Theorem redcwlpolemeq1 15708

Description: Lemma for redcwlpo 15709. A biconditionalized version of trilpolemeq1 15694. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
redcwlpolemeq1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
redcwlpolemeq1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )

Assertion

Ref	Expression
redcwlpolemeq1	|- ( ph -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )

Distinct variable groups:   A, i, x   i, F, x   ph, i, x

Proof of Theorem redcwlpolemeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redcwlpolemeq1.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
3		redcwlpolemeq1.a	. . 3 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
4		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> A = 1 )
5	2, 3, 4	trilpolemeq1 15694	. 2 |- ( ( ph /\ A = 1 ) -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
6		fveqeq2 5568	. . . . . . 7 |- ( x = i -> ( ( F ` x ) = 1 <-> ( F ` i ) = 1 ) )
7		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )
8		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> i e. NN )
9	6, 7, 8	rspcdva 2873	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) = 1 )
10	9	oveq2d 5939	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) )
11		2nn 9154	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
12	11	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> 2 e. NN )
13	8	nnnn0d 9304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> i e. NN0 )
14	12, 13	nnexpcld 10789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. NN )
15	14	nncnd 9006	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. CC )
16	14	nnap0d 9038	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) # 0 )
17	15, 16	recclapd 8810	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
18	17	mulridd 8045	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
19	10, 18	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
20	19	sumeq2dv 11535	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
21		geoihalfsum 11689	. . . 4 |- sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = 1
22	21	eqcomi 2200	. . 3 |- 1 = sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) )
23	20, 3, 22	3eqtr4g 2254	. 2 |- ( ( ph /\ A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) -> A = 1 )
24	5, 23	impbida 596	1 |- ( ph -> ( A = 1 <-> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {cpr 3624   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   0cc0 7881   1c1 7882   x. cmul 7886   / cdiv 8701   NNcn 8992   2c2 9043   ^cexp 10632   sum_csu 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-frec 6450  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6593  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-ico 9971  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-ihash 10870  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-clim 11446  df-sumdc 11521

This theorem is referenced by:  redcwlpo  15709  neapmkvlem  15721