Theorem zringbas 14629

Description: The integers are the base of the ring of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringbas	|- ZZ = ( Base ` ℤring )

Proof of Theorem zringbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-zring 14624	. . . 4 |- ℤring = (ℂfld ↾s ZZ )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℤring = (ℂfld ↾s ZZ ) )
3		cnfldbas 14593	. . . 4 |- CC = ( Base ` ℂfld )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
5		cnfldex 14592	. . . 4 |- ℂfld e. _V
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ℂfld e. _V )
7		zsscn 9487	. . . 4 |- ZZ C_ CC
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ZZ C_ CC )
9	2, 4, 6, 8	ressbas2d 13169	. 2 |- ( T. -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
10	9	mptru 1406	1 |- ZZ = ( Base ` ℤring )

Syntax hints:   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   ZZcz 9479   Basecbs 13100   ↾_s cress 13101  ℂ_fldccnfld 14589  ℤ_ringczring 14623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-rp 9889  df-fz 10244  df-cj 11420  df-abs 11577  df-struct 13102  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-iress 13108  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-starv 13193  df-tset 13197  df-ple 13198  df-ds 13200  df-unif 13201  df-topgen 13361  df-bl 14579  df-mopn 14580  df-fg 14582  df-metu 14583  df-cnfld 14590  df-zring 14624

This theorem is referenced by:  dvdsrzring  14636  zringinvg  14637  expghmap  14640  mulgghm2  14641  mulgrhm  14642  mulgrhm2  14643  znlidl  14667  znbas  14677  znzrh2  14679  znzrhfo  14681  zndvds  14682  znf1o  14684  znidom  14690  znidomb  14691  znunit  14692  znrrg  14693  lgseisenlem3  15820  lgseisenlem4  15821