Theorem redcwlpolemeq1 13566

Description: Lemma for redcwlpo 13567. A biconditionalized version of trilpolemeq1 13552. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
redcwlpolemeq1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
redcwlpolemeq1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )

Assertion

Ref	Expression
redcwlpolemeq1	|- ( ph -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )

Distinct variable groups:   A, i, x   i, F, x   ph, i, x

Proof of Theorem redcwlpolemeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redcwlpolemeq1.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
3		redcwlpolemeq1.a	. . 3 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
4		simpr 109	. . 3 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> A = 1 )
5	2, 3, 4	trilpolemeq1 13552	. 2 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
6		fveqeq2 5470	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( F ` x ) = 1 <-> ( F ` i ) = 1 ) )
7		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
8		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> i e. NN )
9	6, 7, 8	rspcdva 2818	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) = 1 )
10	9	oveq2d 5830	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) )
11		2nn 8973	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> 2 e. NN )
13	8	nnnn0d 9122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> i e. NN0 )
14	12, 13	nnexpcld 10550	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. NN )
15	14	nncnd 8826	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. CC )
16	14	nnap0d 8858	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) # 0 )
17	15, 16	recclapd 8633	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
18	17	mulid1d 7874	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
19	10, 18	eqtrd 2187	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
20	19	sumeq2dv 11242	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
21		geoihalfsum 11396	. . . 4 |- sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = 1
22	21	eqcomi 2158	. . 3 |- 1 = sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) )
23	20, 3, 22	3eqtr4g 2212	. 2 |- ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> A = 1 )
24	5, 23	impbida 586	1 |- ( ph -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 2125   A.wral 2432   {cpr 3557   -->wf 5159   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   0cc0 7711   1c1 7712   x. cmul 7716   / cdiv 8524   NNcn 8812   2c2 8863   ^cexp 10396   sum_csu 11227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-ico 9776  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228

This theorem is referenced by:  redcwlpo  13567  neapmkvlem  13578