Theorem gausslemma2dlem4 15122

Description: Lemma 4 for gausslemma2d 15127. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem4	|- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k   x, M, k   P, k

Allowed substitution hint:   R( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . 3 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3		gausslemma2d.r	. . 3 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
4	1, 2, 3	gausslemma2dlem1 15119	. 2 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
5		gausslemma2d.m	. . . . . 6 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
6		3lt4 9144	. . . . . . . 8 |- 3 < 4
7		breq1 4032	. . . . . . . 8 |- ( P = 3 -> ( P < 4 <-> 3 < 4 ) )
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( P = 3 -> P < 4 )
9		3nn0 9248	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
10		eleq1 2256	. . . . . . . . 9 |- ( P = 3 -> ( P e. NN0 <-> 3 e. NN0 ) )
11	9, 10	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( P = 3 -> P e. NN0 )
12		4nn 9135	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
13		divfl0 10355	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( P < 4 <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 ) )
14	11, 12, 13	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( P = 3 -> ( P < 4 <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 ) )
15	8, 14	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( P = 3 -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 )
16	5, 15	eqtrid 2238	. . . . 5 |- ( P = 3 -> M = 0 )
17		oveq2 5918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = 0 -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... 0 ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... 0 ) )
19		fz10 10102	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
20	18, 19	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... M ) = (/) )
21	20	prodeq1d 11694	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = prod_ k e. (/) ( R ` k ) )
22		prod0 11715	. . . . . . . . 9 |- prod_ k e. (/) ( R ` k ) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2242	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = 1 )
24		oveq1 5917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = 0 -> ( M + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( M + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
26		0p1e1 9086	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
27	25, 26	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( M + 1 ) = 1 )
28	27	oveq1d 5925	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( ( M + 1 ) ... H ) = ( 1 ... H ) )
29	28	prodeq1d 11694	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
30	23, 29	oveq12d 5928	. . . . . . 7 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) = ( 1 x. prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) ) )
31		1zzd 9334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
32	1, 2	gausslemma2dlem0b 15108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H e. NN )
33	32	nnzd 9428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. ZZ )
34	31, 33	fzfigd 10492	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... H ) e. Fin )
35	34	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... H ) e. Fin )
36		oveq1 5917	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = k -> ( x x. 2 ) = ( k x. 2 ) )
37	36	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
38	36	oveq2d 5926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
39	37, 36, 38	ifbieq12d 3583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. ( 1 ... H ) )
41	40	elfzelzd 10082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. ZZ )
42		2z 9335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. ZZ
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
44	41, 43	zmulcld 9435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
45	1	eldifad 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. Prime )
46		prmz 12236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ZZ )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> P e. ZZ )
49	48, 44	zsubcld 9434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
50		zq 9681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k x. 2 ) e. ZZ -> ( k x. 2 ) e. QQ )
51	44, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. QQ )
52		2nn 9133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. NN
53		znq 9679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
54	47, 52, 53	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( P / 2 ) e. QQ )
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( P / 2 ) e. QQ )
56		qdclt 10305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k x. 2 ) e. QQ /\ ( P / 2 ) e. QQ ) -> DECID ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
57	51, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> DECID ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
58	44, 49, 57	ifcldcd 3593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) e. ZZ )
59	3, 39, 40, 58	fvmptd3 5643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
60	59, 58	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. ZZ )
61	60	zcnd 9430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
62	61	adantll 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M = 0 /\ ph ) /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
63	35, 62	fprodcl 11737	. . . . . . . 8 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) e. CC )
64	63	mullidd 8027	. . . . . . 7 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 x. prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
65	30, 64	eqtr2d 2227	. . . . . 6 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
66	65	ex 115	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
67	16, 66	syl 14	. . . 4 |- ( P = 3 -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
68	67	impcom 125	. . 3 |- ( ( ph /\ P = 3 ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
69	1, 5	gausslemma2dlem0d 15110	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN0 )
70	69	nn0red 9284	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
71	70	ltp1d 8939	. . . . . . 7 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
72		fzdisj 10108	. . . . . . 7 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
73	71, 72	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
74	73	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
75		eluzelz 9591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> P e. ZZ )
76		znq 9679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
77	75, 12, 76	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
78	77	flqcld 10336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
79		nnrp 9719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
80	12, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 4 e. RR+
81		eluzelre 9592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> P e. RR )
82		eluz2 9588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) <-> ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 5 <_ P ) )
83		4lt5 9147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 < 5
84		4re 9049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 4 e. RR
85		5re 9051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 5 e. RR
86	85	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> 5 e. RR )
87		zre 9311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ZZ -> P e. RR )
88	87	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> P e. RR )
89		ltleletr 8091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 4 e. RR /\ 5 e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( 4 < 5 /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P ) )
90	84, 86, 88, 89	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 4 < 5 /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P ) )
91	83, 90	mpani 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 5 <_ P -> 4 <_ P ) )
92	91	3impia 1202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P )
93	82, 92	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 4 <_ P )
94		divge1 9779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 4 e. RR+ /\ P e. RR /\ 4 <_ P ) -> 1 <_ ( P / 4 ) )
95	80, 81, 93, 94	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 <_ ( P / 4 ) )
96		1zzd 9334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 e. ZZ )
97		flqge 10341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P / 4 ) e. QQ /\ 1 e. ZZ ) -> ( 1 <_ ( P / 4 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
98	77, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( 1 <_ ( P / 4 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
99	95, 98	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) )
100		elnnz1 9330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
101	78, 99, 100	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN )
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN )
103		oddprm 12384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
104	103	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
105		eldifi 3281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
106		prmuz2 12256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
107	105, 106	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
108	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
109		fldiv4lem1div2uz2 10365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
111	102, 104, 110	3jca 1179	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
112	111	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
113	1, 112	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
114	113	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
115	2	oveq2i 5921	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... H ) = ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) )
116	5, 115	eleq12i 2261	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 1 ... H ) <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
117		elfz1b 10146	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
118	116, 117	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 1 ... H ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
119	114, 118	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> M e. ( 1 ... H ) )
120		fzsplit 10107	. . . . . 6 |- ( M e. ( 1 ... H ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
121	119, 120	syl 14	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
122	34	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( 1 ... H ) e. Fin )
123	61	adantll 476	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
124	74, 121, 122, 123	fprodsplit 11727	. . . 4 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
125	124	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ph /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
126		2re 9042	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
127	126	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
128		oddprmgt2 12259	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 < P )
129	1, 128	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 < P )
130	127, 129	gtned 8122	. . . . 5 |- ( ph -> P =/= 2 )
131	130	neneqd 2385	. . . 4 |- ( ph -> -. P = 2 )
132		prm23ge5 12389	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
133	45, 132	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
134		3orass 983	. . . . . 6 |- ( ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) <-> ( P = 2 \/ ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
135	133, 134	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( P = 2 \/ ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
136	135	ord 725	. . . 4 |- ( ph -> ( -. P = 2 -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) ) )
137	131, 136	mpd 13	. . 3 |- ( ph -> ( P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
138	68, 125, 137	mpjaodan 799	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
139	4, 138	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   \/ w3o 979   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   \ cdif 3150   u. cun 3151   i^i cin 3152   (/)c0 3446   ifcif 3557   {csn 3618   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   Fincfn 6785   CCcc 7860   RRcr 7861   0cc0 7862   1c1 7863   + caddc 7865   x. cmul 7867   < clt 8044   <_ cle 8045   - cmin 8180   / cdiv 8681   NNcn 8972   2c2 9023   3c3 9024   4c4 9025   5c5 9026   NN0cn0 9230   ZZcz 9307   ZZ>=cuz 9582   QQcq 9674   RR+crp 9709   ...cfz 10064   |_cfl 10327   !cfa 10783   prod_cprod 11680   Primecprime 12232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980  ax-arch 7981  ax-caucvg 7982

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-isom 5255  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-irdg 6414  df-frec 6435  df-1o 6460  df-2o 6461  df-oadd 6464  df-er 6578  df-en 6786  df-dom 6787  df-fin 6788  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-5 9034  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-q 9675  df-rp 9710  df-ioo 9948  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-fl 10329  df-mod 10384  df-seqfrec 10509  df-exp 10597  df-fac 10784  df-ihash 10834  df-cj 10973  df-re 10974  df-im 10975  df-rsqrt 11129  df-abs 11130  df-clim 11409  df-proddc 11681  df-dvds 11918  df-prm 12233

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  15125