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Theorem recexap 8096
Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
recexap  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  E. x  e.  CC  ( A  x.  x )  =  1 )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem recexap
Dummy variables  y  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7463 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) )
2 recexaplem2 8095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  (
a  +  ( _i  x.  b ) ) #  0 )  ->  (
( a  x.  a
)  +  ( b  x.  b ) ) #  0 )
323expia 1145 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) ) #  0  -> 
( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) ) #  0 ) )
4 remulcl 7449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( a  x.  a
)  e.  RR )
54anidms 389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  RR  ->  (
a  x.  a )  e.  RR )
6 remulcl 7449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( b  x.  b
)  e.  RR )
76anidms 389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  RR  ->  (
b  x.  b )  e.  RR )
8 readdcl 7447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  x.  a
)  e.  RR  /\  ( b  x.  b
)  e.  RR )  ->  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) )  e.  RR )
95, 7, 8syl2an 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  e.  RR )
10 0re 7467 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
11 apreap 8040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0  <->  (
( a  x.  a
)  +  ( b  x.  b ) ) #  0 ) )
129, 10, 11sylancl 404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0  <->  (
( a  x.  a
)  +  ( b  x.  b ) ) #  0 ) )
13 recexre 8031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  e.  RR  /\  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) ) #  0 )  ->  E. y  e.  RR  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1 )
149, 13sylan 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0 )  ->  E. y  e.  RR  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) )  x.  y
)  =  1 )
15 recn 7454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  RR  ->  a  e.  CC )
16 recn 7454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  RR  ->  b  e.  CC )
17 recn 7454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
18 ax-icn 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  _i  e.  CC
19 mulcl 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( _i  x.  b
)  e.  CC )
2018, 19mpan 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  e.  CC  ->  (
_i  x.  b )  e.  CC )
21 subcl 7660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  CC  /\  ( _i  x.  b
)  e.  CC )  ->  ( a  -  ( _i  x.  b
) )  e.  CC )
2220, 21sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( a  -  (
_i  x.  b )
)  e.  CC )
23 mulcl 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  -  (
_i  x.  b )
)  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( a  -  ( _i  x.  b
) )  x.  y
)  e.  CC )
2422, 23sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( a  -  ( _i  x.  b ) )  x.  y )  e.  CC )
2524adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  /\  (
( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1 )  -> 
( ( a  -  ( _i  x.  b
) )  x.  y
)  e.  CC )
26 addcl 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  e.  CC  /\  ( _i  x.  b
)  e.  CC )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  e.  CC )
2720, 26sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  CC )
2827adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  e.  CC )
2922adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( a  -  ( _i  x.  b
) )  e.  CC )
30 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
3128, 29, 30mulassd 7490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( a  -  ( _i  x.  b
) ) )  x.  y )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( ( a  -  ( _i  x.  b ) )  x.  y ) ) )
32 recextlem1 8094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  (
a  -  ( _i  x.  b ) ) )  =  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) ) )
3332adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( a  -  (
_i  x.  b )
) )  =  ( ( a  x.  a
)  +  ( b  x.  b ) ) )
3433oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( a  -  ( _i  x.  b
) ) )  x.  y )  =  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y ) )
3531, 34eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( ( a  -  ( _i  x.  b
) )  x.  y
) )  =  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y ) )
36 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1  ->  (
( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1 )
3735, 36sylan9eq 2140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  /\  (
( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1 )  -> 
( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  (
( a  -  (
_i  x.  b )
)  x.  y ) )  =  1 )
38 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( ( a  -  ( _i  x.  b ) )  x.  y )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( ( a  -  ( _i  x.  b
) )  x.  y
) ) )
3938eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( a  -  ( _i  x.  b ) )  x.  y )  ->  (
( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1  <->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  ( ( a  -  ( _i  x.  b ) )  x.  y ) )  =  1 ) )
4039rspcev 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  -  ( _i  x.  b
) )  x.  y
)  e.  CC  /\  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  (
( a  -  (
_i  x.  b )
)  x.  y ) )  =  1 )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 )
4125, 37, 40syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  y  e.  CC )  /\  (
( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1 )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 )
4241exp31 356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( y  e.  CC  ->  ( ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) ) )
4317, 42syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( y  e.  RR  ->  ( ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) ) )
4443rexlimdv 2488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( E. y  e.  RR  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) )
4515, 16, 44syl2an 283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  RR  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) )
4645adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0 )  -> 
( E. y  e.  RR  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b ) )  x.  y )  =  1  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) )
4714, 46mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0 )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 )
4847ex 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x )  =  1 ) )
4912, 48sylbid 148 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( ( a  x.  a )  +  ( b  x.  b
) ) #  0  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) )
503, 49syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) ) #  0  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  x.  x
)  =  1 ) )
5150adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) )  ->  ( (
a  +  ( _i  x.  b ) ) #  0  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x )  =  1 ) )
52 breq1 3840 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( A #  0  <->  ( a  +  ( _i  x.  b
) ) #  0 ) )
5352adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) )  ->  ( A #  0 
<->  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) #  0 ) )
54 oveq1 5641 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( A  x.  x )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x ) )
5554eqeq1d 2096 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  (
( A  x.  x
)  =  1  <->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x )  =  1 ) )
5655rexbidv 2381 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( A  x.  x
)  =  1  <->  E. x  e.  CC  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x )  =  1 ) )
5756adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( A  x.  x )  =  1  <->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  x.  x )  =  1 ) )
5851, 53, 573imtr4d 201 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) )  ->  ( A #  0  ->  E. x  e.  CC  ( A  x.  x
)  =  1 ) )
5958ex 113 . . . 4  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  ->  ( A #  0  ->  E. x  e.  CC  ( A  x.  x
)  =  1 ) ) )
6059rexlimivv 2494 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( A #  0  ->  E. x  e.  CC  ( A  x.  x )  =  1 ) )
611, 60syl 14 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A #  0  ->  E. x  e.  CC  ( A  x.  x )  =  1 ) )
6261imp 122 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  E. x  e.  CC  ( A  x.  x )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   E.wrex 2360   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330   _ici 7331    + caddc 7332    x. cmul 7334    - cmin 7632   # creap 8027   # cap 8034
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035
This theorem is referenced by:  mulap0  8097  mulcanapd  8104  receuap  8112
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