ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  georeclim Unicode version

Theorem georeclim 11540
Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
georeclim.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
georeclim.2  |-  ( ph  ->  1  <  ( abs `  A ) )
georeclim.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
Assertion
Ref Expression
georeclim  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k

Proof of Theorem georeclim
StepHypRef Expression
1 georeclim.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
21abscld 11209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
3 0red 7977 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
4 1red 7991 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5 0lt1 8103 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
65a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
7 georeclim.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( abs `  A ) )
83, 4, 2, 6, 7lttrd 8102 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( abs `  A ) )
92, 8gt0ap0d 8605 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
) #  0 )
10 abs00ap 11090 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  A
) #  0  <->  A #  0
) )
111, 10syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) #  0  <->  A #  0
) )
129, 11mpbid 147 . . . 4  |-  ( ph  ->  A #  0 )
131, 12recclapd 8757 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
14 1cnd 7992 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
1514, 1, 12absdivapd 11223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  A ) )  =  ( ( abs `  1 )  /  ( abs `  A
) ) )
16 abs1 11100 . . . . . 6  |-  ( abs `  1 )  =  1
1716oveq1i 5901 . . . . 5  |-  ( ( abs `  1 )  /  ( abs `  A
) )  =  ( 1  /  ( abs `  A ) )
1815, 17eqtrdi 2238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  A ) )  =  ( 1  /  ( abs `  A
) ) )
192, 8elrpd 9712 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR+ )
2019recgt1d 9730 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  <  ( abs `  A )  <->  ( 1  /  ( abs `  A
) )  <  1
) )
217, 20mpbid 147 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( abs `  A ) )  <  1 )
2218, 21eqbrtrd 4040 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  A ) )  <  1 )
23 georeclim.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
2413, 22, 23geolim 11538 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  /  ( 1  -  ( 1  /  A
) ) ) )
251, 14, 1, 12divsubdirapd 8806 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  /  A
)  =  ( ( A  /  A )  -  ( 1  /  A ) ) )
261, 12dividapd 8762 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  A
)  =  1 )
2726oveq1d 5906 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  A )  -  (
1  /  A ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
2825, 27eqtrd 2222 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  - 
1 )  /  A
)  =  ( 1  -  ( 1  /  A ) ) )
2928oveq2d 5907 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( A  -  1 )  /  A ) )  =  ( 1  /  ( 1  -  ( 1  /  A
) ) ) )
30 ax-1cn 7923 . . . . 5  |-  1  e.  CC
31 subcl 8175 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
321, 30, 31sylancl 413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
334, 6elrpd 9712 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
341, 33, 7absgtap 11537 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A #  1 )
351, 14, 34subap0d 8620 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  -  1 ) #  0 )
3632, 1, 35, 12recdivapd 8783 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( A  -  1 )  /  A ) )  =  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
3729, 36eqtr3d 2224 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
1  -  ( 1  /  A ) ) )  =  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
3824, 37breqtrd 4044 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  F )  ~~>  ( A  /  ( A  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   CCcc 7828   0cc0 7830   1c1 7831    + caddc 7833    < clt 8011    - cmin 8147   # cap 8557    / cdiv 8648   NN0cn0 9195    seqcseq 10464   ^cexp 10538   abscabs 11025    ~~> cli 11305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-ihash 10775  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306  df-sumdc 11381
This theorem is referenced by:  geoisumr  11545  ege2le3  11698  eftlub  11717
  Copyright terms: Public domain W3C validator