ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  georeclim Unicode version

Theorem georeclim 11289
Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
georeclim.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
georeclim.2  |-  ( ph  ->  1  <  ( abs `  A ) )
georeclim.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
Assertion
Ref Expression
georeclim  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k

Proof of Theorem georeclim
StepHypRef Expression
1 georeclim.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
21abscld 10960 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
3 0red 7774 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
4 1red 7788 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5 0lt1 7896 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
65a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
7 georeclim.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( abs `  A ) )
83, 4, 2, 6, 7lttrd 7895 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( abs `  A ) )
92, 8gt0ap0d 8398 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
) #  0 )
10 abs00ap 10841 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  A #  0
) )
111, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) #  0  <->  A #  0
) )
129, 11mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  A #  0 )
131, 12recclapd 8548 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
14 1cnd 7789 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
1514, 1, 12absdivapd 10974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  A ) )  =  ( ( abs `  1 )  /  ( abs `  A
) ) )
16 abs1 10851 . . . . . 6  |-  ( abs `  1 )  =  1
1716oveq1i 5784 . . . . 5  |-  ( ( abs `  1 )  /  ( abs `  A
) )  =  ( 1  /  ( abs `  A ) )
1815, 17syl6eq 2188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  A ) )  =  ( 1  /  ( abs `  A
) ) )
192, 8elrpd 9488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR+ )
2019recgt1d 9505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( abs `  A )  <->  ( 1  /  ( abs `  A
) )  <  1
) )
217, 20mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( abs `  A ) )  <  1 )
2218, 21eqbrtrd 3950 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  A ) )  <  1 )
23 georeclim.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
2413, 22, 23geolim 11287 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  ( 1  /  A
) ) ) )
251, 14, 1, 12divsubdirapd 8597 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  /  A
)  =  ( ( A  /  A )  -  ( 1  /  A ) ) )
261, 12dividapd 8553 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  A
)  =  1 )
2726oveq1d 5789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  A )  -  (
1  /  A ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
2825, 27eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  /  A
)  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
2928oveq2d 5790 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( A  -  1 )  /  A ) )  =  ( 1  /  ( 1  -  ( 1  /  A
) ) ) )
30 ax-1cn 7720 . . . . 5  |-  1  e.  CC
31 subcl 7968 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
321, 30, 31sylancl 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
334, 6elrpd 9488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
341, 33, 7absgtap 11286 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A #  1 )
351, 14, 34subap0d 8413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 ) #  0 )
3632, 1, 35, 12recdivapd 8574 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( A  -  1 )  /  A ) )  =  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
3729, 36eqtr3d 2174 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
1  -  ( 1  /  A ) ) )  =  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
3824, 37breqtrd 3954 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625   0cc0 7627   1c1 7628    + caddc 7630    < clt 7807    - cmin 7940   # cap 8350    / cdiv 8439   NN0cn0 8984    seqcseq 10225   ^cexp 10299   abscabs 10776    ~~> cli 11054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130
This theorem is referenced by:  geoisumr  11294  ege2le3  11384  eftlub  11403
  Copyright terms: Public domain W3C validator