ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geoisumr Unicode version

Theorem geoisumr 11318
Description: The infinite sum of reciprocals  1  +  ( 1  /  A ) ^ 1  +  ( 1  /  A ) ^ 2... is  A  / 
( A  -  1 ). (Contributed by rpenner, 3-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisumr  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( 1  /  A ) ^
k )  =  ( A  /  ( A  -  1 ) ) )
Distinct variable group:    A, k

Proof of Theorem geoisumr
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 9383 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 9089 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  0  e.  ZZ )
3 simpr 109 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
4 simpll 519 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
54abscld 10984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
6 0red 7790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
7 1red 7804 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR )
8 0lt1 7912 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
98a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <  1 )
10 simplr 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
1  <  ( abs `  A ) )
116, 7, 5, 9, 10lttrd 7911 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( abs `  A ) )
125, 11gt0ap0d 8414 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  A
) #  0 )
13 abs00ap 10865 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  A #  0
) )
1413ad2antrr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  A
) #  0  <->  A #  0
) )
1512, 14mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A #  0 )
164, 15recclapd 8564 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )
1716, 3expcld 10454 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  CC )
18 oveq2 5789 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  A
) ^ n )  =  ( ( 1  /  A ) ^
k ) )
19 eqid 2140 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^
n ) )
2018, 19fvmptg 5504 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( ( 1  /  A ) ^ k
)  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )
213, 17, 20syl2anc 409 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^
n ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
22 simpl 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  A  e.  CC )
23 simpr 109 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  1  <  ( abs `  A
) )
2422, 23, 21georeclim 11313 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ n
) ) )  ~~>  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
251, 2, 21, 17, 24isumclim 11221 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  <  ( abs `  A
) )  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( 1  /  A ) ^
k )  =  ( A  /  ( A  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   class class class wbr 3936    |-> cmpt 3996   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   CCcc 7641   0cc0 7643   1c1 7644    < clt 7823    - cmin 7956   # cap 8366    / cdiv 8455   NN0cn0 9000   ^cexp 10322   abscabs 10800   sum_csu 11153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-frec 6295  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-ihash 10553  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-clim 11079  df-sumdc 11154
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator