Theorem gausslemma2dlem4 15863

Description: Lemma 4 for gausslemma2d 15868. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem4	|- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k   x, M, k   P, k

Allowed substitution hint:   R( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . 3 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3		gausslemma2d.r	. . 3 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
4	1, 2, 3	gausslemma2dlem1 15860	. 2 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
5		gausslemma2d.m	. . . . . 6 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
6		3lt4 9359	. . . . . . . 8 |- 3 < 4
7		breq1 4096	. . . . . . . 8 |- ( P = 3 -> ( P < 4 <-> 3 < 4 ) )
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( P = 3 -> P < 4 )
9		3nn0 9463	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
10		eleq1 2294	. . . . . . . . 9 |- ( P = 3 -> ( P e. NN0 <-> 3 e. NN0 ) )
11	9, 10	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( P = 3 -> P e. NN0 )
12		4nn 9350	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
13		divfl0 10600	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( P < 4 <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 ) )
14	11, 12, 13	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( P = 3 -> ( P < 4 <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 ) )
15	8, 14	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( P = 3 -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 )
16	5, 15	eqtrid 2276	. . . . 5 |- ( P = 3 -> M = 0 )
17		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = 0 -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... 0 ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... 0 ) )
19		fz10 10324	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
20	18, 19	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... M ) = (/) )
21	20	prodeq1d 12186	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = prod_ k e. (/) ( R ` k ) )
22		prod0 12207	. . . . . . . . 9 |- prod_ k e. (/) ( R ` k ) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = 1 )
24		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = 0 -> ( M + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( M + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
26		0p1e1 9300	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
27	25, 26	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( M + 1 ) = 1 )
28	27	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( ( M + 1 ) ... H ) = ( 1 ... H ) )
29	28	prodeq1d 12186	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
30	23, 29	oveq12d 6046	. . . . . . 7 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) = ( 1 x. prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) ) )
31		1zzd 9549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
32	1, 2	gausslemma2dlem0b 15849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H e. NN )
33	32	nnzd 9644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ZZ )
34	31, 33	fzfigd 10737	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... H ) e. Fin )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... H ) e. Fin )
36		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = k -> ( x x. 2 ) = ( k x. 2 ) )
37	36	breq1d 4103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
38	36	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
39	37, 36, 38	ifbieq12d 3636	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. ( 1 ... H ) )
41	40	elfzelzd 10304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. ZZ )
42		2z 9550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. ZZ
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
44	41, 43	zmulcld 9651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
45	1	eldifad 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. Prime )
46		prmz 12744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ZZ )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> P e. ZZ )
49	48, 44	zsubcld 9650	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
50		zq 9903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k x. 2 ) e. ZZ -> ( k x. 2 ) e. QQ )
51	44, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. QQ )
52		2nn 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. NN
53		znq 9901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
54	47, 52, 53	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P / 2 ) e. QQ )
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
56		qdclt 10549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k x. 2 ) e. QQ /\ ( P / 2 ) e. QQ ) -> DECID ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
57	51, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> DECID ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
58	44, 49, 57	ifcldcd 3647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) e. ZZ )
59	3, 39, 40, 58	fvmptd3 5749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
60	59, 58	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
61	60	zcnd 9646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
62	61	adantll 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M = 0 /\ ph ) /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
63	35, 62	fprodcl 12229	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) e. CC )
64	63	mullidd 8240	. . . . . . 7 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 x. prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
65	30, 64	eqtr2d 2265	. . . . . 6 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
66	65	ex 115	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
67	16, 66	syl 14	. . . 4 |- ( P = 3 -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
68	67	impcom 125	. . 3 |- ( ( ph /\ P = 3 ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
69	1, 5	gausslemma2dlem0d 15851	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN0 )
70	69	nn0red 9499	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
71	70	ltp1d 9153	. . . . . . 7 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
72		fzdisj 10330	. . . . . . 7 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
73	71, 72	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
74	73	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
75		eluzelz 9808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> P e. ZZ )
76		znq 9901	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
77	75, 12, 76	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
78	77	flqcld 10581	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
79		nnrp 9941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
80	12, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 4 e. RR+
81		eluzelre 9809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> P e. RR )
82		eluz2 9804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) <-> ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 5 <_ P ) )
83		4lt5 9362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 < 5
84		4re 9263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 4 e. RR
85		5re 9265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 5 e. RR
86	85	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> 5 e. RR )
87		zre 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ZZ -> P e. RR )
88	87	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> P e. RR )
89		ltleletr 8304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 4 e. RR /\ 5 e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( 4 < 5 /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P ) )
90	84, 86, 88, 89	mp3an2i 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 4 < 5 /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P ) )
91	83, 90	mpani 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 5 <_ P -> 4 <_ P ) )
92	91	3impia 1227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P )
93	82, 92	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 4 <_ P )
94		divge1 10001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 4 e. RR+ /\ P e. RR /\ 4 <_ P ) -> 1 <_ ( P / 4 ) )
95	80, 81, 93, 94	mp3an2i 1379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 <_ ( P / 4 ) )
96		1zzd 9549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 e. ZZ )
97		flqge 10586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P / 4 ) e. QQ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 1 <_ ( P / 4 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
98	77, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( 1 <_ ( P / 4 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
99	95, 98	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) )
100		elnnz1 9545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
101	78, 99, 100	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN )
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN )
103		oddprm 12893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
104	103	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
105		eldifi 3331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
106		prmuz2 12764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
109		fldiv4lem1div2uz2 10610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
111	102, 104, 110	3jca 1204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
112	111	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
113	1, 112	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
114	113	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
115	2	oveq2i 6039	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... H ) = ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) )
116	5, 115	eleq12i 2299	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 1 ... H ) <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
117		elfz1b 10368	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
118	116, 117	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 1 ... H ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
119	114, 118	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> M e. ( 1 ... H ) )
120		fzsplit 10329	. . . . . 6 |- ( M e. ( 1 ... H ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
121	119, 120	syl 14	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
122	34	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( 1 ... H ) e. Fin )
123	61	adantll 476	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
124	74, 121, 122, 123	fprodsplit 12219	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
125	124	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ph /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
126		2re 9256	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
127	126	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
128		oddprmgt2 12767	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 < P )
129	1, 128	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 < P )
130	127, 129	gtned 8335	. . . . 5 |- ( ph -> P =/= 2 )
131	130	neneqd 2424	. . . 4 |- ( ph -> -. P = 2 )
132		prm23ge5 12898	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
133	45, 132	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
134		3orass 1008	. . . . . 6 |- ( ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) <-> ( P = 2 \/ ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
135	133, 134	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( P = 2 \/ ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
136	135	ord 732	. . . 4 |- ( ph -> ( -. P = 2 -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
137	131, 136	mpd 13	. . 3 |- ( ph -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
138	68, 125, 137	mpjaodan 806	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
139	4, 138	eqtrd 2264	1 |- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   \/ w3o 1004   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   \ cdif 3198   u. cun 3199   i^i cin 3200   (/)c0 3496   ifcif 3607   {csn 3673   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   < clt 8257   <_ cle 8258   - cmin 8393   / cdiv 8895   NNcn 9186   2c2 9237   3c3 9238   4c4 9239   5c5 9240   NN0cn0 9445   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798   QQcq 9896   RR+crp 9931   ...cfz 10286   |_cfl 10572   !cfa 11031   prod_cprod 12172   Primecprime 12740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-ioo 10170  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-fac 11032  df-ihash 11082  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-proddc 12173  df-dvds 12410  df-prm 12741

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  15866