Theorem recexap 8583

Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexap	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem recexap

Dummy variables y a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7928	. . 3 |- ( A e. CC -> E. a e. RR E. b e. RR A = ( a + ( _i x. b ) ) )
2		recexaplem2 8582	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ ( a + ( _i x. b ) ) # 0 ) -> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 )
3	2	3expia 1205	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) # 0 -> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 ) )
4		remulcl 7914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR /\ a e. RR ) -> ( a x. a ) e. RR )
5	4	anidms 397	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. RR -> ( a x. a ) e. RR )
6		remulcl 7914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. RR /\ b e. RR ) -> ( b x. b ) e. RR )
7	6	anidms 397	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. RR -> ( b x. b ) e. RR )
8		readdcl 7912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a x. a ) e. RR /\ ( b x. b ) e. RR ) -> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) e. RR )
9	5, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) e. RR )
10		0re 7932	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
11		apreap 8518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 <-> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) )
12	9, 10, 11	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 <-> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) )
13		recexre 8509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) e. RR /\ ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) -> E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 )
14	9, 13	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) -> E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 )
15		recn 7919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. RR -> a e. CC )
16		recn 7919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. RR -> b e. CC )
17		recn 7919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR -> y e. CC )
18		ax-icn 7881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- _i e. CC
19		mulcl 7913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( _i e. CC /\ b e. CC ) -> ( _i x. b ) e. CC )
20	18, 19	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b e. CC -> ( _i x. b ) e. CC )
21		subcl 8130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. CC /\ ( _i x. b ) e. CC ) -> ( a - ( _i x. b ) ) e. CC )
22	20, 21	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a - ( _i x. b ) ) e. CC )
23		mulcl 7913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a - ( _i x. b ) ) e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) e. CC )
24	22, 23	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) e. CC )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 ) -> ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) e. CC )
26		addcl 7911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. CC /\ ( _i x. b ) e. CC ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
27	20, 26	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
29	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( a - ( _i x. b ) ) e. CC )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> y e. CC )
31	28, 29, 30	mulassd 7955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( a - ( _i x. b ) ) ) x. y ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) )
32		recextlem1 8581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( a - ( _i x. b ) ) ) = ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( a - ( _i x. b ) ) ) = ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) )
34	33	oveq1d 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( a - ( _i x. b ) ) ) x. y ) = ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) )
35	31, 34	eqtr3d 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) = ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) )
36		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 )
37	35, 36	sylan9eq 2228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) = 1 )
38		oveq2 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) )
39	38	eqeq1d 2184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) -> ( ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 <-> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) = 1 ) )
40	39	rspcev 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) e. CC /\ ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) = 1 ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 )
41	25, 37, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 )
42	41	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( y e. CC -> ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) ) )
43	17, 42	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( y e. RR -> ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) ) )
44	43	rexlimdv 2591	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
45	15, 16, 44	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
46	45	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) -> ( E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
47	14, 46	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 )
48	47	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
49	12, 48	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
50	3, 49	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) # 0 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
51	50	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ A = ( a + ( _i x. b ) ) ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) # 0 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
52		breq1 4001	. . . . . . 7 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( A # 0 <-> ( a + ( _i x. b ) ) # 0 ) )
53	52	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ A = ( a + ( _i x. b ) ) ) -> ( A # 0 <-> ( a + ( _i x. b ) ) # 0 ) )
54		oveq1 5872	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( A x. x ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) )
55	54	eqeq1d 2184	. . . . . . . 8 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( A x. x ) = 1 <-> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
56	55	rexbidv 2476	. . . . . . 7 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( E. x e. CC ( A x. x ) = 1 <-> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
57	56	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ A = ( a + ( _i x. b ) ) ) -> ( E. x e. CC ( A x. x ) = 1 <-> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
58	51, 53, 57	3imtr4d 203	. . . . 5 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ A = ( a + ( _i x. b ) ) ) -> ( A # 0 -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 ) )
59	58	ex 115	. . . 4 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( A # 0 -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 ) ) )
60	59	rexlimivv 2598	. . 3 |- ( E. a e. RR E. b e. RR A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( A # 0 -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 ) )
61	1, 60	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( A # 0 -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 ) )
62	61	imp 124	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   E.wrex 2454   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787   _ici 7788   + caddc 7789   x. cmul 7791   - cmin 8102   #_ℝ creap 8505   # cap 8512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513

This theorem is referenced by:  mulap0  8584  mulcanapd  8591  receuap  8599