Theorem redcwlpolemeq1 16718

Description: Lemma for redcwlpo 16719. A biconditionalized version of trilpolemeq1 16703. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
redcwlpolemeq1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
redcwlpolemeq1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )

Assertion

Ref	Expression
redcwlpolemeq1	|- ( ph -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )

Distinct variable groups:   A, i, x   i, F, x   ph, i, x

Proof of Theorem redcwlpolemeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redcwlpolemeq1.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
3		redcwlpolemeq1.a	. . 3 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
4		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> A = 1 )
5	2, 3, 4	trilpolemeq1 16703	. 2 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
6		fveqeq2 5649	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( F ` x ) = 1 <-> ( F ` i ) = 1 ) )
7		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
8		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> i e. NN )
9	6, 7, 8	rspcdva 2915	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) = 1 )
10	9	oveq2d 6037	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) )
11		2nn 9308	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> 2 e. NN )
13	8	nnnn0d 9458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> i e. NN0 )
14	12, 13	nnexpcld 10961	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. NN )
15	14	nncnd 9160	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. CC )
16	14	nnap0d 9192	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) # 0 )
17	15, 16	recclapd 8964	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
18	17	mulridd 8199	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
19	10, 18	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
20	19	sumeq2dv 11949	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
21		geoihalfsum 12104	. . . 4 |- sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = 1
22	21	eqcomi 2235	. . 3 |- 1 = sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) )
23	20, 3, 22	3eqtr4g 2289	. 2 |- ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> A = 1 )
24	5, 23	impbida 600	1 |- ( ph -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {cpr 3670   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6021   0cc0 8035   1c1 8036   x. cmul 8040   / cdiv 8855   NNcn 9146   2c2 9197   ^cexp 10804   sum_csu 11934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-mulrcl 8134  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-precex 8145  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151  ax-pre-mulgt0 8152  ax-pre-mulext 8153  ax-arch 8154  ax-caucvg 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-irdg 6539  df-frec 6560  df-1o 6585  df-oadd 6589  df-er 6705  df-en 6913  df-dom 6914  df-fin 6915  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-reap 8758  df-ap 8765  df-div 8856  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-q 9857  df-rp 9892  df-ico 10132  df-fz 10247  df-fzo 10381  df-seqfrec 10714  df-exp 10805  df-ihash 11042  df-cj 11423  df-re 11424  df-im 11425  df-rsqrt 11579  df-abs 11580  df-clim 11860  df-sumdc 11935

This theorem is referenced by:  redcwlpo  16719  neapmkvlem  16731