Theorem zringbas 14631

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	|- ZZ = ( Base ` ℤring )

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zring 14626	. . . 4 |- ℤring = (ℂfld ↾s ZZ )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℤring = (ℂfld ↾s ZZ ) )
3		cnfldbas 14595	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
5		cnfldex 14594	. . . 4 |- ℂfld e. _V
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℂfld e. _V )
7		zsscn 9489	. . . 4 |- ZZ C_ CC
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ZZ C_ CC )
9	2, 4, 6, 8	ressbas2d 13171	. 2 |- ( T. -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
10	9	mptru 1406	1 |- ZZ = ( Base ` ℤring )

Syntax hints:   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2201   _Vcvv 2801   C_ wss 3199   ` cfv 5325  (class class class)co 6020   CCcc 8032   ZZcz 9481   Basecbs 13102   ↾_s cress 13103  ℂ_fldccnfld 14591  ℤ_ringczring 14625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-mulrcl 8133  ax-addcom 8134  ax-mulcom 8135  ax-addass 8136  ax-mulass 8137  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-1rid 8141  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-precex 8144  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150  ax-pre-mulgt0 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-tp 3676  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-id 4389  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-reap 8757  df-inn 9146  df-2 9204  df-3 9205  df-4 9206  df-5 9207  df-6 9208  df-7 9209  df-8 9210  df-9 9211  df-n0 9405  df-z 9482  df-dec 9614  df-uz 9758  df-rp 9891  df-fz 10246  df-cj 11422  df-abs 11579  df-struct 13104  df-ndx 13105  df-slot 13106  df-base 13108  df-sets 13109  df-iress 13110  df-plusg 13193  df-mulr 13194  df-starv 13195  df-tset 13199  df-ple 13200  df-ds 13202  df-unif 13203  df-topgen 13363  df-bl 14581  df-mopn 14582  df-fg 14584  df-metu 14585  df-cnfld 14592  df-zring 14626

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  14638  zringinvg  14639  expghmap  14642  mulgghm2  14643  mulgrhm  14644  mulgrhm2  14645  znlidl  14669  znbas  14679  znzrh2  14681  znzrhfo  14683  zndvds  14684  znf1o  14686  znidom  14692  znidomb  14693  znunit  14694  znrrg  14695  lgseisenlem3  15827  lgseisenlem4  15828