Theorem georeclim 11465

Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
georeclim.1	|- ( ph -> A e. CC )
georeclim.2	|- ( ph -> 1 < ( abs ` A ) )
georeclim.3	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 / A ) ^ k ) )

Assertion

Ref	Expression
georeclim	|- ( ph -> seq 0 ( + , F ) ~~> ( A / ( A - 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k

Proof of Theorem georeclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		georeclim.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2	1	abscld 11134	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
3		0red 7910	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
4		1red 7924	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. RR )
5		0lt1 8035	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < 1 )
7		georeclim.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( abs ` A ) )
8	3, 4, 2, 6, 7	lttrd 8034	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( abs ` A ) )
9	2, 8	gt0ap0d 8537	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` A ) # 0 )
10		abs00ap 11015	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
12	9, 11	mpbid 146	. . . 4 |- ( ph -> A # 0 )
13	1, 12	recclapd 8687	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / A ) e. CC )
14		1cnd 7925	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. CC )
15	14, 1, 12	absdivapd 11148	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 / A ) ) = ( ( abs ` 1 ) / ( abs ` A ) ) )
16		abs1 11025	. . . . . 6 |- ( abs ` 1 ) = 1
17	16	oveq1i 5861	. . . . 5 |- ( ( abs ` 1 ) / ( abs ` A ) ) = ( 1 / ( abs ` A ) )
18	15, 17	eqtrdi 2219	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 / A ) ) = ( 1 / ( abs ` A ) ) )
19	2, 8	elrpd 9639	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
20	19	recgt1d 9657	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 < ( abs ` A ) <-> ( 1 / ( abs ` A ) ) < 1 ) )
21	7, 20	mpbid 146	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / ( abs ` A ) ) < 1 )
22	18, 21	eqbrtrd 4009	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 / A ) ) < 1 )
23		georeclim.3	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 / A ) ^ k ) )
24	13, 22, 23	geolim 11463	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 1 / A ) ) ) )
25	1, 14, 1, 12	divsubdirapd 8736	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) / A ) = ( ( A / A ) - ( 1 / A ) ) )
26	1, 12	dividapd 8692	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A / A ) = 1 )
27	26	oveq1d 5866	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A / A ) - ( 1 / A ) ) = ( 1 - ( 1 / A ) ) )
28	25, 27	eqtrd 2203	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) / A ) = ( 1 - ( 1 / A ) ) )
29	28	oveq2d 5867	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( ( A - 1 ) / A ) ) = ( 1 / ( 1 - ( 1 / A ) ) ) )
30		ax-1cn 7856	. . . . 5 |- 1 e. CC
31		subcl 8107	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A - 1 ) e. CC )
32	1, 30, 31	sylancl 411	. . . 4 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. CC )
33	4, 6	elrpd 9639	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
34	1, 33, 7	absgtap 11462	. . . . 5 |- ( ph -> A # 1 )
35	1, 14, 34	subap0d 8552	. . . 4 |- ( ph -> ( A - 1 ) # 0 )
36	32, 1, 35, 12	recdivapd 8713	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( ( A - 1 ) / A ) ) = ( A / ( A - 1 ) ) )
37	29, 36	eqtr3d 2205	. 2 |- ( ph -> ( 1 / ( 1 - ( 1 / A ) ) ) = ( A / ( A - 1 ) ) )
38	24, 37	breqtrd 4013	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) ~~> ( A / ( A - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   CCcc 7761   0cc0 7763   1c1 7764   + caddc 7766   < clt 7943   - cmin 8079   # cap 8489   / cdiv 8578   NN0cn0 9124   seqcseq 10390   ^cexp 10464   abscabs 10950   ~~> cli 11230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-frec 6368  df-1o 6393  df-oadd 6397  df-er 6510  df-en 6716  df-dom 6717  df-fin 6718  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-fz 9955  df-fzo 10088  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-ihash 10699  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-clim 11231  df-sumdc 11306

This theorem is referenced by:  geoisumr  11470  ege2le3  11623  eftlub  11642