Theorem gausslemma2dlem4 15764

Description: Lemma 4 for gausslemma2d 15769. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem4	|- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k   x, M, k   P, k

Allowed substitution hint:   R( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . 3 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3		gausslemma2d.r	. . 3 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
4	1, 2, 3	gausslemma2dlem1 15761	. 2 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
5		gausslemma2d.m	. . . . . 6 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
6		3lt4 9299	. . . . . . . 8 |- 3 < 4
7		breq1 4086	. . . . . . . 8 |- ( P = 3 -> ( P < 4 <-> 3 < 4 ) )
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( P = 3 -> P < 4 )
9		3nn0 9403	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
10		eleq1 2292	. . . . . . . . 9 |- ( P = 3 -> ( P e. NN0 <-> 3 e. NN0 ) )
11	9, 10	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( P = 3 -> P e. NN0 )
12		4nn 9290	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
13		divfl0 10533	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( P < 4 <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 ) )
14	11, 12, 13	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( P = 3 -> ( P < 4 <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 ) )
15	8, 14	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( P = 3 -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 )
16	5, 15	eqtrid 2274	. . . . 5 |- ( P = 3 -> M = 0 )
17		oveq2 6018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = 0 -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... 0 ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... 0 ) )
19		fz10 10259	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
20	18, 19	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... M ) = (/) )
21	20	prodeq1d 12096	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = prod_ k e. (/) ( R ` k ) )
22		prod0 12117	. . . . . . . . 9 |- prod_ k e. (/) ( R ` k ) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2278	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = 1 )
24		oveq1 6017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = 0 -> ( M + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( M + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
26		0p1e1 9240	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
27	25, 26	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( M + 1 ) = 1 )
28	27	oveq1d 6025	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( ( M + 1 ) ... H ) = ( 1 ... H ) )
29	28	prodeq1d 12096	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
30	23, 29	oveq12d 6028	. . . . . . 7 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) = ( 1 x. prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) ) )
31		1zzd 9489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
32	1, 2	gausslemma2dlem0b 15750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H e. NN )
33	32	nnzd 9584	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ZZ )
34	31, 33	fzfigd 10670	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... H ) e. Fin )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... H ) e. Fin )
36		oveq1 6017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = k -> ( x x. 2 ) = ( k x. 2 ) )
37	36	breq1d 4093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
38	36	oveq2d 6026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
39	37, 36, 38	ifbieq12d 3629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. ( 1 ... H ) )
41	40	elfzelzd 10239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. ZZ )
42		2z 9490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. ZZ
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
44	41, 43	zmulcld 9591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
45	1	eldifad 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. Prime )
46		prmz 12654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ZZ )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> P e. ZZ )
49	48, 44	zsubcld 9590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
50		zq 9838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k x. 2 ) e. ZZ -> ( k x. 2 ) e. QQ )
51	44, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. QQ )
52		2nn 9288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. NN
53		znq 9836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
54	47, 52, 53	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P / 2 ) e. QQ )
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
56		qdclt 10482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k x. 2 ) e. QQ /\ ( P / 2 ) e. QQ ) -> DECID ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
57	51, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> DECID ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
58	44, 49, 57	ifcldcd 3640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) e. ZZ )
59	3, 39, 40, 58	fvmptd3 5733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
60	59, 58	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
61	60	zcnd 9586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
62	61	adantll 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M = 0 /\ ph ) /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
63	35, 62	fprodcl 12139	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) e. CC )
64	63	mullidd 8180	. . . . . . 7 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 x. prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
65	30, 64	eqtr2d 2263	. . . . . 6 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
66	65	ex 115	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
67	16, 66	syl 14	. . . 4 |- ( P = 3 -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
68	67	impcom 125	. . 3 |- ( ( ph /\ P = 3 ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
69	1, 5	gausslemma2dlem0d 15752	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN0 )
70	69	nn0red 9439	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
71	70	ltp1d 9093	. . . . . . 7 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
72		fzdisj 10265	. . . . . . 7 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
73	71, 72	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
74	73	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
75		eluzelz 9748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> P e. ZZ )
76		znq 9836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
77	75, 12, 76	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
78	77	flqcld 10514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
79		nnrp 9876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
80	12, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 4 e. RR+
81		eluzelre 9749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> P e. RR )
82		eluz2 9744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) <-> ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 5 <_ P ) )
83		4lt5 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 < 5
84		4re 9203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 4 e. RR
85		5re 9205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 5 e. RR
86	85	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> 5 e. RR )
87		zre 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ZZ -> P e. RR )
88	87	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> P e. RR )
89		ltleletr 8244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 4 e. RR /\ 5 e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( 4 < 5 /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P ) )
90	84, 86, 88, 89	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 4 < 5 /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P ) )
91	83, 90	mpani 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 5 <_ P -> 4 <_ P ) )
92	91	3impia 1224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P )
93	82, 92	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 4 <_ P )
94		divge1 9936	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 4 e. RR+ /\ P e. RR /\ 4 <_ P ) -> 1 <_ ( P / 4 ) )
95	80, 81, 93, 94	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 <_ ( P / 4 ) )
96		1zzd 9489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 e. ZZ )
97		flqge 10519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P / 4 ) e. QQ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 1 <_ ( P / 4 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
98	77, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( 1 <_ ( P / 4 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
99	95, 98	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) )
100		elnnz1 9485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
101	78, 99, 100	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN )
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN )
103		oddprm 12803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
104	103	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
105		eldifi 3326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
106		prmuz2 12674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
109		fldiv4lem1div2uz2 10543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
111	102, 104, 110	3jca 1201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
112	111	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
113	1, 112	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
114	113	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
115	2	oveq2i 6021	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... H ) = ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) )
116	5, 115	eleq12i 2297	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 1 ... H ) <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
117		elfz1b 10303	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
118	116, 117	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 1 ... H ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
119	114, 118	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> M e. ( 1 ... H ) )
120		fzsplit 10264	. . . . . 6 |- ( M e. ( 1 ... H ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
121	119, 120	syl 14	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
122	34	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( 1 ... H ) e. Fin )
123	61	adantll 476	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
124	74, 121, 122, 123	fprodsplit 12129	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
125	124	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ph /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
126		2re 9196	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
127	126	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
128		oddprmgt2 12677	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 < P )
129	1, 128	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 < P )
130	127, 129	gtned 8275	. . . . 5 |- ( ph -> P =/= 2 )
131	130	neneqd 2421	. . . 4 |- ( ph -> -. P = 2 )
132		prm23ge5 12808	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
133	45, 132	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
134		3orass 1005	. . . . . 6 |- ( ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) <-> ( P = 2 \/ ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
135	133, 134	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( P = 2 \/ ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
136	135	ord 729	. . . 4 |- ( ph -> ( -. P = 2 -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
137	131, 136	mpd 13	. . 3 |- ( ph -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
138	68, 125, 137	mpjaodan 803	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
139	4, 138	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   \/ w3o 1001   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   \ cdif 3194   u. cun 3195   i^i cin 3196   (/)c0 3491   ifcif 3602   {csn 3666   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   Fincfn 6900   CCcc 8013   RRcr 8014   0cc0 8015   1c1 8016   + caddc 8018   x. cmul 8020   < clt 8197   <_ cle 8198   - cmin 8333   / cdiv 8835   NNcn 9126   2c2 9177   3c3 9178   4c4 9179   5c5 9180   NN0cn0 9385   ZZcz 9462   ZZ>=cuz 9738   QQcq 9831   RR+crp 9866   ...cfz 10221   |_cfl 10505   !cfa 10964   prod_cprod 12082   Primecprime 12650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-ioo 10105  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-fac 10965  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-proddc 12083  df-dvds 12320  df-prm 12651

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  15767