Theorem gausslemma2dlem4 15786

Description: Lemma 4 for gausslemma2d 15791. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem4	|- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k   x, M, k   P, k

Allowed substitution hint:   R( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . 3 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3		gausslemma2d.r	. . 3 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
4	1, 2, 3	gausslemma2dlem1 15783	. 2 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
5		gausslemma2d.m	. . . . . 6 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
6		3lt4 9309	. . . . . . . 8 |- 3 < 4
7		breq1 4089	. . . . . . . 8 |- ( P = 3 -> ( P < 4 <-> 3 < 4 ) )
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( P = 3 -> P < 4 )
9		3nn0 9413	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
10		eleq1 2292	. . . . . . . . 9 |- ( P = 3 -> ( P e. NN0 <-> 3 e. NN0 ) )
11	9, 10	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( P = 3 -> P e. NN0 )
12		4nn 9300	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
13		divfl0 10549	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( P < 4 <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 ) )
14	11, 12, 13	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( P = 3 -> ( P < 4 <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 ) )
15	8, 14	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( P = 3 -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 )
16	5, 15	eqtrid 2274	. . . . 5 |- ( P = 3 -> M = 0 )
17		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = 0 -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... 0 ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... 0 ) )
19		fz10 10274	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
20	18, 19	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... M ) = (/) )
21	20	prodeq1d 12118	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = prod_ k e. (/) ( R ` k ) )
22		prod0 12139	. . . . . . . . 9 |- prod_ k e. (/) ( R ` k ) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2278	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = 1 )
24		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = 0 -> ( M + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( M + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
26		0p1e1 9250	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
27	25, 26	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( M + 1 ) = 1 )
28	27	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( ( M + 1 ) ... H ) = ( 1 ... H ) )
29	28	prodeq1d 12118	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
30	23, 29	oveq12d 6031	. . . . . . 7 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) = ( 1 x. prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) ) )
31		1zzd 9499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
32	1, 2	gausslemma2dlem0b 15772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H e. NN )
33	32	nnzd 9594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ZZ )
34	31, 33	fzfigd 10686	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... H ) e. Fin )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... H ) e. Fin )
36		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = k -> ( x x. 2 ) = ( k x. 2 ) )
37	36	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
38	36	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
39	37, 36, 38	ifbieq12d 3630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. ( 1 ... H ) )
41	40	elfzelzd 10254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. ZZ )
42		2z 9500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. ZZ
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
44	41, 43	zmulcld 9601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
45	1	eldifad 3209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. Prime )
46		prmz 12676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ZZ )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> P e. ZZ )
49	48, 44	zsubcld 9600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
50		zq 9853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k x. 2 ) e. ZZ -> ( k x. 2 ) e. QQ )
51	44, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. QQ )
52		2nn 9298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. NN
53		znq 9851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
54	47, 52, 53	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P / 2 ) e. QQ )
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
56		qdclt 10498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k x. 2 ) e. QQ /\ ( P / 2 ) e. QQ ) -> DECID ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
57	51, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> DECID ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
58	44, 49, 57	ifcldcd 3641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) e. ZZ )
59	3, 39, 40, 58	fvmptd3 5736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
60	59, 58	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
61	60	zcnd 9596	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
62	61	adantll 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M = 0 /\ ph ) /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
63	35, 62	fprodcl 12161	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) e. CC )
64	63	mullidd 8190	. . . . . . 7 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 x. prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
65	30, 64	eqtr2d 2263	. . . . . 6 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
66	65	ex 115	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
67	16, 66	syl 14	. . . 4 |- ( P = 3 -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
68	67	impcom 125	. . 3 |- ( ( ph /\ P = 3 ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
69	1, 5	gausslemma2dlem0d 15774	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN0 )
70	69	nn0red 9449	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
71	70	ltp1d 9103	. . . . . . 7 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
72		fzdisj 10280	. . . . . . 7 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
73	71, 72	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
74	73	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
75		eluzelz 9758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> P e. ZZ )
76		znq 9851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
77	75, 12, 76	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
78	77	flqcld 10530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
79		nnrp 9891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
80	12, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 4 e. RR+
81		eluzelre 9759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> P e. RR )
82		eluz2 9754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) <-> ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 5 <_ P ) )
83		4lt5 9312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 < 5
84		4re 9213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 4 e. RR
85		5re 9215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 5 e. RR
86	85	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> 5 e. RR )
87		zre 9476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ZZ -> P e. RR )
88	87	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> P e. RR )
89		ltleletr 8254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 4 e. RR /\ 5 e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( 4 < 5 /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P ) )
90	84, 86, 88, 89	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 4 < 5 /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P ) )
91	83, 90	mpani 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 5 <_ P -> 4 <_ P ) )
92	91	3impia 1224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P )
93	82, 92	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 4 <_ P )
94		divge1 9951	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 4 e. RR+ /\ P e. RR /\ 4 <_ P ) -> 1 <_ ( P / 4 ) )
95	80, 81, 93, 94	mp3an2i 1376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 <_ ( P / 4 ) )
96		1zzd 9499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 e. ZZ )
97		flqge 10535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P / 4 ) e. QQ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 1 <_ ( P / 4 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
98	77, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( 1 <_ ( P / 4 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
99	95, 98	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) )
100		elnnz1 9495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
101	78, 99, 100	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN )
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN )
103		oddprm 12825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
104	103	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
105		eldifi 3327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
106		prmuz2 12696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
109		fldiv4lem1div2uz2 10559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
111	102, 104, 110	3jca 1201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
112	111	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
113	1, 112	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
114	113	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
115	2	oveq2i 6024	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... H ) = ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) )
116	5, 115	eleq12i 2297	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 1 ... H ) <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
117		elfz1b 10318	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
118	116, 117	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 1 ... H ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
119	114, 118	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> M e. ( 1 ... H ) )
120		fzsplit 10279	. . . . . 6 |- ( M e. ( 1 ... H ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
121	119, 120	syl 14	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
122	34	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( 1 ... H ) e. Fin )
123	61	adantll 476	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
124	74, 121, 122, 123	fprodsplit 12151	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
125	124	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ph /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
126		2re 9206	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
127	126	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
128		oddprmgt2 12699	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 < P )
129	1, 128	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 < P )
130	127, 129	gtned 8285	. . . . 5 |- ( ph -> P =/= 2 )
131	130	neneqd 2421	. . . 4 |- ( ph -> -. P = 2 )
132		prm23ge5 12830	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
133	45, 132	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
134		3orass 1005	. . . . . 6 |- ( ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) <-> ( P = 2 \/ ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
135	133, 134	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( P = 2 \/ ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
136	135	ord 729	. . . 4 |- ( ph -> ( -. P = 2 -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
137	131, 136	mpd 13	. . 3 |- ( ph -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
138	68, 125, 137	mpjaodan 803	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
139	4, 138	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   \/ w3o 1001   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   \ cdif 3195   u. cun 3196   i^i cin 3197   (/)c0 3492   ifcif 3603   {csn 3667   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   CCcc 8023   RRcr 8024   0cc0 8025   1c1 8026   + caddc 8028   x. cmul 8030   < clt 8207   <_ cle 8208   - cmin 8343   / cdiv 8845   NNcn 9136   2c2 9187   3c3 9188   4c4 9189   5c5 9190   NN0cn0 9395   ZZcz 9472   ZZ>=cuz 9748   QQcq 9846   RR+crp 9881   ...cfz 10236   |_cfl 10521   !cfa 10980   prod_cprod 12104   Primecprime 12672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-ioo 10120  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-fl 10523  df-mod 10578  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-fac 10981  df-ihash 11031  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-clim 11833  df-proddc 12105  df-dvds 12342  df-prm 12673

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  15789