Theorem recexap 8571

Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexap	|- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem recexap

Dummy variables y a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7916	. . 3 |- ( A e. CC -> E. a e. RR E. b e. RR A = ( a + ( _i x. b ) ) )
2		recexaplem2 8570	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ ( a + ( _i x. b ) ) # 0 ) -> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 )
3	2	3expia 1200	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) # 0 -> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 ) )
4		remulcl 7902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR /\ a e. RR ) -> ( a x. a ) e. RR )
5	4	anidms 395	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. RR -> ( a x. a ) e. RR )
6		remulcl 7902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. RR /\ b e. RR ) -> ( b x. b ) e. RR )
7	6	anidms 395	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. RR -> ( b x. b ) e. RR )
8		readdcl 7900	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a x. a ) e. RR /\ ( b x. b ) e. RR ) -> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) e. RR )
9	5, 7, 8	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) e. RR )
10		0re 7920	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
11		apreap 8506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 <-> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) )
12	9, 10, 11	sylancl 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 <-> ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) )
13		recexre 8497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) e. RR /\ ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) -> E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 )
14	9, 13	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) -> E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 )
15		recn 7907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. RR -> a e. CC )
16		recn 7907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. RR -> b e. CC )
17		recn 7907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR -> y e. CC )
18		ax-icn 7869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- _i e. CC
19		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( _i e. CC /\ b e. CC ) -> ( _i x. b ) e. CC )
20	18, 19	mpan 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b e. CC -> ( _i x. b ) e. CC )
21		subcl 8118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. CC /\ ( _i x. b ) e. CC ) -> ( a - ( _i x. b ) ) e. CC )
22	20, 21	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a - ( _i x. b ) ) e. CC )
23		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a - ( _i x. b ) ) e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) e. CC )
24	22, 23	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) e. CC )
25	24	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 ) -> ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) e. CC )
26		addcl 7899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( a e. CC /\ ( _i x. b ) e. CC ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
27	20, 26	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
29	22	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( a - ( _i x. b ) ) e. CC )
30		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> y e. CC )
31	28, 29, 30	mulassd 7943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( a - ( _i x. b ) ) ) x. y ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) )
32		recextlem1 8569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( a - ( _i x. b ) ) ) = ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) )
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( a - ( _i x. b ) ) ) = ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) )
34	33	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( a - ( _i x. b ) ) ) x. y ) = ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) )
35	31, 34	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) = ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) )
36		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 )
37	35, 36	sylan9eq 2223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) = 1 )
38		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) )
39	38	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) -> ( ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 <-> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) = 1 ) )
40	39	rspcev 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) e. CC /\ ( ( a + ( _i x. b ) ) x. ( ( a - ( _i x. b ) ) x. y ) ) = 1 ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 )
41	25, 37, 40	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 )
42	41	exp31 362	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( y e. CC -> ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) ) )
43	17, 42	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( y e. RR -> ( ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) ) )
44	43	rexlimdv 2586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
45	15, 16, 44	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
46	45	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) -> ( E. y e. RR ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) x. y ) = 1 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
47	14, 46	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 )
48	47	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) #ℝ 0 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
49	12, 48	sylbid 149	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( ( a x. a ) + ( b x. b ) ) # 0 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
50	3, 49	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) # 0 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
51	50	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ A = ( a + ( _i x. b ) ) ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) # 0 -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
52		breq1 3992	. . . . . . 7 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( A # 0 <-> ( a + ( _i x. b ) ) # 0 ) )
53	52	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ A = ( a + ( _i x. b ) ) ) -> ( A # 0 <-> ( a + ( _i x. b ) ) # 0 ) )
54		oveq1 5860	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( A x. x ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) )
55	54	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( A x. x ) = 1 <-> ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
56	55	rexbidv 2471	. . . . . . 7 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( E. x e. CC ( A x. x ) = 1 <-> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
57	56	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ A = ( a + ( _i x. b ) ) ) -> ( E. x e. CC ( A x. x ) = 1 <-> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) x. x ) = 1 ) )
58	51, 53, 57	3imtr4d 202	. . . . 5 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ A = ( a + ( _i x. b ) ) ) -> ( A # 0 -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 ) )
59	58	ex 114	. . . 4 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( A # 0 -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 ) ) )
60	59	rexlimivv 2593	. . 3 |- ( E. a e. RR E. b e. RR A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( A # 0 -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 ) )
61	1, 60	syl 14	. 2 |- ( A e. CC -> ( A # 0 -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 ) )
62	61	imp 123	1 |- ( ( A e. CC /\ A # 0 ) -> E. x e. CC ( A x. x ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   _ici 7776   + caddc 7777   x. cmul 7779   - cmin 8090   #_ℝ creap 8493   # cap 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501

This theorem is referenced by:  mulap0  8572  mulcanapd  8579  receuap  8587