZ
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
44	41, 43	zmulcld 9786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
45	1	eldifad 3231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. Prime )
46		prmz 12915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ZZ )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> P e. ZZ )
49	48, 44	zsubcld 9785	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
50		zq 10043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k x. 2 ) e. ZZ -> ( k x. 2 ) e. QQ )
51	44, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. QQ )
52		2nn 9478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. NN
53		znq 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
54	47, 52, 53	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P / 2 ) e. QQ )
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
56		qdclt 10698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k x. 2 ) e. QQ /\ ( P / 2 ) e. QQ ) -> DECID ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
57	51, 55, 56	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> DECID ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
58	44, 49, 57	ifcldcd 3678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) e. ZZ )
59	3, 39, 40, 58	fvmptd3 5802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
60	59, 58	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
61	60	zcnd 9781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
62	61	adantll 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M = 0 /\ ph ) /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
63	35, 62	fprodcl 12400	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) e. CC )
64	63	mullidd 8351	. . . . . . 7 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 x. prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
65	30, 64	eqtr2d 2272	. . . . . 6 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
66	65	ex 115	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
67	16, 66	syl 14	. . . 4 |- ( P = 3 -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
68	67	impcom 125	. . 3 |- ( ( ph /\ P = 3 ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
69	1, 5	gausslemma2dlem0d 16388	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN0 )
70	69	nn0red 9633	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
71	70	ltp1d 9269	. . . . . . 7 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
72		fzdisj 10475	. . . . . . 7 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
73	71, 72	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
74	73	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
75		eluzelz 9948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> P e. ZZ )
76		znq 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
77	75, 12, 76	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
78	77	flqcld 10732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
79		nnrp 10082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
80	12, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 4 e. RR+
81		eluzelre 9949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> P e. RR )
82		eluz2 9944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) <-> ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 5 <_ P ) )
83		4lt5 9492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 < 5
84		4re 9391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 4 e. RR
85		5re 9393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 5 e. RR
86	85	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> 5 e. RR )
87		zre 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ZZ -> P e. RR )
88	87	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> P e. RR )
89		ltleletr 8414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 4 e. RR /\ 5 e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( 4 < 5 /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P ) )
90	84, 86, 88, 89	mp3an2i 1383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 4 < 5 /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P ) )
91	83, 90	mpani 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 5 <_ P -> 4 <_ P ) )
92	91	3impia 1231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P )
93	82, 92	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 4 <_ P )
94		divge1 10142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 4 e. RR+ /\ P e. RR /\ 4 <_ P ) -> 1 <_ ( P / 4 ) )
95	80, 81, 93, 94	mp3an2i 1383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 <_ ( P / 4 ) )
96		1zzd 9683	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 e. ZZ )
97		flqge 10737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P / 4 ) e. QQ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 1 <_ ( P / 4 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
98	77, 96, 97	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( 1 <_ ( P / 4 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
99	95, 98	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) )
100		elnnz1 9679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
101	78, 99, 100	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN )
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN )
103		oddprm 13068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
104	103	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
105		eldifi 3351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
106		prmuz2 12936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
109		fldiv4lem1div2uz2 10763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
111	102, 104, 110	3jca 1208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
112	111	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
113	1, 112	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
114	113	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
115	2	oveq2i 6099	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... H ) = ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) )
116	5, 115	eleq12i 2306	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 1 ... H ) <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
117		elfz1b 10515	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
118	116, 117	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 1 ... H ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
119	114, 118	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> M e. ( 1 ... H ) )
120		fzsplit 10474	. . . . . 6 |- ( M e. ( 1 ... H ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
121	119, 120	syl 14	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
122	34	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( 1 ... H ) e. Fin )
123	61	adantll 480	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
124	74, 121, 122, 123	fprodsplit 12390	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
125	124	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ph /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
126		2re 9384	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
127	126	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
128		oddprmgt2 12939	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 < P )
129	1, 128	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 < P )
130	127, 129	gtned 8446	. . . . 5 |- ( ph -> P =/= 2 )
131	130	neneqd 2441	. . . 4 |- ( ph -> -. P = 2 )
132		prm23ge5 13073	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
133	45, 132	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
134		3orass 1012	. . . . . 6 |- ( ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) <-> ( P = 2 \/ ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
135	133, 134	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( P = 2 \/ ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
136	135	ord 736	. . . 4 |- ( ph -> ( -. P = 2 -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
137	131, 136	mpd 13	. . 3 |- ( ph -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
138	68, 125, 137	mpjaodan 810	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
139	4, 138	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   \/ w3o 1008   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   ifcif 3638   {csn 3709   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7027   CCcc 8184   RRcr 8185   0cc0 8186   1c1 8187   + caddc 8189   x. cmul 8191   < clt 8367   <_ cle 8368   - cmin 8505   / cdiv 9011   NNcn 9314   2c2 9365   3c3 9366   4c4 9367   5c5 9368   NN0cn0 9575   ZZcz 9656   ZZ>=cuz 9938   QQcq 10036   RR+crp 10072   ...cfz 10429   |_cfl 10721   !cfa 11186   prod_cprod 12343   Primecprime 12911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-ioo 10312  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-fac 11187  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-proddc 12344  df-dvds 12581  df-prm 12912

This theorem is used by:  gausslemma2dlem6  16403