Theorem zringbas 15039

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	|- ZZ = ( Base ` ℤring )

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zring 15034	. . . 4 |- ℤring = (ℂfld ↾s ZZ )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℤring = (ℂfld ↾s ZZ ) )
3		cnfldbas 15005	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
5		cnfldex 15004	. . . 4 |- ℂfld e. _V
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℂfld e. _V )
7		zsscn 9661	. . . 4 |- ZZ C_ CC
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ZZ C_ CC )
9	2, 4, 6, 8	ressbas2d 13480	. 2 |- ( T. -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
10	9	mptru 1411	1 |- ZZ = ( Base ` ℤring )

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   ZZcz 9653   Basecbs 13409   ↾_s cress 13410  ℂ_fldccnfld 15001  ℤ_ringczring 15033

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-dec 9788  df-uz 9937  df-rp 10071  df-fz 10428  df-cj 11628  df-abs 11786  df-struct 13411  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-sets 13416  df-iress 13417  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-starv 13504  df-tset 13508  df-ple 13509  df-ds 13511  df-unif 13512  df-topgen 13672  df-bl 14991  df-mopn 14992  df-fg 14994  df-metu 14995  df-cnfld 15002  df-zring 15034

This theorem is used by:  dvdsrzring  15046  zringinvg  15047  expghmap  15050  mulgghm2  15051  mulgrhm  15052  mulgrhm2  15053  znlidl  15077  znbas  15087  znzrh2  15089  znzrhfo  15091  zndvds  15092  znf1o  15094  znidom  15100  znidomb  15101  znunit  15102  znrrg  15103  lgseisenlem3  16413  lgseisenlem4  16414