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Description: The partial sums in the
geometric series ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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geolim.1 |
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geolim.2 |
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geolim2.3 |
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geolim2.4 |
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Ref | Expression |
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geolim2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2089 |
. . 3
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2 | geolim2.3 |
. . . 4
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3 | 2 | nn0zd 8929 |
. . 3
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4 | geolim2.4 |
. . 3
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5 | geolim.1 |
. . . . 5
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6 | 5 | adantr 271 |
. . . 4
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7 | eluznn0 9149 |
. . . . 5
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8 | 2, 7 | sylan 278 |
. . . 4
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9 | 6, 8 | expcld 10149 |
. . 3
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10 | eluzelz 9091 |
. . . . . . . . 9
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11 | 10 | adantl 272 |
. . . . . . . 8
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12 | 0red 7552 |
. . . . . . . . 9
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13 | 3 | adantr 271 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 13 | zred 8931 |
. . . . . . . . 9
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15 | 11 | zred 8931 |
. . . . . . . . 9
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16 | 2 | nn0ge0d 8792 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 16 | adantr 271 |
. . . . . . . . 9
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18 | eluzle 9094 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 18 | adantl 272 |
. . . . . . . . 9
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20 | 12, 14, 15, 17, 19 | letrd 7670 |
. . . . . . . 8
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21 | elnn0z 8826 |
. . . . . . . 8
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22 | 11, 20, 21 | sylanbrc 409 |
. . . . . . 7
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23 | 5 | adantr 271 |
. . . . . . . 8
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24 | 23, 22 | expcld 10149 |
. . . . . . 7
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25 | oveq2 5676 |
. . . . . . . 8
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26 | eqid 2089 |
. . . . . . . 8
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27 | 25, 26 | fvmptg 5395 |
. . . . . . 7
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28 | 22, 24, 27 | syl2anc 404 |
. . . . . 6
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29 | 28, 24 | eqeltrd 2165 |
. . . . 5
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30 | oveq2 5676 |
. . . . . . . 8
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31 | 30, 26 | fvmptg 5395 |
. . . . . . 7
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32 | 8, 9, 31 | syl2anc 404 |
. . . . . 6
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33 | 32, 4 | eqtr4d 2124 |
. . . . 5
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34 | addcl 7530 |
. . . . . 6
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35 | 34 | adantl 272 |
. . . . 5
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36 | 3, 29, 33, 35 | seq3feq 9960 |
. . . 4
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37 | seqex 9920 |
. . . . . 6
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38 | ax-1cn 7501 |
. . . . . . . 8
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39 | subcl 7744 |
. . . . . . . 8
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40 | 38, 5, 39 | sylancr 406 |
. . . . . . 7
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41 | 1cnd 7567 |
. . . . . . . 8
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42 | 1red 7566 |
. . . . . . . . . 10
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43 | geolim.2 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 5, 42, 43 | absltap 10966 |
. . . . . . . . 9
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45 | apsym 8146 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 5, 41, 45 | syl2anc 404 |
. . . . . . . . 9
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47 | 44, 46 | mpbid 146 |
. . . . . . . 8
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48 | 41, 5, 47 | subap0d 8182 |
. . . . . . 7
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49 | 40, 48 | recclapd 8311 |
. . . . . 6
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50 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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51 | 5 | adantr 271 |
. . . . . . . . 9
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52 | 51, 50 | expcld 10149 |
. . . . . . . 8
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53 | oveq2 5676 |
. . . . . . . . 9
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54 | 53, 26 | fvmptg 5395 |
. . . . . . . 8
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55 | 50, 52, 54 | syl2anc 404 |
. . . . . . 7
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56 | 5, 43, 55 | geolim 10968 |
. . . . . 6
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57 | breldmg 4657 |
. . . . . 6
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58 | 37, 49, 56, 57 | mp3an2i 1279 |
. . . . 5
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59 | nn0uz 9116 |
. . . . . 6
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60 | expcl 10036 |
. . . . . . . 8
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61 | 5, 60 | sylan 278 |
. . . . . . 7
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62 | 55, 61 | eqeltrd 2165 |
. . . . . 6
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63 | 59, 2, 62 | iserex 10790 |
. . . . 5
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64 | 58, 63 | mpbid 146 |
. . . 4
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65 | 36, 64 | eqeltrrd 2166 |
. . 3
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66 | 1, 3, 4, 9, 65 | isumclim2 10879 |
. 2
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67 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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68 | 5 | adantr 271 |
. . . . . . . . 9
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69 | 68, 67 | expcld 10149 |
. . . . . . . 8
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70 | 67, 69, 31 | syl2anc 404 |
. . . . . . 7
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71 | expcl 10036 |
. . . . . . . 8
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72 | 5, 71 | sylan 278 |
. . . . . . 7
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73 | 59, 1, 2, 70, 72, 58 | isumsplit 10948 |
. . . . . 6
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74 | 0zd 8825 |
. . . . . . 7
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75 | 59, 74, 70, 72, 56 | isumclim 10878 |
. . . . . 6
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76 | 73, 75 | eqtr3d 2123 |
. . . . 5
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77 | 5, 44, 2 | geoserap 10964 |
. . . . . 6
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78 | 77 | oveq1d 5683 |
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79 | 76, 78 | eqtr3d 2123 |
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80 | 79 | oveq1d 5683 |
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81 | 5, 2 | expcld 10149 |
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82 | subcl 7744 |
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83 | 38, 81, 82 | sylancr 406 |
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84 | 41, 83, 40, 48 | divsubdirapd 8360 |
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85 | nncan 7774 |
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86 | 38, 81, 85 | sylancr 406 |
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87 | 86 | oveq1d 5683 |
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88 | 84, 87 | eqtr3d 2123 |
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89 | 83, 40, 48 | divclapd 8320 |
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90 | 1, 3, 32, 9, 64 | isumcl 10882 |
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91 | 89, 90 | pncan2d 7858 |
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92 | 80, 88, 91 | 3eqtr3rd 2130 |
. 2
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93 | 66, 92 | breqtrd 3877 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3962 ax-sep 3965 ax-nul 3973 ax-pow 4017 ax-pr 4047 ax-un 4271 ax-setind 4368 ax-iinf 4418 ax-cnex 7499 ax-resscn 7500 ax-1cn 7501 ax-1re 7502 ax-icn 7503 ax-addcl 7504 ax-addrcl 7505 ax-mulcl 7506 ax-mulrcl 7507 ax-addcom 7508 ax-mulcom 7509 ax-addass 7510 ax-mulass 7511 ax-distr 7512 ax-i2m1 7513 ax-0lt1 7514 ax-1rid 7515 ax-0id 7516 ax-rnegex 7517 ax-precex 7518 ax-cnre 7519 ax-pre-ltirr 7520 ax-pre-ltwlin 7521 ax-pre-lttrn 7522 ax-pre-apti 7523 ax-pre-ltadd 7524 ax-pre-mulgt0 7525 ax-pre-mulext 7526 ax-arch 7527 ax-caucvg 7528 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rmo 2368 df-rab 2369 df-v 2624 df-sbc 2844 df-csb 2937 df-dif 3004 df-un 3006 df-in 3008 df-ss 3015 df-nul 3290 df-if 3400 df-pw 3437 df-sn 3458 df-pr 3459 df-op 3461 df-uni 3662 df-int 3697 df-iun 3740 df-br 3854 df-opab 3908 df-mpt 3909 df-tr 3945 df-id 4131 df-po 4134 df-iso 4135 df-iord 4204 df-on 4206 df-ilim 4207 df-suc 4209 df-iom 4421 df-xp 4460 df-rel 4461 df-cnv 4462 df-co 4463 df-dm 4464 df-rn 4465 df-res 4466 df-ima 4467 df-iota 4995 df-fun 5032 df-fn 5033 df-f 5034 df-f1 5035 df-fo 5036 df-f1o 5037 df-fv 5038 df-isom 5039 df-riota 5624 df-ov 5671 df-oprab 5672 df-mpt2 5673 df-1st 5927 df-2nd 5928 df-recs 6086 df-irdg 6151 df-frec 6172 df-1o 6197 df-oadd 6201 df-er 6308 df-en 6514 df-dom 6515 df-fin 6516 df-pnf 7587 df-mnf 7588 df-xr 7589 df-ltxr 7590 df-le 7591 df-sub 7718 df-neg 7719 df-reap 8115 df-ap 8122 df-div 8203 df-inn 8486 df-2 8544 df-3 8545 df-4 8546 df-n0 8737 df-z 8814 df-uz 9083 df-q 9168 df-rp 9198 df-fz 9488 df-fzo 9617 df-iseq 9916 df-seq3 9917 df-exp 10018 df-ihash 10247 df-cj 10339 df-re 10340 df-im 10341 df-rsqrt 10494 df-abs 10495 df-clim 10730 df-isum 10806 |
This theorem is referenced by: geoisum1 10976 geoisum1c 10977 |
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