Theorem recexap 8761

Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexap	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem recexap

Dummy variables y a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8103	. . 3 |- ( A e. CC -> E. a e. RR E. b e. RR A = ( a + ( _i x. b ) ) )
2		recexaplem2 8760	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ ( a + ( _i x. b ) ) # 0 ) -> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 )
3	2	3expia 1208	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) # 0 -> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 ) )
4		remulcl 8088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR /\ a e. RR ) -> ( a x. a ) e. RR )
5	4	anidms 397	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. RR -> ( a x. a ) e. RR )
6		remulcl 8088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. RR /\ b e. RR ) -> ( b x. b ) e. RR )
7	6	anidms 397	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. RR -> ( b x. b ) e. RR )
8		readdcl 8086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a x. a ) e. RR /\ ( b x. b ) e. RR ) -> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) e. RR )
9	5, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) e. RR )
10		0re 8107	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
11		apreap 8695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 <-> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 <-> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) )
13		recexre 8686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) e. RR /\ ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) -> E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 )
14	9, 13	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) -> E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 )
15		recn 8093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. RR -> a e. CC )
16		recn 8093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. RR -> b e. CC )
17		recn 8093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR -> y e. CC )
18		ax-icn 8055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- _i e. CC
19		mulcl 8087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( _i e. CC /\ b e. CC ) -> ( _i x. b ) e. CC )
20	18, 19	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b e. CC -> ( _i x. b ) e. CC )
21		subcl 8306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. CC /\ ( _i x. b ) e. CC ) -> ( a - ( _i x. b ) ) e. CC )
22	20, 21	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a - ( _i x. b ) ) e. CC )
23		mulcl 8087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a - ( _i x. b ) ) e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) e. CC )
24	22, 23	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) e. CC )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 ) -> ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) e. CC )
26		addcl 8085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. CC /\ ( _i x. b ) e. CC ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
27	20, 26	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
29	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( a - ( _i x. b ) ) e. CC )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> y e. CC )
31	28, 29, 30	mulassd 8131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( a - ( _i x. b ) ) ) x. y ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) )
32		recextlem1 8759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( a - ( _i x. b ) ) ) = ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( a - ( _i x. b ) ) ) = ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) )
34	33	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( a - ( _i x. b ) ) ) x. y ) = ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) )
35	31, 34	eqtr3d 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) = ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) )
36		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 )
37	35, 36	sylan9eq 2260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) = 1 )
38		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) )
39	38	eqeq1d 2216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) -> ( ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 <-> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) = 1 ) )
40	39	rspcev 2884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) e. CC /\ ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) = 1 ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 )
41	25, 37, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 )
42	41	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( y e. CC -> ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) ) )
43	17, 42	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( y e. RR -> ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) ) )
44	43	rexlimdv 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
45	15, 16, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
46	45	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) -> ( E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
47	14, 46	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 )
48	47	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
49	12, 48	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
50	3, 49	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) # 0 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
51	50	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ A = ( a + ( _i x. b ) ) ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) # 0 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
52		breq1 4062	. . . . . . 7 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( A # 0 <-> ( a + ( _i x. b ) ) # 0 ) )
53	52	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ A = ( a + ( _i x. b ) ) ) -> ( A # 0 <-> ( a + ( _i x. b ) ) # 0 ) )
54		oveq1 5974	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( A x. x ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) )
55	54	eqeq1d 2216	. . . . . . . 8 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( A x. x ) = 1 <-> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
56	55	rexbidv 2509	. . . . . . 7 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( E. x e. CC ( A x. x ) = 1 <-> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
57	56	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ A = ( a + ( _i x. b ) ) ) -> ( E. x e. CC ( A x. x ) = 1 <-> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
58	51, 53, 57	3imtr4d 203	. . . . 5 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ A = ( a + ( _i x. b ) ) ) -> ( A # 0 -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 ) )
59	58	ex 115	. . . 4 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( A # 0 -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 ) ) )
60	59	rexlimivv 2631	. . 3 |- ( E. a e. RR E. b e. RR A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( A # 0 -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 ) )
61	1, 60	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( A # 0 -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 ) )
62	61	imp 124	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   E.wrex 2487   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   _ici 7962   + caddc 7963   x. cmul 7965   - cmin 8278   #_ℝ creap 8682   # cap 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690

This theorem is referenced by:  mulap0  8762  mulcanapd  8769  receuap  8777  recapb  8779