Theorem zringbas 14675

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	|- ZZ = ( Base ` ℤring )

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zring 14670	. . . 4 |- ℤring = (ℂfld ↾s ZZ )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℤring = (ℂfld ↾s ZZ ) )
3		cnfldbas 14639	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
5		cnfldex 14638	. . . 4 |- ℂfld e. _V
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℂfld e. _V )
7		zsscn 9531	. . . 4 |- ZZ C_ CC
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ZZ C_ CC )
9	2, 4, 6, 8	ressbas2d 13214	. 2 |- ( T. -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
10	9	mptru 1407	1 |- ZZ = ( Base ` ℤring )

Syntax hints:   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   ZZcz 9523   Basecbs 13145   ↾_s cress 13146  ℂ_fldccnfld 14635  ℤ_ringczring 14669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-rp 9933  df-fz 10289  df-cj 11465  df-abs 11622  df-struct 13147  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-starv 13238  df-tset 13242  df-ple 13243  df-ds 13245  df-unif 13246  df-topgen 13406  df-bl 14625  df-mopn 14626  df-fg 14628  df-metu 14629  df-cnfld 14636  df-zring 14670

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  14682  zringinvg  14683  expghmap  14686  mulgghm2  14687  mulgrhm  14688  mulgrhm2  14689  znlidl  14713  znbas  14723  znzrh2  14725  znzrhfo  14727  zndvds  14728  znf1o  14730  znidom  14736  znidomb  14737  znunit  14738  znrrg  14739  lgseisenlem3  15874  lgseisenlem4  15875