Theorem redcwlpolemeq1 13933

Description: Lemma for redcwlpo 13934. A biconditionalized version of trilpolemeq1 13919. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
redcwlpolemeq1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
redcwlpolemeq1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )

Assertion

Ref	Expression
redcwlpolemeq1	|- ( ph -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )

Distinct variable groups:   A, i, x   i, F, x   ph, i, x

Proof of Theorem redcwlpolemeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redcwlpolemeq1.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
3		redcwlpolemeq1.a	. . 3 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
4		simpr 109	. . 3 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> A = 1 )
5	2, 3, 4	trilpolemeq1 13919	. 2 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
6		fveqeq2 5495	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( F ` x ) = 1 <-> ( F ` i ) = 1 ) )
7		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
8		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> i e. NN )
9	6, 7, 8	rspcdva 2835	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) = 1 )
10	9	oveq2d 5858	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) )
11		2nn 9018	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> 2 e. NN )
13	8	nnnn0d 9167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> i e. NN0 )
14	12, 13	nnexpcld 10610	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. NN )
15	14	nncnd 8871	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. CC )
16	14	nnap0d 8903	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) # 0 )
17	15, 16	recclapd 8677	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
18	17	mulid1d 7916	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
19	10, 18	eqtrd 2198	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
20	19	sumeq2dv 11309	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
21		geoihalfsum 11463	. . . 4 |- sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = 1
22	21	eqcomi 2169	. . 3 |- 1 = sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) )
23	20, 3, 22	3eqtr4g 2224	. 2 |- ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> A = 1 )
24	5, 23	impbida 586	1 |- ( ph -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   {cpr 3577   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   0cc0 7753   1c1 7754   x. cmul 7758   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   ^cexp 10454   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  redcwlpo  13934  neapmkvlem  13945