ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  georeclim Unicode version

Theorem georeclim 11534
Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
georeclim.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
georeclim.2  |-  ( ph  ->  1  <  ( abs `  A ) )
georeclim.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
Assertion
Ref Expression
georeclim  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k

Proof of Theorem georeclim
StepHypRef Expression
1 georeclim.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
21abscld 11203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
3 0red 7971 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
4 1red 7985 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5 0lt1 8097 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
65a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
7 georeclim.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( abs `  A ) )
83, 4, 2, 6, 7lttrd 8096 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( abs `  A ) )
92, 8gt0ap0d 8599 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
) #  0 )
10 abs00ap 11084 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  A #  0
) )
111, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) #  0  <->  A #  0
) )
129, 11mpbid 147 . . . 4  |-  ( ph  ->  A #  0 )
131, 12recclapd 8751 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
14 1cnd 7986 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
1514, 1, 12absdivapd 11217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  A ) )  =  ( ( abs `  1 )  /  ( abs `  A
) ) )
16 abs1 11094 . . . . . 6  |-  ( abs `  1 )  =  1
1716oveq1i 5898 . . . . 5  |-  ( ( abs `  1 )  /  ( abs `  A
) )  =  ( 1  /  ( abs `  A ) )
1815, 17eqtrdi 2236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  A ) )  =  ( 1  /  ( abs `  A
) ) )
192, 8elrpd 9706 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR+ )
2019recgt1d 9724 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( abs `  A )  <->  ( 1  /  ( abs `  A
) )  <  1
) )
217, 20mpbid 147 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( abs `  A ) )  <  1 )
2218, 21eqbrtrd 4037 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  A ) )  <  1 )
23 georeclim.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
2413, 22, 23geolim 11532 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  ( 1  /  A
) ) ) )
251, 14, 1, 12divsubdirapd 8800 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  /  A
)  =  ( ( A  /  A )  -  ( 1  /  A ) ) )
261, 12dividapd 8756 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  A
)  =  1 )
2726oveq1d 5903 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  A )  -  (
1  /  A ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
2825, 27eqtrd 2220 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  /  A
)  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
2928oveq2d 5904 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( A  -  1 )  /  A ) )  =  ( 1  /  ( 1  -  ( 1  /  A
) ) ) )
30 ax-1cn 7917 . . . . 5  |-  1  e.  CC
31 subcl 8169 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
321, 30, 31sylancl 413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
334, 6elrpd 9706 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
341, 33, 7absgtap 11531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A #  1 )
351, 14, 34subap0d 8614 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 ) #  0 )
3632, 1, 35, 12recdivapd 8777 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( A  -  1 )  /  A ) )  =  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
3729, 36eqtr3d 2222 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
1  -  ( 1  /  A ) ) )  =  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
3824, 37breqtrd 4041 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7822   0cc0 7824   1c1 7825    + caddc 7827    < clt 8005    - cmin 8141   # cap 8551    / cdiv 8642   NN0cn0 9189    seqcseq 10458   ^cexp 10532   abscabs 11019    ~~> cli 11299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375
This theorem is referenced by:  geoisumr  11539  ege2le3  11692  eftlub  11711
  Copyright terms: Public domain W3C validator