Theorem georeclim 11678

Description: The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
georeclim.1	|- ( ph -> A e. CC )
georeclim.2	|- ( ph -> 1 < ( abs ` A ) )
georeclim.3	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 / A ) ^ k ) )

Assertion

Ref	Expression
georeclim	|- ( ph -> seq 0 ( + , F ) ~~> ( A / ( A - 1 ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   ph, k

Proof of Theorem georeclim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		georeclim.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2	1	abscld 11346	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
3		0red 8027	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
4		1red 8041	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. RR )
5		0lt1 8153	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < 1 )
7		georeclim.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( abs ` A ) )
8	3, 4, 2, 6, 7	lttrd 8152	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( abs ` A ) )
9	2, 8	gt0ap0d 8656	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` A ) # 0 )
10		abs00ap 11227	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
11	1, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) # 0 <-> A # 0 ) )
12	9, 11	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> A # 0 )
13	1, 12	recclapd 8808	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / A ) e. CC )
14		1cnd 8042	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. CC )
15	14, 1, 12	absdivapd 11360	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 / A ) ) = ( ( abs ` 1 ) / ( abs ` A ) ) )
16		abs1 11237	. . . . . 6 |- ( abs ` 1 ) = 1
17	16	oveq1i 5932	. . . . 5 |- ( ( abs ` 1 ) / ( abs ` A ) ) = ( 1 / ( abs ` A ) )
18	15, 17	eqtrdi 2245	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 / A ) ) = ( 1 / ( abs ` A ) ) )
19	2, 8	elrpd 9768	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
20	19	recgt1d 9786	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 < ( abs ` A ) <-> ( 1 / ( abs ` A ) ) < 1 ) )
21	7, 20	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / ( abs ` A ) ) < 1 )
22	18, 21	eqbrtrd 4055	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 / A ) ) < 1 )
23		georeclim.3	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 / A ) ^ k ) )
24	13, 22, 23	geolim 11676	. 2 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) ~~> ( 1 / ( 1 - ( 1 / A ) ) ) )
25	1, 14, 1, 12	divsubdirapd 8857	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) / A ) = ( ( A / A ) - ( 1 / A ) ) )
26	1, 12	dividapd 8813	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A / A ) = 1 )
27	26	oveq1d 5937	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A / A ) - ( 1 / A ) ) = ( 1 - ( 1 / A ) ) )
28	25, 27	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) / A ) = ( 1 - ( 1 / A ) ) )
29	28	oveq2d 5938	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( ( A - 1 ) / A ) ) = ( 1 / ( 1 - ( 1 / A ) ) ) )
30		ax-1cn 7972	. . . . 5 |- 1 e. CC
31		subcl 8225	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A - 1 ) e. CC )
32	1, 30, 31	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. CC )
33	4, 6	elrpd 9768	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
34	1, 33, 7	absgtap 11675	. . . . 5 |- ( ph -> A # 1 )
35	1, 14, 34	subap0d 8671	. . . 4 |- ( ph -> ( A - 1 ) # 0 )
36	32, 1, 35, 12	recdivapd 8834	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( ( A - 1 ) / A ) ) = ( A / ( A - 1 ) ) )
37	29, 36	eqtr3d 2231	. 2 |- ( ph -> ( 1 / ( 1 - ( 1 / A ) ) ) = ( A / ( A - 1 ) ) )
38	24, 37	breqtrd 4059	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) ~~> ( A / ( A - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   - cmin 8197   # cap 8608   / cdiv 8699   NN0cn0 9249   seqcseq 10539   ^cexp 10630   abscabs 11162   ~~> cli 11443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  geoisumr  11683  ege2le3  11836  eftlub  11855